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        大傾斜度彈簧剛度表達(dá)式的推導(dǎo)及有限元驗證

        2022-06-16 01:49:28錢寧偉李崢彬肖奉英沈逸舟黃模佳
        關(guān)鍵詞:有限元變形模型

        錢寧偉,李崢彬,肖奉英,沈逸舟,黃模佳

        (南昌大學(xué)工程力學(xué)系,江西 南昌 330031)

        彈簧在機(jī)械系統(tǒng)中是一種較為常見的零件,且種類很多,其中圓柱彈簧在工程中的應(yīng)用最為廣泛[1-2]。圓柱彈簧一般受縱向荷載作用,利用自身的彈性和變形進(jìn)行工作[3-4]。剛度作為彈簧性能的重要指標(biāo)之一,對整體結(jié)構(gòu)的安全性能起著重要作用,熊志遠(yuǎn)等[5]以彈簧材料為出發(fā)點對彈簧剛度進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)彈簧剛度與纖維彈性模量、簧絲外直徑、纖維體積分?jǐn)?shù)三者相關(guān),剛度大小隨三者增大而劇增,隨三者的下降而驟減。金達(dá)鋒等[6]基于層合板理論,利用纖維復(fù)合材料平板的剪切模量及各向同性材料彈簧剛度公式,理論推導(dǎo)了該類復(fù)合材料彈簧的剛度表達(dá)式。

        目前圓柱彈簧的常用研究方法為采用有限元仿真計算。朱勛等[7]運用ABAQUS軟件對圓柱彈簧進(jìn)行分析,將有限元結(jié)果與已有的彈簧剛度公式[8-10]進(jìn)行比較,結(jié)果表明文獻(xiàn)[8]的公式更為通用。田樹濤等[11]通過Solidworks軟件對彈簧進(jìn)行建模分析,基于不同加載方式獲得彈簧剛度,研究表明該方式得到的彈簧剛度精度較高。周凱林等[12]利用ANSYS軟件對彈簧進(jìn)行建模,對彈簧剛度進(jìn)行有限元仿真計算,并重點分析了彈簧簧絲間的接觸問題。鐘文彬[13]等通過ANSYS軟件對彈簧各方向的剛度進(jìn)行了仿真計算,研究表明有限元方法能為彈簧的精確設(shè)計和計算提供較為可靠的理論依據(jù)。

        聶維等[14]通過編制 Matlab 程序?qū)ψ儏?shù)圓柱彈簧的參數(shù)進(jìn)行解析計算,給出基本的運算思路,結(jié)果表明變參數(shù)圓柱彈簧具有良好的非線性剛度特性。曹坤等[15-16]則是利用Matlab對圓柱螺旋彈簧進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計,為工程中的彈簧設(shè)計提供一定的參考。

        目前國內(nèi)外對圓柱彈簧的研究雖然較多,且部分文獻(xiàn)考慮螺旋角對彈簧剛度的影響,但計算分析的模型一般為密圈彈簧,對于螺旋角較大的彈簧沒有進(jìn)行分析,且關(guān)于密圈彈簧的計算結(jié)果的精度不高。基于上述情況,本文利用圓柱彈簧幾何參數(shù)的關(guān)系,考慮螺旋角對彈簧剛度的影響,通過能量法給出精度較高的彈簧剛度理論解,并利用有限元軟件進(jìn)行仿真驗證,基于解析解和有限元結(jié)果對工程中的彈簧設(shè)計提出一些建議和參考。

        1 彈簧的傾斜度與彈簧尺寸的關(guān)系

        圓柱彈簧是工程中較為常用的彈簧,目前工程中對于圓柱彈簧剛度K0的經(jīng)典理論公式為:

        (1)

        式中:n為彈簧圈數(shù);R為彈簧半徑;G為彈簧材料的剪切模量;d為彈簧線徑。式(1)表明彈簧剛度的大小主要由該4個幾何參數(shù)決定,該式未考慮螺旋角對彈簧剛度的影響,實際上彈簧螺旋角對彈簧剛度的大小具有一定的影響?,F(xiàn)假設(shè)圓柱彈簧的高為h,長度為L,螺旋角為α,將其進(jìn)行展開,展開的模型參數(shù)如圖1所示。

