諸兵，左宗玉，王艷東

(北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京)

一 引言

國內(nèi)大多數(shù)高等院校信息類和航空航天類相關(guān)專業(yè)都開設(shè)有《自動控制原理》課程。該課程是自動化相關(guān)專業(yè)的理論基礎(chǔ)課，同時又是其它信息類和航空航天類學(xué)科的重要基礎(chǔ)課之一，例如計算機(jī)、電子信息、航空宇航、機(jī)器人等等。一個工程系統(tǒng)的正常運(yùn)行通常在很大程度上依賴其控制系統(tǒng)的性能。在新工科背景下，通過對《自動控制原理》課程的學(xué)習(xí)，使本科學(xué)生系統(tǒng)掌握自動控制的基本理論知識和了解必要的實踐手段，為后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)和參加信息類和航空航天類工程實踐打下必要的基礎(chǔ)。

北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院承擔(dān)全校部分學(xué)院的本科《自動控制原理》課程。該課程為國家級精品課程、北京市精品課程，是自動化相關(guān)本科學(xué)科的專業(yè)核心課，在北航自動化及相關(guān)專業(yè)課程體系中占有重要地位。課程所使用的教材為程鵬教授主編《自動控制原理》（第二版），由高等教育出版社出版，并配套有輔助教材。教材與輔助教材均為普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材配套用書。根據(jù)北航辦學(xué)方針和自動化學(xué)院的本科培養(yǎng)目標(biāo)，結(jié)合教學(xué)大綱的基本要求，《自動控制原理》教研組不斷總結(jié)和分析教學(xué)實踐中的經(jīng)驗和問題，持續(xù)改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)手段，并取得了良好效果[1]。

目前，《自動控制原理》課程教學(xué)實踐中的一個典型問題，該課程的主要內(nèi)容是在實際工程中提煉出來的理論分析與設(shè)計方法，由于課時有限，課程的講授需要找到理論推導(dǎo)與工程實踐之間的平衡點(diǎn)。過于注重理論推導(dǎo)而忽視應(yīng)用，則容易脫離課程的教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生感覺不知所云，從而引發(fā)厭學(xué)情緒；過于注重應(yīng)用而忽視理論推導(dǎo)，則不利于學(xué)生培養(yǎng)學(xué)科的思維方式，也不利于進(jìn)入后續(xù)課程的深入學(xué)習(xí)。當(dāng)前國內(nèi)高校的普遍情況是《自動控制原理》課程及教材非常注重理論結(jié)果的精確描述和相關(guān)應(yīng)用，但是受限于工科學(xué)生的基礎(chǔ)數(shù)理知識，并未充分給出所有理論結(jié)果的證明和推導(dǎo)。以梅森公式為例，通過該公式能夠直接計算出動態(tài)結(jié)構(gòu)圖（或信號流圖）描述的線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，是非常重要的理論結(jié)果，也具有重要工程意義，但是幾乎所有國內(nèi)外的著名教材都未能給出其詳細(xì)證明[2-5]。通過查閱早期文獻(xiàn)以及一些相關(guān)的后續(xù)研究，能夠發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)中的原始證明方法需要使用一些自動化類本科生可能不曾接觸的理論知識。講授梅森公式的證明需要在教學(xué)實踐中嘗試使用其它能使自動化類工科學(xué)生接受的方法。

本文針對《自動控制原理》課程中存在的普遍忽視定理證明的問題，以梅森公式為例，探索如何簡潔充分講述定理的理論推導(dǎo)的方法。并研究理論推導(dǎo)如何提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，研究如何促進(jìn)學(xué)生熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)定理，最終提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

二 教學(xué)探索與實踐——以梅森公式為例

（一） 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

同一個線性系統(tǒng)，既可以用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖描述，也可以用信號流圖描述。兩種描述方法的形式不同，但是物理意義是一樣的。

動態(tài)結(jié)構(gòu)圖（或者方框圖）中，方框表示各元部件的傳遞函數(shù)，各方框之間通過信號線、綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)連接，形成描述整個系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)。例如圖1是一個典型的線性系統(tǒng)反饋結(jié)構(gòu)。

信號流圖的形式與動態(tài)結(jié)構(gòu)圖不同，使用有向信號線表示各元部件的輸入輸出關(guān)系（即傳遞函數(shù)），信號線中的信號進(jìn)入節(jié)點(diǎn)做加減法計算，計算結(jié)果輸出到下一信號線。例如圖2 所示為信號流圖，它與圖1 描述的是同一個系統(tǒng)。通常，可以（不精確地）認(rèn)為，信號流圖中的節(jié)點(diǎn)為動態(tài)結(jié)構(gòu)圖中的信號線，而信號流圖中的信號線為動態(tài)結(jié)構(gòu)圖中的方框。

使用信號流圖的描述方式，梅森公式的證明顯得簡單直觀。動態(tài)結(jié)構(gòu)圖描述方式下的梅森公式物理意義是相同的。

（二） 梅森公式（Mason’s gain formula）

梅森公式用于直接由動態(tài)結(jié)構(gòu)圖或者信號流圖計算線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其表達(dá)式見公式（1）。

