曲博揚(yáng)，卿龍邦

(河北工業(yè)大學(xué)土木與交通學(xué)院，天津 300401)

0 引 言

混凝土是目前土木水利行業(yè)中使用量最大的建筑材料，但其存在內(nèi)部有初始缺陷、抗拉強(qiáng)度低、韌性差等問(wèn)題[1]，在荷載作用下容易產(chǎn)生開(kāi)裂、破壞。在混凝土材料中摻入纖維[2-7]，在一定程度上改善了混凝土受力性能，增強(qiáng)混凝土的抗拉強(qiáng)度、抗裂性能和耐久性，抑制混凝土內(nèi)部裂縫的開(kāi)展，延緩混凝土宏觀裂縫的形成，提高了材料的適用性。研究表明纖維方向?qū)炷亮W(xué)性能影響很大[8]，通過(guò)特殊的定向裝置，可以使纖維按一定規(guī)律排列，可顯著提高特定方向混凝土強(qiáng)度、韌度[9]。定向鋼纖維水泥基復(fù)合材料具有高強(qiáng)度、高韌性、高耐久性等特點(diǎn)，適用于橋梁、道路、隧道、港口、能源等對(duì)結(jié)構(gòu)抗裂性要求高的工程，在我國(guó)已廣泛應(yīng)用于橋隧及物流工程中。

由于結(jié)構(gòu)中受力復(fù)雜，混凝土的開(kāi)裂通常是復(fù)合型斷裂形態(tài)，其中又以同時(shí)受拉應(yīng)力與剪應(yīng)力的Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂為主，它的開(kāi)裂方向與所受兩種應(yīng)力比例有關(guān)。為研究混凝土在復(fù)雜受力情況下斷裂的臨界條件，許多學(xué)者通過(guò)理論計(jì)算與試驗(yàn)擬合得到了不同的Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂臨界判斷依據(jù)。Erdogan等[10]提出了最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，從裂縫尖端最大應(yīng)力的角度解釋了裂縫擴(kuò)展臨界狀態(tài)。最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則是根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子判斷斷裂性能的方法之一，其形式較為簡(jiǎn)單，計(jì)算略復(fù)雜，是應(yīng)用最廣泛且可靠的計(jì)算方法。鄧宗才等[11]提出的最大拉應(yīng)變準(zhǔn)則，從裂縫尖端附近最大環(huán)向拉應(yīng)變判斷臨界狀態(tài)，相比于最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，安全系數(shù)更高。Hussain[12]提出的最大能量釋放率判據(jù)，從裂縫產(chǎn)生最大能量釋放率的角度分析了Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂縫的斷裂準(zhǔn)則，由于復(fù)合型裂紋擴(kuò)展時(shí)不再沿著裂紋本身原有方向，而是存在一定的開(kāi)裂角度，原來(lái)能量釋放率的公式不再適用，而具有開(kāi)裂角的復(fù)合型裂紋能量釋放率的公式比較復(fù)雜且目前方法沒(méi)得到統(tǒng)一。Sih[13]基于應(yīng)變能密度場(chǎng)斷裂，推導(dǎo)出最小應(yīng)變能密度因子判據(jù)，通過(guò)比較裂縫尖端局部應(yīng)變能密度來(lái)判斷臨界狀態(tài)，理論上能夠適用于所有復(fù)合型裂縫的擴(kuò)展問(wèn)題。許斌等[14]在考慮裂紋尖端混凝土雙向受力的情況，提出了改進(jìn)最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則。劉夢(mèng)和等[15]在三點(diǎn)彎曲梁和四點(diǎn)彎曲梁試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)復(fù)合型裂縫的混凝土斷裂能進(jìn)行了理論分析和數(shù)值模擬，建立了完整的斷裂能G判據(jù)。于驍中等[16]通過(guò)進(jìn)行四點(diǎn)彎曲梁試驗(yàn)，推導(dǎo)了用于評(píng)價(jià)混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂的經(jīng)驗(yàn)公式。徐世烺等[17]通過(guò)對(duì)不同縫高比的四點(diǎn)剪切梁試驗(yàn)，提出了不同于極限荷載確定的起裂準(zhǔn)則，并研究了縫高比對(duì)起裂準(zhǔn)則的影響規(guī)律。

