祖麗楠，劉志遠(yuǎn)，生 寧

（青島科技大學(xué) 自動化與電子工程學(xué)院，山東 青島 266100）

0 引 言

聲信號的跟蹤與識別在很多領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用，但由于環(huán)境以及聲源本身都具有較強的未知性和不確定性，因此其獲取精度一直是熱點問題。在聲信號處理領(lǐng)域，對這一問題的研究由于受信號采集裝置的限制，其精度主要取決于對噪聲的處理上。在各種應(yīng)用中，采集到的信號大多是非平穩(wěn)的，信號特性隨時間變化，使得其時域內(nèi)的局部特征尤為重要。小波變換具有多分辨分析的特點，適合處理非平穩(wěn)信號的去噪問題。

常用的閾值設(shè)置方法有：通用閾值估計、固定閾值估計、無偏似然估計等。一般來說，固定閾值估計和啟發(fā)式閾值估計去噪比較徹底，去噪時更為有效，但也容易誤對有用信號過度濾波。而常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)（Hard Thresholding Function）和軟閾值函數(shù)（Soft Thresholding Function）。從整體誤差看，硬閾值函數(shù)要優(yōu)于軟閾值函數(shù)，但信號會產(chǎn)生不連續(xù)性，出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象，平滑性差；而軟閾值函數(shù)得到的小波系數(shù)整體連續(xù)性較好，但會產(chǎn)生一定的偏差，甚至導(dǎo)致重構(gòu)信號失真。很多學(xué)者在閾值和閾值函數(shù)的設(shè)計上做了大量研究工作。文獻[14]提出一種降噪方法，通過DCT 字典實現(xiàn)水聲信號的稀疏分解，并設(shè)計了一個動態(tài)閾值濾除噪聲系數(shù)，但該方法降噪穩(wěn)定性較差，對環(huán)境類型有一定要求。文獻[15]提出了一種在混沌降噪背景下用遺傳算法對閾值進行優(yōu)化的方法，需要在遺傳算法構(gòu)建的優(yōu)化族里經(jīng)過不斷篩選才能得到最佳閾值，去噪精度雖高，但計算量大且費時多。文獻[16]提出了一種基于收縮小波系數(shù)的自適應(yīng)濾波方法，該方法受控制圖的啟發(fā)，利用迭代思想確定閾值，去噪精度較高，但同時降低了實時性。

綜上所述，本文針對未知環(huán)境中非平穩(wěn)信號的噪聲濾除問題，對小波閾值去噪方法存在的問題進行研究，提高了信噪比，降低了均方根誤差，提高了信號獲取的準(zhǔn)確性。

1 去噪問題模型

未知環(huán)境中采集的聲信號多為非平穩(wěn)性信號，其觀測信號模型()由目標(biāo)信號和噪聲信號組成。

式 中：()=[(0),(1),(2),…,(-1)]；>0 為目標(biāo)信號，且為連續(xù)的；()=[(0),(1),(2),…,(1)]；≥0 為噪聲信號，主要集中在高頻段，具有不連續(xù)性和隨機性；為信號長度，取決于采樣周期。

如圖1 所示，在理想情況下，去噪任務(wù)是通過濾波削弱或者消除觀測信號模型()中的噪聲分量()=[(0),(1),(2),…,(-1)]，并盡可能地保留()中的目標(biāo)信息()，最終得到觀測信號的估計值?()。

圖1 理想情況下去噪問題模型

2 小波閾值去噪原理分析

如圖2 所示，小波閾值去噪的原理是：

圖2 小波閾值去噪原理框圖

1）選擇合適的小波基函數(shù)和分解層數(shù)；

2）對式（1）所示的觀測信號()進行小波變換，生成小波系數(shù)ω，=1,2,…,；

3）對閾值（為實數(shù)）進行設(shè)置；

4）通過將小波系數(shù)ω與閾值比較得出噪聲分量()，通過閾值函數(shù)進行過濾——把小于的系數(shù)ω（主要由噪聲()引起）設(shè)為0，而對大于的小波系數(shù)ω（主要由信號()引起）進行保留或收縮，從而得到小波系數(shù)的估計值? ；