        圖1 圓柱彈簧模型

        在圓柱彈簧變形過程中,提出與彈簧變形相符的兩個基本假定:

        (1) 彈簧的變形主要來自于鋼絲的扭轉(zhuǎn)和彎曲變形,在圓柱彈簧變形過程中鋼絲彈簧局部軸向力很小,鋼絲彈簧受力后鋼絲的長度不變。

        (2) 彈性變形過程中整個彈簧的形態(tài)不變,即圈數(shù)n不發(fā)生變化。這里n為彈簧變形前彈簧的圈數(shù)(注:n可以不是整數(shù))。

        為了將α與L和h之間關(guān)系較為簡單地表示出來,引入?yún)?shù)κ表示彈簧變形前的α與L和h之間的關(guān)系,參數(shù)κ1表示受力彈簧變形后的α1與L1和h1之間的關(guān)系,κ可視為彈簧鋼絲的傾斜度,根據(jù)兩個基本假定值L1=L,n1=n,以及圖1可得:

        (2)

        根據(jù)式(2)彈簧變形量Δh可表示為

        Δh=L(κ1-κ)=Lχ,χ=(κ1-κ)

        (3)

        利用式(3)以及荷載P與彈簧變形量Δh之間為線性關(guān)系可得

        P=K(κ)Δh=K(κ)Lχ

        (4)

        這里K(κ)是該彈簧剛度。

        (5)

        2 基于能量法推導(dǎo)彈簧剛度的解析表達(dá)式

        將作用于彈簧中心的荷載P平移到彈簧鋼絲上簡化成主矩M0=PR、主矢P;其中主矩M0可分解成彈簧鋼絲與彈簧垂直軸線的截面平行的彎矩M和與彈簧垂直軸線的截面垂直的扭矩T,主矢P可分解成彈簧鋼絲與彈簧垂直軸線的截面平行的剪力Q和與彈簧垂直軸線的截面垂直的軸力N。力矩關(guān)系示意圖見圖2。

        (a)

        根據(jù)式(3)、式(4)可得彈簧剛度K(κ)為

        (6)

        荷載P對圓柱彈簧作用產(chǎn)生的力矩為M0,根據(jù)式

        (4)和式(5)式可得

        (7)

        根據(jù)圖2(c)所示的力、力矩分解的幾何關(guān)系以及式(2)、式(4)、式(5),可得到扭矩T和彎矩M:

        (8)

        (9)

        外力對彈簧做功對于小傾斜角彈簧而言主要轉(zhuǎn)化為扭轉(zhuǎn)變形能,僅考慮扭轉(zhuǎn)變形能的彈簧剛度表達(dá)式為式(1),外力對彈簧做功對于大傾斜角彈簧而言彎曲變形能則是不可忽略的,對于大傾斜角彈簧主要考慮扭轉(zhuǎn)變形能和彎曲變形能的共同作用。圓柱彈簧一端固定,另一端受到的外力荷載P作用在彈簧圈的正中心,外力做功WP轉(zhuǎn)變成彈簧鋼絲扭轉(zhuǎn)變形能UT和彎曲變形能UM,即

        WP=UT+UM

        (10)

        這里外力荷載P作用下彈簧鋼絲截面上軸力N很小引起的變形能可以忽略不計,對于彈簧鋼絲較細(xì)時外力荷載P作用下彈簧鋼絲截面上剪力Q引起的變形能也可以忽略不計。

        為了便于計算彈簧鋼絲的扭轉(zhuǎn)變形能UT和彎曲變形能UM,將彈簧鋼絲看成為展開狀態(tài)(如圖1所示),根據(jù)材料力學(xué)公式以及式(8)、式(9)可知在扭矩T和彎矩M的作用下產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形能UT和彎曲變形能UM為

        (11)

        (12)

        這里Ip為彈簧鋼絲橫截面的極慣性矩,E為彈簧鋼絲的彈性模量,Iz為彈簧鋼絲橫截面的慣性矩。

        根據(jù)式(3)、式(4),可得外力P對彈簧做的總功WP為

        (13)

