譚 毅 沈 婕 劉 勇 王洪亮 李 瑛

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是學(xué)生所具備的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。這六個核心素養(yǎng)既具有相對獨立性，各自具有鮮明的特征，又組成一個有機整體，具有整合性和綜合性的特點[1]4。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平主要表現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題的過程中，根據(jù)問題解決的情況，可評價學(xué)生相應(yīng)核心素養(yǎng)的發(fā)展水平。2021 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)試卷（以下簡稱“2021 年高考數(shù)學(xué)天津卷”）所考查的核心素養(yǎng)的分布如表1所示：

表1 2021年高考數(shù)學(xué)天津卷各核心素養(yǎng)

從數(shù)據(jù)上看，試卷主要考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析四大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模兩個核心素養(yǎng)雖未直接考查，但在試卷中也有所涉及。其中，數(shù)學(xué)運算所占比例最高，直觀想象素養(yǎng)也占有較高的比例。直觀想象素養(yǎng)整合了空間想象、幾何直觀和空間觀念，是問題解決的可視化手段，影響人對客觀世界的感知與認識，是人腦發(fā)展的一個獨特領(lǐng)域，也是數(shù)學(xué)抽象或數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)。以高考考生實測數(shù)據(jù)為依據(jù)，以直觀想象的水平劃分為標(biāo)準(zhǔn)，評價考生的直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展水平，能夠指導(dǎo)教師針對提升直觀想象素養(yǎng)的水平開展教學(xué)活動、實施教學(xué)策略。

一、直觀想象素養(yǎng)的概念及水平劃分

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》（以下簡稱“《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：利用空間形式認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路[1]6。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》將直觀想象素養(yǎng)水平從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個方面，劃分為三個水平。水平一是高中畢業(yè)應(yīng)當(dāng)達到的要求，水平二是高考的要求，水平三是學(xué)生完成必修、選擇性必修和選修課程的相應(yīng)內(nèi)容應(yīng)該達到的要求。

為了能夠更加科學(xué)、系統(tǒng)地評價考生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展水平，天津市教育質(zhì)量評估監(jiān)測中心高考評價項目數(shù)學(xué)學(xué)科組，借鑒《課程標(biāo)準(zhǔn)》附錄1 的《數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分》，并結(jié)合直觀想象素養(yǎng)的考查特點，將學(xué)生直觀想象素養(yǎng)發(fā)展水平下三個不同的指標(biāo)特征進行了詳細劃分，并制定了具體的評價標(biāo)準(zhǔn)，如表2所示：

表2 直觀想象素養(yǎng)指標(biāo)特征及水平劃分表[2]

例題1：2009年高考數(shù)學(xué)天津卷（理工類）第15題

在四邊形ABCD中，求四邊形ABCD的面積.

該題重點考查直觀想象素養(yǎng)中的幾何直觀和數(shù)形聯(lián)系的能力。學(xué)生在解決問題時，首先要正確理解所表達的圖形特征，即四邊形ABCD為有一組對邊長是的平行四邊形，這需要學(xué)生了解向量的坐標(biāo)表示，并能抽象出幾何圖形，即學(xué)生要達到幾何直觀水平一的要求。其次，學(xué)生要清楚等式“所表達的幾何意義，主要分為兩個層次：第一是理解分別表示與同方向的單位向量，且是一組共線向量，這需要學(xué)生能夠在關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境中抽象并分析圖形的性質(zhì)，即需要學(xué)生達到幾何直觀水平二的要求；第二是由可以分析出四邊形ABCD為∠B= 60°的菱形，并利用上述圖形特征求出四邊形ABCD的面積，需要學(xué)生達到數(shù)形聯(lián)系水平二的要求。如果學(xué)生能夠在解決此類問題的基礎(chǔ)上，進一步厘清向量與平面幾何圖形間的關(guān)系，充分理解向量的幾何特征，在綜合利用向量知識解決更為復(fù)雜的問題的同時，能夠形成解決問題的基本思路，能夠形成數(shù)形結(jié)合的思想，可以認為達到了數(shù)形聯(lián)系水平三的要求。

二、直觀想象素養(yǎng)試題實測數(shù)據(jù)分析

2021年高考數(shù)學(xué)天津卷中考查直觀想象素養(yǎng)的題目為第3、6、8、9、12、18_1、18_2 題，分值為40 分，知識涵蓋對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等多個方面。