5）對? 進行重構(gòu)，得到觀測信號()的估計值?()。

3 改進的小波閾值去噪方法

濾波過程中，每一個分解層都會通過閾值和閾值函數(shù)Φ ()對信號高頻段中的噪聲分量()進行過濾。但隨著信號分解層數(shù)的增加，傳統(tǒng)小波變換會帶來如下問題：采用固定閾值進行比較會造成過度濾波現(xiàn)象；采用硬閾值函數(shù)Φ ()（為實數(shù)）會存在不連續(xù)問題，并造成偽吉布斯現(xiàn)象；采用軟閾值函數(shù)Φ ()雖然連續(xù)性較好，但會產(chǎn)生一定的偏差，造成重構(gòu)聲音信號?()失真等影響。

針對上述問題，本文進行了如下創(chuàng)新性的研究：

1）利用對數(shù)函數(shù)的變化特點提出了一種動態(tài)閾值計算方法；

2）利用指數(shù)函數(shù)的特點，設(shè)計了一個閾值函數(shù)Φ ()。

3.1 動態(tài)閾值計算方法

采用小波變換去噪時，若閾值設(shè)置過小，去噪會不完整，導(dǎo)致重構(gòu)信號仍有噪聲存在；若閾值設(shè)置過大，會把部分有用信號一起過濾掉，造成信息丟失。目前廣泛使用的是通用閾值設(shè)置方式：

可以看到，由式（2）計算出的閾值是固定值，其中沒有包含分解層數(shù)這一變量。而在小波變換中，隨著分解層數(shù)的增加，噪聲分量會越來越少，這種固定閾值的方式將會在后繼分解層中對信號造成“過扼殺”現(xiàn)象。

為規(guī)避上述問題，需實現(xiàn)：

1）閾值動態(tài)變化；

2）使閾值隨著分解層的增加而變小，并在第一層比較時盡可能的大，以最大化地去除噪聲；而在后繼層數(shù)的比較中，閾值平緩減小，以保護信號的高頻信息，避免“過扼殺”現(xiàn)象。考慮到對數(shù)函數(shù)的特點能夠擬合上述變化過程，本文在式（2）中引入一個動態(tài)系數(shù)，則閾值為：

的計算公式為：

式中：為分解層數(shù)變量；為大于零的比例系數(shù)，根據(jù)對重構(gòu)聲音信號的品質(zhì)需求設(shè)置。

最后，將式（4）代入式（3），得出動態(tài)閾值的計算公式：

由式（5）可以看出：閾值的計算包含了分解層數(shù)這一信息；由于對數(shù)函數(shù)的上凸特性，使得第一層分解時采用的閾值比式（2）中的值大，加強了噪聲的濾除，并且，隨著的增加，閾值以不斷衰減的速度平滑減小，既保證了盡可能少地漏除噪聲信號，又保護了目標(biāo)信息。

3.2 基于指數(shù)特性的閾值函數(shù)設(shè)計

閾值函數(shù)的選擇會影響重構(gòu)信號的連續(xù)性和準(zhǔn)確性。目前常用的閾值函數(shù)是硬閾值函數(shù)Φ ()和軟閾值函數(shù)Φ ()。

硬閾值函數(shù)Φ ()：當(dāng)小波系數(shù)的絕對值小于給定的閾值時，將系數(shù)置為0；反之，保留其原始值。其公式表示如下：

式中：是小波系數(shù)；為閾值?？梢钥闯?，式（6）雖然會使觀測信號在 ||=處保留了端點特征，但在此處會形成間斷點，這種不連續(xù)性會在重構(gòu)過程中引發(fā)振蕩現(xiàn)象。圖3 為采用兩種閾值函數(shù)的對比實驗。如圖3b）所示，重構(gòu)信號出現(xiàn)了不連續(xù)點（點和點），呈現(xiàn)出偽吉布斯現(xiàn)象，但重構(gòu)信號的估計值與原信號一致性更高。