        彈性模量E和剪切模量G滿足

        E=2G(1+ν),其中ν為彈簧材料的泊松比,將式(11)~式(13)代入式(10)得到

        (14)

        根據(jù)式(14)等式左右兩邊約去χ2,即可求得K(κ)

        (15)

        根據(jù)式(1)、式(15)整理后得到的彈簧剛度解析解為

        (16)

        式(16)表明彈簧剛度與彈簧的螺旋升角、泊松比相關(guān),式(16)中的η為剛度影響系數(shù)。式(1)主要考慮扭矩T作用推導(dǎo)出的彈簧剛度表達(dá)式K0,而式(16)考慮扭矩T和彎矩M共同作用推導(dǎo)出精確的彈簧剛度表達(dá)式K(κ),比較式(1)和式(16)可知K0η為考慮彎矩作用下對彈簧剛度的影響量。當(dāng)κ=0時,η=0,即K(κ)=K0,這時彈簧僅受扭矩T的作用;當(dāng)κ≠0時,影響剛度系數(shù)η則會隨初始螺旋升角的大小發(fā)生變化,為了更加直觀地看到螺旋升角對彈簧剛度的影響,考慮泊松比ν=0.2,0.3,0.4時η隨著傾斜度κ的變化,結(jié)果如表1所示。

        表1 影響剛度系數(shù)

        可知,當(dāng)傾斜度κ較小時,η對彈簧剛度影響值較小,此時按式(1)或式(16)計算彈簧剛度均可;當(dāng)傾斜度κ較大時,η對彈簧剛度影響值很大,此時計算彈簧剛度應(yīng)按照式(16)中的K(κ)=K0(1+η)計算;對于給定傾斜度κ泊松比ν越小,η對彈簧剛度影響值越大;泊松比ν越大,η對彈簧剛度影響值越小,因此對于泊松比ν較小且傾斜度κ較大的情況,更宜用式(16)來計算彈簧的剛度以保證彈簧剛度的準(zhǔn)確性。

        3 含傾斜度的彈簧剛度的有限元仿真驗證

        為了驗證能量法求解得到的彈簧剛度表達(dá)式的準(zhǔn)確性,利用ABAQUS有限元軟件對彈簧進(jìn)行有限元仿真驗證。式(16)主要應(yīng)用于計算螺旋升角較大的彈簧的剛度,故有限元計算模型選用螺旋升角不同的模型進(jìn)行對比分析,為了更好地展示螺旋升角對彈簧剛度的影響,所有彈簧有限元模型中的彈簧圈的半徑R、彈簧鋼絲的彈性模量E、泊松比ν、彈簧鋼絲的直徑d、彈簧的圈數(shù)n均相同,僅改變彈簧的傾斜度κ的值。

        3.1 彈簧有限元模型的建立與網(wǎng)格劃分

        彈簧有限元計算選用三維梁元進(jìn)行分析計算,首先通過ABAQUS軟件建模功能輸入相應(yīng)的參數(shù)形成彈簧,給定彈簧圈的半徑R=0.015 m,彈簧的圈數(shù)n=5,以及彈簧鋼絲的直徑d=0.002 m,并給彈簧賦予材料屬性,材料的彈性模量E=206 GPa,泊松比ν=0.3,將已經(jīng)賦予材料屬性的彈簧進(jìn)行裝配,裝配完成后,在分析步功能欄增加荷載分析步,選用線性分析計算。

        為了證明式(16)不僅適用于螺旋升角較小的圓柱彈簧,對于螺旋角較大的彈簧也同樣適用,且精度較高,本文將選用一組彈簧模型進(jìn)行有限元仿真計算,該組彈簧模型取κ為變量,彈簧的高度h、彈簧鋼絲的長度L隨變量κ的變化規(guī)律如表2所示。

        表2 彈簧尺寸的選取

        當(dāng)彈簧模型建立完成后,對其進(jìn)行加載以及設(shè)置約束。在彈簧的頂部施加荷載P,荷載P位于彈簧的正中心,荷載P的大小為0.02 kN,荷載方向朝Z的負(fù)方向。在彈簧的底部設(shè)置完全固定約束,最后對彈簧模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分,網(wǎng)格劃分選用B31(兩節(jié)點空間線性梁單元)單元。