圖2 線性系統(tǒng)信號流圖

Li為第i個回路傳遞函數(shù)（含符號）的乘積；

LiLj為兩個互不接觸回路的傳遞函數(shù)（含符號）的乘積（這里，互不接觸是指兩個回路不享有相同的元部件）；

LiLjLk為三個互不接觸回路的傳遞函數(shù)（含符號）的乘積，等等。

N為前向通路[ 從輸入R(s) 到輸出C(s) 且不重復(fù)訪問同一點(diǎn)]的條數(shù)；

Pk為第k條前向通道傳遞函數(shù)的乘積；

△k為第k條前向通道的余子式，即將△中去除與k條前向通路相接觸的回路后的余項。

經(jīng)過長期教學(xué)實踐，如果不介紹梅森公式的證明，則學(xué)生通常會提出下列問題：

（1）△的表達(dá)式中，除了包含各回路傳遞函數(shù)，為何還需不接觸回路傳遞函數(shù)的乘積？不接觸回路的乘積在物理上表示什么意義？

（2）余子式△k與線性代數(shù)中的余子式概念有何聯(lián)系？其物理意義是什么？

（三） 梅森公式的證明

梅森公式的原始文獻(xiàn)中，因為需要考慮到更一般的情況，因此證明過程中使用了很多國內(nèi)工科本科生不曾掌握的數(shù)學(xué)知識。如果只考慮本科生能夠?qū)嶋H接觸到的系統(tǒng)，則其動態(tài)結(jié)構(gòu)圖或信號流圖相對比較簡單。將梅森公式限制在此種情況下，則證明比較容易，能夠為工科本科生理解并掌握。本節(jié)以大三本科生的視角，基于最少的前期課程的基礎(chǔ)知識證明梅森公式的基本結(jié)論，用到的基礎(chǔ)理論僅包括線性代數(shù)。

這里使用信號流圖證明梅森公式。令系統(tǒng)的輸入節(jié)點(diǎn)信號為R，其余節(jié)點(diǎn)信號為Xi，其中i=1,2,…,n。即，除了輸入節(jié)點(diǎn)外，系統(tǒng)還有n個節(jié)點(diǎn)。例如圖2 中，除輸入節(jié)點(diǎn)外，還有3 個其他節(jié)點(diǎn)。系統(tǒng)的輸出Y=Xn。令輸入節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)i的增益為gir，令節(jié)點(diǎn)j到節(jié)點(diǎn)i的增益為gir，則在節(jié)點(diǎn)處的信號滿足下式：

或者

當(dāng)節(jié)點(diǎn)取遍i=1, 2,…,n，可以寫成矩陣方程的形式：

可以證明，如果從輸入節(jié)點(diǎn)出發(fā)，能夠通過有向信號線到達(dá)任一其他節(jié)點(diǎn)，則矩陣A可逆，因此

如果只關(guān)注輸入輸出關(guān)系，則

或者傳遞函數(shù)為

即向量A-1b的最后一個元素。

進(jìn)一步的，考慮

其中det(A)表示矩陣A的行列式，A*是矩陣A的伴隨矩陣。

關(guān)于傳遞函數(shù)的分母，我們可以關(guān)注det(A) 的特點(diǎn)。按照行列式的計算規(guī)則，有

其中k1,k2,…,kn是1,2,…,n交換k次所得的序列。

按照（1）中矩陣的具體形式，如果行列式中元素乘積指標(biāo)序列沒有交換次序，則

式中的“1”。如果行列式中A元素乘積序列有交換次序，則對應(yīng)回路。例如：

式中的單回路之一，符號為負(fù)。再例如

上式中，類似對特征多項式det(A) 的分析，行列式包含從節(jié)點(diǎn)1 到n的所有前向通道及其與不接觸回路的乘積；而g1r表示從輸入端到節(jié)點(diǎn)1 的通道。因此，g1ra*1n包含所有從輸入端開始，由g1r經(jīng)節(jié)點(diǎn)1 的前向通道及其與不接觸回路的乘積。類似的，所有g(shù)1ra*1n包含所有從輸入端開始，由gir經(jīng)節(jié)點(diǎn)i的前向通道及其與不接觸回路的乘積。求和之后，可以證明，，即梅森公式的分子部分得證。

從上述證明可以看出，針對目前學(xué)生能夠接觸到的線性系統(tǒng)，用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖或者信號流圖描述，其梅森公式的證明是簡潔且容易理解的。除線性代數(shù)基本知識外，并沒有用到其它深奧的數(shù)學(xué)理論。在課堂上將梅森公式的證明作為選學(xué)內(nèi)容講授，則可以引入初步的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)建模思想，提前為以后從事網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)控制相關(guān)方面研究做準(zhǔn)備；同時，加深學(xué)生對于線性代數(shù)知識的熟練掌握與應(yīng)用。