軟閾值函數(shù)Φ ()：當(dāng)小波系數(shù)的絕對值比給定閾值小時，將系數(shù)置為0；反之，從原始值中減去閾值。其公式表示如下：

式中sgn(?)是符號函數(shù)。可以看出，式（7）沒有間斷點，增強了重構(gòu)信號的平滑性，但會使重構(gòu)信號產(chǎn)生偏差。如圖3c）所示，重構(gòu)信號沒有間斷點，平滑性更好，但偏差較大。

圖3 采用Φ λsoft(ω)和Φ λhard(ω)進行濾波重構(gòu)信號對比圖

根據(jù)上述分析，閾值函數(shù)若能融合軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)的優(yōu)點，而規(guī)避其缺陷，則能在很大程度上提高重構(gòu)信號的準(zhǔn)確性。因此，需在函數(shù)特性上具備如下特征：

1）當(dāng) ||=時，其值為0，以消除間斷點。

2）當(dāng) ||處于附近時，為保證平滑性，令其呈現(xiàn)軟閾值函數(shù)Φ ()的特性曲線。

3）當(dāng) ||大于一定值時，為使重構(gòu)信號的準(zhǔn)確性更高、偏差更小，閾值函數(shù)需逐漸呈現(xiàn)出硬閾值函數(shù)Φ ()的特性曲線，逐漸逼近 ||。

4）在兩個函數(shù)轉(zhuǎn)換的臨界點處，其特性曲線要平滑且快速的變化。

基于上述需求，本文設(shè)計了一個閾值函數(shù)Φ ()?？紤]到指數(shù)函數(shù)具有的特性，閾值函數(shù)中引入了函數(shù)，用其擬合具有單調(diào)遞增且上凹變化的特性曲線，并通過其變化實現(xiàn)軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)的轉(zhuǎn)換。閾值函數(shù)Φ ()為：

式中：是大于0 的比例系數(shù)，根據(jù)對重構(gòu)信號的品質(zhì)需求進行設(shè)置；是常數(shù)，其值與觀測信號隨機程度有關(guān)（本文經(jīng)過實驗，對于規(guī)律性較高信號取值在[2，6]時，去噪效果最佳）。

圖4 給出了采用三種不同閾值函數(shù)后重構(gòu)信號的對比圖，其中圖4a）為未加噪聲的目標(biāo)信號?？梢钥闯觯疚脑O(shè)計的閾值函數(shù)Φ ()在重構(gòu)信號的連續(xù)性和準(zhǔn)確性上均具有較大優(yōu)勢，其曲線更接近目標(biāo)信號。

圖4 采用三種閾值函數(shù)處理后重構(gòu)信號的對比

4 實驗結(jié)果與分析

4.1 實驗條件

本文利用Matlab 對上述方法進行綜合仿真。通過將不同的閾值和閾值函數(shù)進行組合對觀測信號進行濾波，并采用信噪比（SNR）和均方根誤差（RMSE）作為性能指標(biāo)對重構(gòu)信號的品質(zhì)進行對比分析。信噪比的值越大，表示去噪效果越好；均方根誤差越小，表示重構(gòu)信號越接近目標(biāo)信號。數(shù)學(xué)表達式分別為：

式中：()是目標(biāo)信號；()是重構(gòu)信號；為聲音信號的長度。

實驗參數(shù)選擇如下：將含噪聲的正弦信號作為觀測信號；選擇db 小波系作為小波基函數(shù)，分解層數(shù)為3 層；用Lifting Scheme 提升方案構(gòu)造小波。另外，對于式（5）中的、式（8）中的和，經(jīng)實驗得出，在本文的實驗條件下，分別取值為2.2，1 和3.5 時去噪效果最好。