采用安格夫方法，將考生分為精通水平（G4組）、熟練水平（G3組）、基本水平（G2組）以及基本水平以下（G1 組）四組，其分?jǐn)?shù)段分別為123~150 分、101~122分、79~100分和79分以下，G5組為全體考生。

天津市考生的直觀想象素養(yǎng)整體發(fā)展水平良好（得分率為0.60），但不同水平組之間卻存在著顯著差異，如表3所示：

表3 2021年高考數(shù)學(xué)天津卷直觀想象素養(yǎng)各水平組得分率

下面結(jié)合試題對直觀想象素養(yǎng)的考查情況以及考生的直觀想象素養(yǎng)發(fā)展水平進行分析。

（一）基于空間想象的直觀想象素養(yǎng)考查

例題2：2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第6題

兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為1∶3，則這兩個圓錐的體積之和為（ ）

A.3π B.4π C.9π D.12π

【水平劃分】本題考查了圓錐的性質(zhì)、球體的體積公式及圓錐與球的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，其中圓錐與球的位置關(guān)系重點考查了直觀想象素養(yǎng)中的空間想象能力?？忌鉀Q此問題時，需要想象出兩個具有相同底面的不同圓錐在球中的正確位置關(guān)系，應(yīng)劃分為空間想象水平二。

【數(shù)據(jù)分析】本題得分率為0.74，屬于簡單題，各水平組得分如表4所示：

表4 2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第6題各水平組得分率

從上面的數(shù)據(jù)不難看出，G3 組（熟練水平）、G4組（精通水平）考生在此題表現(xiàn)比較好，尤其是G4 組考生，該組僅有1%的考生答題有誤。而G1 和G2 組均有較大比例的考生答題錯誤。結(jié)合各水平組的得分情況可以發(fā)現(xiàn)，直觀想象素養(yǎng)中空間想象能力，尤其是想象物體間的相互位置關(guān)系（空間想象水平二）的能力，是一道“分水嶺”，非常明顯地將G1、G2組和G3、G4 組分開，說明G1 和G2 組考生運用空間想象辨析物體間位置關(guān)系的能力有待加強。

【教學(xué)反思】針對G1、G2組考生在空間想象水平方面所反映的問題，在立體幾何的教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)這部分學(xué)生的空間想象能力。要有針對性地幫助G1、G2組考生提升能力，可借助立體模型展示、信息技術(shù)畫圖等方式，豐富學(xué)生的直觀感受，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；對于一些簡單的幾何圖形問題，也可以要求該水平組學(xué)生自己畫圖分析，在動手畫圖的過程中積累“空間想象”的經(jīng)驗；還可以漸進式地引導(dǎo)學(xué)生探索圖形與圖形之間關(guān)系，讓學(xué)生更多地參與到“空間想象”的活動中來，逐步培養(yǎng)并提升空間想象能力。

（二）基于幾何直觀的直觀想象素養(yǎng)的考查

例題3：2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第12題

【水平劃分】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系問題，雖然題目考查的是考生熟悉的情境，但在解題過程中，需要考生先畫出直線與圓相切的幾何圖形，進而發(fā)現(xiàn)“直線與y軸的夾角為30°”這一幾何特征，從而求出線段AB的長，應(yīng)劃分為幾何直觀水平二。

【數(shù)據(jù)分析】本題得分率為0.58，屬于中等題，各水平組得分如表5所示：

表5 2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第12題各水平組得分率

從上面的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，各水平組（G4 組除外）此題的得分率普遍偏低，尤其是G1 組考生表現(xiàn)出的水平與預(yù)期差距較大。通過考后調(diào)研發(fā)現(xiàn)，造成考生此題表現(xiàn)低于預(yù)期的原因主要有以下三個方面：（1）本題考查的是“直線與圓相切的位置關(guān)系”，與往年考查的“直線與圓相交的位置關(guān)系”問題略有不同，部分考生在高三復(fù)習(xí)過程中并沒有重視這一知識點，練習(xí)較少，在考試中因為知識生疏導(dǎo)致沒有思路；（2）本題求線段AB長的關(guān)鍵在于將“直線斜率為