Eshebly等效夾雜理論是解決復(fù)合材料微觀力學(xué)問(wèn)題中常見(jiàn)的方法之一，將其應(yīng)用于最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則中，可以更全面的解釋影響鋼纖維增強(qiáng)水泥基復(fù)合材料斷裂性能的因素。本文通過(guò)研究裂縫尖端應(yīng)力場(chǎng)在鋼纖維作用下的變化，結(jié)合Eshebly等效夾雜理論和最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，推導(dǎo)了復(fù)合應(yīng)力作用下無(wú)限大薄板中，鋼纖維方向?qū)α芽p尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)的影響與最大應(yīng)力表達(dá)式，建立了鋼纖維影響下的裂縫尖端應(yīng)力計(jì)算方法。通過(guò)不同鋼纖維方向下裂縫尖端的最大應(yīng)力比，解釋了鋼纖維角度、相對(duì)位置和纖維材料參數(shù)對(duì)水泥基復(fù)合材料Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂性能的提高作用。

1 理論模型

圖1(a)為無(wú)限大平面薄板上有一長(zhǎng)度為2a的中心貫穿裂縫，無(wú)限遠(yuǎn)處同時(shí)作用雙向均勻拉應(yīng)力σ與剪應(yīng)力τ，裂縫尖端附近有一長(zhǎng)度為2L，直徑為b的鋼纖維。鋼纖維與裂縫尖端相對(duì)位置如圖1(b)所示，β為鋼纖維與豎向方向的夾角，r0為裂縫尖端到鋼纖維水平投影距離的最小值，θ1、θ2分別為裂縫尖端到鋼纖維上、下邊緣與x軸正向的夾角。

圖1 無(wú)限大平面板中雙向拉伸均勻受剪作用下的Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂Fig.1 Ⅰ-Ⅱ combined fracture under biaxial tension and uniform shear in infinite plane

2 數(shù)值計(jì)算

2.1 等效夾雜原理

根據(jù)Eshebly等效夾雜理論[18]，當(dāng)裂縫尖端附近存在鋼纖維時(shí)，會(huì)改變復(fù)合型裂縫尖端應(yīng)變場(chǎng)。設(shè)在直角坐標(biāo)系中，無(wú)鋼纖維影響下裂縫尖端附近應(yīng)力場(chǎng)σ為：

σ=(σ11σ22τ12)T

(1)

根據(jù)廣義胡克定律，裂縫尖端應(yīng)變場(chǎng)e可表示為：

(2)

經(jīng)過(guò)鋼纖維影響后的等效轉(zhuǎn)換應(yīng)變場(chǎng)et為：

et=[(Ci-Cm)S+Cm]-1(Cm-Ci)e

(3)

式中：σ為裂縫尖端一點(diǎn)的應(yīng)力場(chǎng)；σ11、σ22分別為沿x軸、y軸的拉應(yīng)力分量；τ12為此點(diǎn)所受的剪應(yīng)力；e為裂縫尖端同一點(diǎn)的應(yīng)變場(chǎng)；e11、e22分別為沿x軸、y軸的拉應(yīng)變分量；e12為此點(diǎn)的剪應(yīng)變；et為經(jīng)過(guò)鋼纖維影響后的裂縫尖端等效轉(zhuǎn)換應(yīng)變場(chǎng)；Em為水泥基體彈性模量；v0為平面應(yīng)變問(wèn)題中的水泥基體泊松比；Ci為夾雜物彈性張量；Cm為水泥基體彈性張量；S為二階Eshebly張量，其表達(dá)式為：

(4)

對(duì)于長(zhǎng)纖維域，其分量可表示為：

(5)

(6)

(7)

(8)

通過(guò)計(jì)算得到夾雜影響后的應(yīng)變場(chǎng)：

(9)

2.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子

根據(jù)文獻(xiàn)[19]，由式(9)可以得到在平面應(yīng)變條件下，由應(yīng)變場(chǎng)變換引起的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化。將平面應(yīng)變轉(zhuǎn)換為平面應(yīng)力問(wèn)題可以分別得到Ⅰ、Ⅱ型裂縫在任意方向鋼纖維作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子解[20-21]。

(10)

(11)

當(dāng)鋼纖維與裂縫尖端位置如圖1(b)所示時(shí)，分別對(duì)式(10)、(11)積分，可以得被鋼纖維影響后裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子分別為：