4.2 實驗結(jié)果及分析

圖5 為噪聲環(huán)境下采集到的觀測信號。目標(biāo)信號為無噪聲環(huán)境下的聲源信號。

圖5 觀測信號

本文做了三組實驗，實驗數(shù)據(jù)分別如圖6~圖8 和表1~表3 所示。

圖6 是三種閾值與Φ ()相結(jié)合去噪后重構(gòu)信號的效果圖。

圖6 三種閾值與硬閾值函數(shù)組合去噪后重構(gòu)信號效果

表1 是其信噪比和均方根誤差對比數(shù)據(jù)。可以看出，選擇通用閾值和rigrsure 閾值時，信噪比和均方根誤差相近，從圖6b）和圖6c）兩圖中可以看到，重構(gòu)信號仍保留了較多的噪聲信息，通用閾值出現(xiàn)了偽吉布斯現(xiàn)象。相比之下，從圖6d）中可以看到，選擇本文設(shè)計的動態(tài)閾值方法計算出的閾值時，重構(gòu)信號最大程度地接近原始信號，且信噪比最大（分別高于前兩種方案23%和16%），均方根誤差最小（分別低于前兩種方案30%和23%），緩解了過度濾波現(xiàn)象，極大地提高了去噪精度。

表1 三種閾值與Φ λhard(ω)相結(jié)合的消噪性能對比

圖7是三種閾值與Φ ()相結(jié)合去噪后的效果圖。

圖7 三種閾值與軟閾值函數(shù)組合去噪后重構(gòu)信號效果圖

表2 是其信噪比和均方根誤差對比數(shù)據(jù)?？梢钥吹剑x擇三種閾值后，其信噪比和均方根誤差相近，但選擇本文設(shè)計的動態(tài)閾值方法計算出的閾值時信噪比最大，且均方根誤差最小，更接近原始信號，在一定程度上提高了去噪精度。

表2 三種閾值與Φ λsoft(ω)相結(jié)合后的消噪性能對比

圖8 為本文設(shè)計的閾值函數(shù)Φ ()與兩種閾值（通用閾值和動態(tài)閾值）組合后的去噪效果圖。

圖8 通用閾值和動態(tài)閾值λnew 與新閾值函數(shù)組合去噪后重構(gòu)信號效果圖

表3 是通用閾值和動態(tài)閾值與三種閾值函數(shù)結(jié)合后去噪性能對比數(shù)據(jù)。可以看出，在與通用閾值組合時，選擇Φ ()函數(shù)去噪后信噪比和均方根誤差比選擇Φ ()和Φ ()函數(shù)的指標(biāo)更優(yōu)；在與動態(tài)閾值組合時，選擇Φ ()函數(shù)去噪的效果更是得到了大幅提升。可以看出本文設(shè)計的動態(tài)閾值計算方法在去噪時誤差最小，更加逼近目標(biāo)信號，在一定程度上解決了采用其他閾值函數(shù)導(dǎo)致的重構(gòu)信號偏差大的問題。

表3 通用閾值和動態(tài)閾值λnew 與三種閾值函數(shù)結(jié)合后的消噪性能對比

5 結(jié) 論

為解決小波變換在去噪過程中存在的問題，本文提出了一種動態(tài)閾值計算方法，并基于指數(shù)函數(shù)的特性設(shè)計了一種新的閾值函數(shù)。實驗結(jié)果表明：動態(tài)閾值計算方法能夠降低固定閾值帶來的信號過度濾波問題，使重構(gòu)信號更加逼近目標(biāo)信號；改進的閾值函數(shù)避免了硬閾值函數(shù)Φ ()產(chǎn)生的偽吉布斯現(xiàn)象，同時降低了軟閾值函數(shù)Φ ()產(chǎn)生的恒定偏差，較大地提高了去噪精度。綜上所述，本文進行的創(chuàng)新性研究，使小波變換在對一維信號的去噪任務(wù)中具有更高的實用價值。