【教學(xué)反思】考生在本題中的表現(xiàn)遠不如預(yù)期，值得深刻反思。第一，不能過于功利化，不能因為上一年或前些年高考試卷考什么，就復(fù)習(xí)什么，將復(fù)習(xí)的視角僅僅停留在已考過的知識點上，而應(yīng)該依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的課程內(nèi)容，全方位、多角度、無“死角”地引導(dǎo)學(xué)生進行復(fù)習(xí)；第二，不能過于模式化，不能要求學(xué)生機械地記憶幾個公式，生硬地套用它們解題，而應(yīng)該先讓學(xué)生理解公式的意義、使用的條件等，再結(jié)合不同的問題情境幫助學(xué)生分析如何正確地選用并使用公式。特別是解析幾何問題中，還應(yīng)該讓學(xué)生從幾何圖形入手，觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)形聯(lián)系，逐步掌握“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化能力，真正做到數(shù)形結(jié)合。本題條件中提到了“直線斜率為”，假如學(xué)生能夠從直線傾斜角的角度出發(fā)，通過這個數(shù)，發(fā)現(xiàn)其“形”上的特征——直線與x軸的非負半軸夾角為60°，那么接下來要做的就是利用直角三角形中兩直角邊的關(guān)系，即可求出線段AB的長。

（三）基于數(shù)形聯(lián)系的直觀想象素養(yǎng)的考查

例題4：2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第9題

設(shè)x∈R，函數(shù)

【水平劃分】本題是函數(shù)綜合題，考查了分段函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)及函數(shù)零點等多個數(shù)學(xué)情境，各情境間相互關(guān)聯(lián)、彼此影響，同時還有對參數(shù)a分類討論的問題。考生需要先正確解決二次函數(shù)和三角函數(shù)的零點問題，然后靈活運用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法研究參數(shù)a對零點個數(shù)的影響，并對分析結(jié)果進行合理取舍，本題劃分為數(shù)形聯(lián)系水平三。

【數(shù)據(jù)分析】本題得分率為0.18，屬于難題，各水平組得分如表6所示：

表6 2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第9題各水平組得分率

結(jié)合上面的數(shù)據(jù)可以看出，G1、G2、G3三組得分率非常接近且普遍偏低，G4 組表現(xiàn)明顯好于其他三組，但答題正確的人數(shù)依然沒有過半。通過考后的問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，考生不能完成此題的情況大致可以分為三類：第一類是不能正確求出分段函數(shù)f（x）中三角函數(shù)部分的零點表達式（可認為此類考生沒有達到數(shù)形聯(lián)系水平一）；第二類是能正確求出三角函數(shù)部分的零點表達式，但不能正確理解分段函數(shù)中參數(shù)a的作用（可認為此類考生沒有達到數(shù)形聯(lián)系水平二）；第三類是上述問題均能完成，但不會運用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法對函數(shù)的六個零點進行正確分析（可認為此類考生沒有達到數(shù)形聯(lián)系水平三）。

【教學(xué)反思】本題情境綜合、問題復(fù)雜，對考生直觀想象素養(yǎng)中數(shù)形聯(lián)系能力水平的要求較高，雖然大多數(shù)考生不能答對此題，如G1（0.12）、G2（0.13）、G3（0.14）三個水平組，其得分率相差無幾，但導(dǎo)致各水平組答題錯誤的原因可能不盡相同。教師在平時指導(dǎo)學(xué)生解決此類問題時，應(yīng)該根據(jù)學(xué)生水平不同、對問題理解程度的不同，采取“分層教學(xué)”的方法進行。以G3 水平組的考生為例，該組考生可以求出題目中三角函數(shù)部分的零點表達式，其問題在于不會對參數(shù)a進行正確分類討論，那么針對該水平的學(xué)生，教師在教學(xué)中應(yīng)該圍繞如何正確理解參數(shù)在問題中的作用、如何結(jié)合問題對參數(shù)進行合理分類展開復(fù)習(xí)指導(dǎo)。

例題5：2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第18題

（I）求橢圓的方程；

（II）直線l 與橢圓有唯一的公共點M，與y 軸的正半軸交于點N，過N 與BF 垂直的直線交x 軸于點P.若MP∥BF，求直線l的方程.