(12)

(13)

式中：KⅠ-tip、KⅡ-tip分別為鋼纖維影響后的Ⅰ、Ⅱ型斷裂裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子。

2.3 開(kāi)裂角和最大周向應(yīng)力

當(dāng)復(fù)合型裂縫擴(kuò)展時(shí)，裂縫擴(kuò)展的方向是周向應(yīng)力σφ取最大值的方向，當(dāng)周向應(yīng)力的最大值達(dá)到裂縫擴(kuò)展應(yīng)力臨界值時(shí)，裂縫開(kāi)始失穩(wěn)擴(kuò)展。根據(jù)疊加原理，平面應(yīng)力條件下無(wú)限大平面裂縫尖端附近一點(diǎn)(r,φ)的應(yīng)力場(chǎng)的極坐標(biāo)形式可用式(14)～式(16)表示。

(14)

(15)

(16)

式中：(r,φ)為極點(diǎn)定義在裂縫尖端時(shí)一點(diǎn)的極坐標(biāo)；σr為平面內(nèi)一點(diǎn)所受的法向應(yīng)力；σφ為平面內(nèi)同一點(diǎn)所受的周向應(yīng)力；τrφ為平面內(nèi)同一點(diǎn)所受的剪應(yīng)力。

通過(guò)對(duì)式(15)中φ求偏導(dǎo)數(shù)，使σφ取得極值，計(jì)算得裂縫開(kāi)展方向φ0和此方向上的最大周向應(yīng)力為：

σsinφ0+τ(3 cosφ0-1)=0

(17)

(18)

式中：φ0為裂縫開(kāi)展方向與裂縫方向的夾角；σφ0 max為φ0方向上的最大周向應(yīng)力。

3 參數(shù)影響

3.1 鋼纖維角度對(duì)增韌效果的影響

將式(12)、(13)分別代入式(17)、(18)可得到摻入纖維后裂縫開(kāi)裂角φβ和影響后最大周向應(yīng)力σφβ。令模型所受應(yīng)力組合p=σ/τ，可以化簡(jiǎn)得σφβ/σφ0 max=f(p)，即在鋼纖維自身物理性質(zhì)，裂縫與鋼纖維位置相同時(shí)，σφβ/σφ0 max只與應(yīng)力組合p有關(guān)。為分析不同應(yīng)力組合p，不同纖維方向β，不同距離r0對(duì)開(kāi)裂角度和摻入纖維前后最大應(yīng)力之比的關(guān)系。本文取水泥基體彈性模量Em=30 GPa，鋼纖維彈性模量Ei=210 GPa，泊松比v=0.2，裂縫半長(zhǎng)度a=10 mm。

通過(guò)計(jì)算得到在不同鋼纖維方向下，應(yīng)力組合與開(kāi)裂角差值Δφ=φ0-φβ之間的關(guān)系如圖2所示。φ0為不摻入鋼纖維時(shí)裂縫的開(kāi)裂方向，φβ為鋼纖維與豎直方向的夾角為β時(shí)裂縫的開(kāi)裂方向。從圖2可以看出，鋼纖維方向?qū)﹂_(kāi)裂角的影響較小。隨著應(yīng)力組合p的增大，開(kāi)裂角度差值Δφ呈現(xiàn)先增大后不斷減小的整體趨勢(shì)，復(fù)合型斷裂逐漸由剪應(yīng)力控制的Ⅱ型斷裂向由正應(yīng)力控制的Ⅰ型斷裂轉(zhuǎn)變，開(kāi)裂方向不斷靠近裂縫延伸方向。相同應(yīng)力比值對(duì)開(kāi)裂角度差值的影響，鋼纖維定向(0°)時(shí)比亂向更顯著。