        3.2 有限元結(jié)果與解析解的比較情況

        對彈簧有限元模型進(jìn)行仿真計算,提取彈簧κ=0.1、彈簧κ=0.2的位移云圖進(jìn)行分析,如圖3所示。

        (a) κ=0.1位移云圖

        可得,彈簧其他參數(shù)相同、荷載相同、初始螺旋升角大小不同的情況下,彈簧產(chǎn)生的位移不同,即剛度大小不一樣,可見初始螺旋升角對彈簧剛度的大小會產(chǎn)生一定的影響。現(xiàn)提取7種模型的有限元計算結(jié)果,由設(shè)置的彈簧模型參數(shù)可知,7種彈簧模型中,根據(jù)彈簧的傾斜度κ的變化,以及彈簧受力后的變形量Δh,計算出有限元仿真的彈簧剛度結(jié)果K1=P/Δh,根據(jù)式(16)可得不含傾斜度效應(yīng)的彈簧剛度K0=1 173.789 N·m-1,以及荷載作用下考慮扭轉(zhuǎn)和彎矩共同作用的彈簧剛度表達(dá)式K(κ)=K0(1+η),不含傾斜度效應(yīng)的彈簧剛度與有限元仿真計算的彈簧剛度誤差ξ1=(K1-K0)/K1,考慮傾斜度效應(yīng)的彈簧剛度理論解與有限元仿真計算的彈簧剛度誤差ξ2=(K1-K0(1+η))/K1,結(jié)果如表3所示。

        表3 彈簧剛度的變化及相對誤差

        由表3的有限元結(jié)果可得,傾斜度κ的值越大,彈簧剛度越??;從整體分析可得,當(dāng)傾斜度κ的值較小時,式(1)、式(16)的值與有限元值均比較吻合,此時式(1)、式(16)中的表達(dá)式均可用于工程中的彈簧設(shè)計;當(dāng)初始傾斜度κ的值較大時,式(1)與有限元值的差值越來越大,當(dāng)κ≥0.2時,式(16)的精確度高于式(1)的精確度,且式(16)隨著κ值增加誤差變小而式(1)隨著κ值增加誤差變大,此時必須考慮彈簧傾鋼絲斜度的影響,并且應(yīng)當(dāng)選取式(16)計算彈簧剛度。

        κ

        可知,有限元無量綱化的結(jié)果與本文中考慮傾斜度彈簧剛度表達(dá)式式(16)無量綱化后的結(jié)果曲線十分吻合,曲率變化也接近。當(dāng)彈簧傾斜度κ逐漸增大,有限元結(jié)果K1與K(κ)結(jié)果越來越接近,兩者之間差值幅度也越來越小,而有限元結(jié)果K1與不含有傾斜度的彈簧剛度表達(dá)式K0差值的幅度越來越大,由此可見,式(16)的適用性更高。

        4 結(jié)論

        本文利用彈簧自身的參數(shù)及變化特性,考慮傾斜度即螺旋角對彈簧剛度的影響,基于能量法對其剛度進(jìn)行求解,并借助有限元仿真軟件進(jìn)行驗證,將所得結(jié)果與經(jīng)典理論公式和本文推導(dǎo)得到的解析解進(jìn)行比較,結(jié)論如下:

        (1)由有限元結(jié)果可證明螺旋角對彈簧剛度的大小會產(chǎn)生影響,且同等條件下,傾斜度較大的,剛度值反而更小。

        (2)由能量法推導(dǎo)得到的解析解與有限元計算結(jié)果基本吻合,不僅驗證了解析解的正確性,同時由差值結(jié)果可證明該解析解的精度較高。

        (3)經(jīng)典理論公式僅適用于傾斜度較小的彈簧,本文的公式不僅適用于密圈彈簧,對于傾斜度較大的圓柱彈簧同樣適用,且誤差均小于0.21%,可為工程中的彈簧剛度設(shè)計提供較為可靠的理論解。

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