除了梅森公式之外，本課程其它定理的證明（例如根軌跡法則、線性系統(tǒng)PBH 可控性判據(jù)、李雅普諾夫方程、李雅普諾夫穩(wěn)定性幾何意義，等等）都可以作為選學(xué)內(nèi)容講授。既能夠加深學(xué)生對于大綱內(nèi)容的理解，也能夠進(jìn)一步激發(fā)對更深入知識的學(xué)習(xí)興趣。

三 教學(xué)實踐效果與持續(xù)改進(jìn)措施

（一） 教學(xué)實踐效果

作者已在兩輪次（2019-2020 年秋春、2020-2021 年秋春，共4 學(xué)期）本科《自動控制原理》課程教學(xué)實踐中嘗試適當(dāng)增加定理證明作為選學(xué)內(nèi)容。兩輪次的課程教學(xué)實踐中，第一輪次先少量加入教材中未提供的定理證明，第二輪次在第一輪次的基礎(chǔ)上進(jìn)一步增加定理證明。從學(xué)生的實際反饋和期末考試成績可以看出，這種嘗試取得了很好的效果。

圖3 近兩輪次授課期末考試成績分布

按照學(xué)校有關(guān)規(guī)定，學(xué)生在查看期末成績之前需要對教師的教學(xué)效果做出評價和建議。這兩輪次的授課后，典型的學(xué)生評價主要包括：“超綱內(nèi)容（即增加的證明內(nèi)容）非常有趣”“（授課）實行效果好”“講解非常詳細(xì)”“l(fā)ecture notes（即授課筆記）很有用”，等等。選課學(xué)生對課程和教師的肯定是作者持續(xù)教學(xué)改革的最大動力。

初步嘗試教學(xué)改革的兩輪次（2019-2020 年秋春、2020-2021 年秋春，共4 學(xué)期）授課的期末考試成績分布情況見圖3 所示。從選課學(xué)生成績分布可以看出，優(yōu)秀率很高，不及格率很低，充分體現(xiàn)了作者近兩年來教改措施的有效性。

（二） 持續(xù)改進(jìn)措施

按照學(xué)校有關(guān)規(guī)定，學(xué)生在查看期末成績之前需要對教師的教學(xué)效果做出評價和建議。針對作者在適當(dāng)增加定理證明方面的嘗試，典型的評價主要包括：（1）現(xiàn)有教材上并未提供教師講授的選學(xué)內(nèi)容，無法充分預(yù)習(xí)；（2）由于課時所限導(dǎo)致講授速度較快，來不及記筆記，因此并不能總是很好地接受所有的選學(xué)內(nèi)容。

作者認(rèn)為，上述評價確實能夠反映當(dāng)前課堂教學(xué)實踐的實際問題。導(dǎo)致上述問題的原因在于該教學(xué)改革還處于初步嘗試階段，授課教師并未充分考慮所有選課學(xué)生對于新理論知識的接受能力。所以，當(dāng)前的教改措施還未完全達(dá)到期望效果。從圖3 的數(shù)據(jù)也能看出，2020-2021 年春季學(xué)期的期末成績比其它學(xué)期略差，說明作者的教改措施還有持續(xù)提高的空間。因此，作者提出并準(zhǔn)備嘗試在下一輪授課中采取以下持續(xù)改進(jìn)措施：

（1）對于教材未提供的但相對重要的定理證明仍然采用課堂講授的方式。授課教師提前制作授課筆記，并在課前至少一周通過學(xué)校網(wǎng)絡(luò)課程中心系統(tǒng)發(fā)給選課學(xué)生。授課筆記的內(nèi)容包括教材中知識點(diǎn)的高度提煉，并加入一些重要定理證明。本措施試圖提高學(xué)生的預(yù)習(xí)效果。

（2）對于教材未提供的相對不重要的定理證明，考慮線上課堂視頻作為線下課堂授課的補(bǔ)充材料。通過線上線下結(jié)合的措施能夠給學(xué)生提供充分的學(xué)習(xí)材料，包括非常有趣的選學(xué)材料。本措施主要針對線下課堂學(xué)時不足的問題。

上述兩項改進(jìn)措施中，第（1）條措施已在上一輪授課中做了初步嘗試，取得了一定效果，但是現(xiàn)有的授課筆記還比較簡單，需要在新一輪授課中進(jìn)一步改進(jìn)；第（2）條措施已在作者負(fù)責(zé)的研究生課程“非線性控制理論”中使用，且取得了非常好的效果（視頻播放超過4 萬次）?；诋?dāng)前的教學(xué)實踐效果和數(shù)據(jù)，作者認(rèn)為上述兩項措施一定能夠有效改進(jìn)教學(xué)改革的效果。

四 結(jié)語

本文以梅森公式為例，論述了工科自動化專業(yè)《自動控制原理》課程中適當(dāng)增加有關(guān)定理證明的講解的優(yōu)點(diǎn)與意義。近年來的學(xué)生評價和教學(xué)實踐數(shù)據(jù)表明，在《自動控制原理》課程中適當(dāng)加入定理證明的講解，有利于學(xué)生進(jìn)一步系統(tǒng)性深入理解和掌握所學(xué)知識，有效提高學(xué)習(xí)成績；并且，在學(xué)習(xí)新知識的同時達(dá)到復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識的效果。