【水平劃分】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系問題。本題第（I）問直接利用離心率和線段BF的長，列方程組，求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的a和b即可，屬于數(shù)形聯(lián)系水平一。第（II）問需要考生用正確的代數(shù)形式表達直線與橢圓相切，并求出切點的坐標(biāo)；同時要求考生用正確的數(shù)學(xué)語言刻畫出直線的垂直與平行關(guān)系，最后列方程求解——此問題的解決需要考生具備分析幾何圖形的能力及用代數(shù)方法解決圖形關(guān)系的能力，屬于數(shù)形聯(lián)系水平二。

【數(shù)據(jù)分析】本題得分率為0.58，屬于中等偏難題。其中第（Ⅰ）問占5 分，得分率為0.90；第（Ⅱ）問占10分，得分率為0.41，各水平組得分如表7所示：

表7 2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第18題各水平組得分率

本題第（I）問對考生的數(shù)形聯(lián)系能力要求并不高，但G1 水平組考生的得分率僅為0.51，而其他三個水平組的得分率均高于0.9，達到了預(yù)期。

通過分析學(xué)生的答題過程發(fā)現(xiàn)，G1 組考生在完成第（1）問的過程中主要存在兩方面問題：一方面是不能將問題轉(zhuǎn)化成準(zhǔn)確的方程組，即建立數(shù)形聯(lián)系的能力不足（如圖1）；另一方面是不能正確求解方程組中變量，即數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)有待提升（如圖2）。

圖1

圖2

表8 2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第18_II題各水平組得分匯總

從表8 可以看到，第（2）問各組得分率差異較大。其中G1、G2 組考生得分在2 分以下的比例分別約為96%和60%，說明這部分考生不能將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，也就是說基本不知道這道題到底要“算什么”。G4 組得分在8 分以上的考生約占67%，說明這部分考生能夠?qū)ⅰ爸本€l 與橢圓有唯一的公共點M”“與y 軸的正半軸交于點N，過N 與BF垂直的直線交x 軸于點P”及“MP∥BF”，這些“形”的信息與“數(shù)”的形式建立正確聯(lián)系，具備了將幾何圖形及圖形之間的關(guān)系用代數(shù)形式表達的能力，達到了數(shù)形聯(lián)系水平二。

【教學(xué)反思】通過上述數(shù)據(jù)及學(xué)生實際作答情況不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在面對解析幾何綜合題時會遇到“算什么”“怎么算”“算不對”等諸多問題。在解析幾何的教學(xué)中，教師在分析問題環(huán)節(jié)應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生形成用代數(shù)方法解決幾何問題的意識；在解決問題環(huán)節(jié)應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生探求解題思路，掌握“建參”和“消參”的解題技巧；在運算求解環(huán)節(jié)應(yīng)該讓學(xué)生體驗計算過程，不斷對解題過程進行反思與優(yōu)化，將培養(yǎng)的學(xué)生直觀想象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)有機地結(jié)合起來，真正做到促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面提升。

三、教學(xué)建議

（一）提煉梳理“直觀想象”的教學(xué)內(nèi)容，循序漸進地提升直觀想象素養(yǎng)

在義務(wù)教育階段，學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)具有一定的基礎(chǔ)，具備簡單的分析圖形幾何直觀能力、正確想象圖象的空間想象能力以及簡單的數(shù)形聯(lián)系的能力。進入高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)后，直觀想象素養(yǎng)仍然是一個具有連續(xù)性、階段性、遞進性的有機整體。教學(xué)中要以不同的知識背景為載體，有計劃、有目的地幫助學(xué)生不斷提升直觀想象素養(yǎng)，其中梳理與其相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，制定合理的階段性目標(biāo)是幫助學(xué)生提升直觀想象素養(yǎng)的首要方法。

縱觀整個高中數(shù)學(xué)課程，“預(yù)備知識”“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”主題均是培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的“主陣地”。如預(yù)備知識中的“一元二次方程和一元二次不等式”，函數(shù)主題中的“指對數(shù)函數(shù)的圖象”“三角函數(shù)的圖象”“導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用”等，特別是“幾何與代數(shù)”主題中的幾何部分，教學(xué)中要將知識中蘊含的素養(yǎng)顯性化，直接呈現(xiàn)內(nèi)容，并不斷點撥，循序漸進地提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

直觀想象素養(yǎng)的提升，要關(guān)注其階段性與遞進性。教學(xué)時可以“教學(xué)單元”為單位，提煉單元所體現(xiàn)的直觀想象的特點，有計劃有目的地開展相應(yīng)的教學(xué)活動。函數(shù)單元主要提升學(xué)生運用圖象的意識和能力，從而提升幾何直觀的能力；平面向量與解析幾何單元主要提升學(xué)生“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化的能力，從而提升數(shù)形聯(lián)系的能力；立體幾何單元主要提升學(xué)生“想圖、畫圖”的能力，從而提升數(shù)空間想象能力。