在不同應(yīng)力組合p下，通過(guò)改變鋼纖維方向，可以得到鋼纖維-豎直方向夾角β與裂縫尖端應(yīng)力的關(guān)系。圖3顯示了在p一定的情況下，不同方向鋼纖維與裂縫尖端最大應(yīng)力比的關(guān)系。增韌效果在纖維-豎直方向夾角為0°～20°時(shí)快速減弱，20°～75°時(shí)變化逐漸平緩，75°～90°時(shí)能力增強(qiáng)，但效果仍低于鋼纖維與裂縫方向垂直時(shí)。隨著應(yīng)力比值p的增大，斷裂模式不斷向Ⅰ型斷裂模式靠近，增韌效果略有降低。在應(yīng)力組合p取0～5的情況下，隨機(jī)亂向鋼纖維裂縫尖端最大應(yīng)力比的期望值在0.980 8～0.987 5，而定向鋼纖維(β=0°)裂縫尖端最大應(yīng)力比值為0.910 3～0.942 5，鋼纖維定向后可以使Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂縫尖端最大應(yīng)力取最小值，從而減少裂縫的開(kāi)展。

圖2 應(yīng)力組合-開(kāi)裂角度關(guān)系圖(r0=0.5 mm)Fig.2 Relationship between stress combination and cracking angle (r0=0.5 mm)

圖3 纖維方向β-σφβ/σφ0 max關(guān)系圖(r0=0.5 mm)Fig.3 Relationship of fiber direction and σφβ/σφ0 max (r0=0.5 mm)

3.2 鋼纖維位置和彈性模量對(duì)增韌效果的影響

當(dāng)鋼纖維-豎直方向夾角β一定時(shí)，通過(guò)改變裂縫尖端與纖維水平投影距離最小值r0可以得到應(yīng)力組合與σφβ/σφ0 max的關(guān)系如圖4所示。在鋼纖維-豎直方向夾角β相同時(shí)，裂縫尖端與鋼纖維水平投影的距離r0越大，纖維對(duì)裂縫尖端應(yīng)力影響越小，增韌效果隨距離增大而快速減弱。

圖4 應(yīng)力組合-σφβ/σφ0max關(guān)系Fig.4 Relationship between stress combination and σφβ/σφ0 max

表1 不同彈性模量、不同鋼纖維方向下的ξn(r0=0.5 mm,σ/τ=3)Table 1 ξn under different elastic modulus and steel fiber direction (r0=0.5 mm, σ/τ=3)

表2為裂縫尖端應(yīng)力減值降低幅度與鋼纖維方向的關(guān)系，隨著鋼纖維彈性模量的增大，相同角度下裂縫尖端應(yīng)力下降的幅度降低。鋼纖維彈性模量對(duì)于定向鋼纖維(鋼纖維與裂縫方向垂直)的影響大于對(duì)隨機(jī)分布鋼纖維的影響。

表2 不同鋼纖維方向下裂縫尖端應(yīng)力減值幅度(r0=0.5 mm,σ/τ=3)Table 2 ξn stress reduction amplitude of crack tip under different steel fiber direction (r0=0.5 mm, σ/τ=3)

4 結(jié) 論

本文在Eshebly等效夾雜理論與最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則基礎(chǔ)上，計(jì)算了無(wú)限大薄板上Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂應(yīng)力強(qiáng)度因子及裂縫尖端最大應(yīng)力比，解釋了鋼纖維角度對(duì)Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂韌度的影響機(jī)理。

(1)鋼纖維增強(qiáng)水泥基復(fù)合材料通過(guò)改變裂縫尖端應(yīng)變場(chǎng)，影響裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，降低裂縫尖端的最大應(yīng)力，延緩裂縫的開(kāi)展，達(dá)到增韌效果。在Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂中，鋼纖維方向與裂縫方向垂直時(shí)，裂縫尖端最大應(yīng)力比降低最多，說(shuō)明鋼纖維定向后(β=0°)增韌效果最好。

(2)鋼纖維方向與裂縫延伸方向垂直時(shí)，其他因素在此方向上的影響最敏感，表明鋼纖維方向是影響水泥基復(fù)合材料斷裂的最重要因素。鋼纖維與豎直方向夾角β由0°增大到90°過(guò)程中，增韌效果先減弱后增強(qiáng)。

(3)在鋼纖維方向與所受應(yīng)力條件不變時(shí)，裂縫尖端與纖維水平投影的最小距離越小，裂縫尖端的最大周向應(yīng)力越小，增韌效果越好。鋼纖維彈性模量對(duì)裂縫尖端應(yīng)力影響小，隨著彈性模量的增加，裂縫尖端應(yīng)力逐漸降低，增韌效果增強(qiáng)，但增韌幅度隨彈性模量的增加而逐漸降低。