例如函數(shù)單元，在冪函數(shù)的教學(xué)中，以初中學(xué)過的函數(shù)為基礎(chǔ)，通過教師問題引導(dǎo)，學(xué)生能產(chǎn)生“想圖、畫圖、研究圖”的意識；在指數(shù)對數(shù)函數(shù)的教學(xué)中，教師放手讓學(xué)生運用類比的方法自己提出問題，并嘗試畫圖、研究圖形，體會圖形在研究函數(shù)中的作用；在三角函數(shù)的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生理解單位圓后，由學(xué)生運用單位圓與圖象相結(jié)合的方法，自主研究誘導(dǎo)公式、正（余）弦函數(shù)的周期性、對稱性單調(diào)性和最大（?。┲档刃再|(zhì)，利用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系。學(xué)生通過對函數(shù)圖象的系列學(xué)習(xí)，不斷提升幾何直觀的能力，能從模仿畫圖，到嘗試探究圖象，最后能夠獨立地探究圖象并運用圖象研究性質(zhì)。這樣就實現(xiàn)了以“單元教學(xué)”理念為指導(dǎo)，循序漸進地提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

（二）運用“識、作、想、思”相結(jié)合的方法，全方位地提升直觀想象素養(yǎng)

1. 注重“識圖”能力的培養(yǎng)，多給學(xué)生用眼看的機會

圖形是幾何體呈現(xiàn)的載體，識圖能力是作圖、想象圖形和分析圖形的基礎(chǔ)，因此應(yīng)該注重學(xué)生識圖能力的培養(yǎng)，多給學(xué)生用眼看的機會。例如在導(dǎo)數(shù)幾何意義的教學(xué)中，學(xué)生很難理解無限逼近的思想，教師可借助數(shù)學(xué)軟件如GeoGebra、幾何畫板等，將“平均變化率”到“瞬時變化率”、曲線的“割線”到“切線”的過程形象地展示出來，使學(xué)生豐富幾何直觀的體驗，積累基本活動經(jīng)驗，領(lǐng)悟從“量變”到“質(zhì)變”的哲學(xué)思想，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)無法實現(xiàn)的教學(xué)效果[3]。

2.注重“作圖”能力的培養(yǎng)，多給學(xué)生動手畫的機會

作圖能力是識圖的必然結(jié)果，是想象圖形的較低層次，是分析圖形的前提條件，因此應(yīng)該注重學(xué)生作圖能力的培養(yǎng)，多給學(xué)生動手畫的機會。例如函數(shù)單元，在探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的教學(xué)中，教師應(yīng)盡量設(shè)計學(xué)生動手畫圖的活動環(huán)節(jié)。雖然利用信息技術(shù)畫圖更“節(jié)省時間”，但學(xué)生并沒有得到鍛煉，今后遇到畫圖問題仍然不會畫圖或者畫錯圖象。只有充分相信學(xué)生，放手讓學(xué)生動手畫圖，才能將相對抽象的問題直觀化，“以形助數(shù)”，讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，最終形成將抽象的數(shù)學(xué)語言用直觀圖形呈現(xiàn)出來的能力。

3.注重“想圖”能力的培養(yǎng)，多給學(xué)生動腦想的機會

想象圖形的能力是作圖能力的較高層次，是解決抽象問題的重要手段，因此應(yīng)該注重學(xué)生想象圖形能力的培養(yǎng)，多給學(xué)生動腦想的機會。在解決某些抽象的數(shù)學(xué)問題時，圖形之間的相互關(guān)系不能輕易通過作圖直觀呈現(xiàn)出來，這就需要教師在平時教學(xué)中，借助信息手段為學(xué)生提供運用空間想象認識事物的素材，強調(diào)作圖后歸納圖形特點的重要性，培養(yǎng)學(xué)生形成將抽象的圖形描述在大腦形成“幾何直觀”的能力。

4.注重“思圖”（分析圖形）能力的培養(yǎng)，多給學(xué)生思考分析的機會

分析圖形的能力是識圖、畫圖、想圖能力的升華，因此應(yīng)該注重學(xué)生分析圖形能力的培養(yǎng)，多給學(xué)生思考分析的機會。例如，在解析幾何的復(fù)習(xí)中，教師可以創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形入手，通過觀察、分析、思考，建立幾何圖形與代數(shù)式的關(guān)系，使學(xué)生理解運用“建參”和“消參”解決解析幾何問題的基本方法，通過親身經(jīng)歷，不斷積累經(jīng)驗，逐步掌握分析圖形的能力。

數(shù)學(xué)直觀需要學(xué)生長期進行數(shù)學(xué)思維才能形成，因此，教師在教學(xué)中，一定要堅持讓學(xué)生多看、多畫、多想、多思考，將直觀想象的培養(yǎng)貫穿整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)全過程。

（三）經(jīng)歷“直觀想象”的體驗與反思的過程，潛移默化地提升直觀想象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要學(xué)生經(jīng)歷問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決的過程。直觀想象素養(yǎng)的提升，同樣需要學(xué)生在“體驗與反思”的過程中，深入理解其內(nèi)涵。教學(xué)中倡導(dǎo)教師要注重創(chuàng)設(shè)合理的情境，給學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題的機會，發(fā)現(xiàn)直觀想象在解決問題中的作用，必要時教師可設(shè)計“問題串”，引導(dǎo)學(xué)生“畫圖、想圖、用圖”，從而培養(yǎng)使學(xué)生養(yǎng)成用“幾何直觀”解決問題的習(xí)慣。

例如，雙曲線的漸近線的教學(xué)，可創(chuàng)設(shè)學(xué)生觀察雙曲線的“走勢”、比較雙曲線（單支）與拋物線圖象異同的問題情境，教師再通過多媒體展示與推理探究的過程，幫助學(xué)生理解漸近線的方程。最后可進行教學(xué)反思，教師可設(shè)計問題串，“兩個不相交的圖形，其‘走勢’有哪些特點？”“兩個圖形無限靠近時，其圖形有何特征？其方程有何特征？”“你還能舉出具有漸近線的圖形例子嗎？”在此過程中，學(xué)生通過自主發(fā)現(xiàn)漸近線，提升了觀察圖形的能力；通過探究漸近線方程，提升了運用代數(shù)方法描述幾何圖形的能力；通過反思學(xué)習(xí)過程，提升了深度分析圖形關(guān)系能力。

（四）注重數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，行之有效地提升直觀想象素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合是直觀想象素養(yǎng)的重要組成部分，更是發(fā)展學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的重要途徑。它將抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的。在這個過程中既需要學(xué)生具有對圖形的分析能力，又需要對圖形的代數(shù)表達有深刻的理解，在兩者結(jié)合的過程中，可有效提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中可采用以下方法開展數(shù)形結(jié)合的教學(xué)：

1.向?qū)W生系統(tǒng)地介紹數(shù)形結(jié)合思想方法。例如，教師在教學(xué)中，可以通過一些問題情境的解決過程，讓學(xué)生體會什么是由“數(shù)”到“形”，什么是由“形”到“數(shù)”，并利用解決問題的機會，加強對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的滲透，讓學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想方法有全面的認識和了解。

2.清楚數(shù)形結(jié)合思想在高考中的考查方向。數(shù)形結(jié)合的思想方法是歷年高考數(shù)學(xué)天津卷的重要考點，其考核點主要體現(xiàn)在函數(shù)零點、不等式成立等為背景的知識點中，情境綜合，難度大。因此，建議教師以專題形式復(fù)習(xí)，由易到難，循序漸進，階梯式地提升思維層次，讓學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維逐步得到提升。

3.注意數(shù)學(xué)結(jié)合思想在函數(shù)與解析幾何復(fù)習(xí)中的不同特點。在函數(shù)的復(fù)習(xí)中，教師要讓學(xué)生理解其“以形助數(shù)”的功能；在解析幾何復(fù)習(xí)中，應(yīng)該關(guān)注其“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化功能。

4.數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)過程不能急于求成。首先，教師在教學(xué)中要“慢”，給學(xué)生留足思考的時間，讓其親身經(jīng)歷，感受由形到數(shù)、由數(shù)到形的思維過程。然后，教師要“導(dǎo)”，引導(dǎo)學(xué)生思考、分析，促進其對數(shù)形結(jié)合思想的理解。最后，教師要讓學(xué)生“探”，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的維度，探索數(shù)形結(jié)合在解題中的作用，并形成解決問題的基本思路。

以提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)，無論是在日常教學(xué)中，還是在高考復(fù)習(xí)中均占有重要的地位，直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它需要一個循序漸進的過程，需要教師將素養(yǎng)與知識相結(jié)合、與問題情境相結(jié)合、與教學(xué)相結(jié)合，研究適合學(xué)生發(fā)展的有效教學(xué)路徑。