齊 岳, 廖科智

(1.南開大學 中國公司治理研究院,天津 300071; 2.浙江工業(yè)大學 管理學院,浙江 杭州 310005; 3.南開大學 商學院,天津 300071)

0 引言

如何根據(jù)投資目標選擇合適的投資組合模型一直是財務(wù)金融領(lǐng)域關(guān)注的重要問題。Markowitz[1]提出均值-方差模型，在給定期望收益和協(xié)方差矩陣信息的情況下，可以為投資者計算理論上最優(yōu)的投資組合權(quán)重。而在投資實踐中，期望收益與協(xié)方差矩陣的信息不可直接觀測。作為替代方案，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計的樣本期望收益和樣本協(xié)方差矩陣常被用作投資組合優(yōu)化的輸入?yún)?shù)。

但Michaud[2]指出，由于歷史觀測數(shù)據(jù)不足，基于歷史矩估計量的均值-方差優(yōu)化結(jié)果可能包含估計誤差。DeMiguel等[3]系統(tǒng)地檢驗了投資組合模型的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)估計誤差導(dǎo)致主要的優(yōu)化模型均不能在樣本期外超越均權(quán)重(以下簡稱EW)策略。

由于均值-方差模型在樣本期外表現(xiàn)出較差的績效，部分研究將關(guān)注點轉(zhuǎn)向較少依賴于歷史矩估計量的EW策略[4]。但根據(jù)Chen和Yuan[5]的論證，EW策略可能會導(dǎo)致嚴重的系統(tǒng)誤差。Qi等[6]則發(fā)現(xiàn)隨著基數(shù)增加，EW的配置結(jié)果與有效邊界的距離逐漸擴大。Zhao等[7]指出，盡管增加權(quán)重約束能夠降低估計誤差，但約束條件也可能排除理論上的最優(yōu)配置結(jié)果。

上述研究表明，系統(tǒng)誤差與估計誤差的權(quán)衡問題存在于投資組合選擇過程中，且與投資組合面對的資產(chǎn)基數(shù)密切相關(guān)。隨著資產(chǎn)基數(shù)N向估計窗口M的逼近，基于歷史矩估計量的均值-方差優(yōu)化收斂于真實均值-方差優(yōu)化結(jié)果的概率也趨近于0。而Qi等[6]和Qi[8]的研究結(jié)果也側(cè)面印證了系統(tǒng)偏差與N存在的正向關(guān)系。由此，本文的研究問題是：對于不同基數(shù)約束的投資者，在構(gòu)建投資組合時，應(yīng)當首要考慮系統(tǒng)誤差還是估計誤差的影響。

由于系統(tǒng)誤差和估計誤差不能直接觀測，參照DeMiguel等[3]和吳文生等[9]的研究，本文以樣本期外表現(xiàn)探究系統(tǒng)誤差與估計誤差的權(quán)衡結(jié)果。此外，Merton[10]指出基于歷史數(shù)據(jù)估計的期望收益比協(xié)方差矩陣存在更大誤差。為了使研究問題更加明確，本文主要考慮EW策略與最小方差投資組合(以下簡稱GMV)的差異。此外，已有研究的樣本集中于高度分散化的因子組合或行業(yè)組合。周忠寶等[11]指出，投資者在構(gòu)建投資組合時面臨現(xiàn)實的基數(shù)約束。從投資實踐的角度看，個人和機構(gòu)投資者都要以個股為基礎(chǔ)資產(chǎn)形成投資組合。

針對以上問題，本文以A股上市公司2007年1月～2019年12月的月收益率為研究對象，滾動求解包含5只到100只股票的投資組合，形成關(guān)于其收益率和尾部風險狀況的多維度績效數(shù)據(jù)，為變動基數(shù)下的系統(tǒng)誤差與估計誤差權(quán)衡問題提供實證依據(jù)。本文的研究創(chuàng)新主要包括以下幾個方面：

首先，以真實市場數(shù)據(jù)呈現(xiàn)了系統(tǒng)誤差-估計誤差權(quán)衡對于資產(chǎn)基數(shù)的敏感性。已有研究在探討此問題時常對股票收益進行獨立同分布的假設(shè)，但這與個股收益非正態(tài)的分布特質(zhì)存在明顯差異。其次，以中國股票市場數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，補充了個股收益尖峰厚尾特征影響投資組合績效的經(jīng)驗證據(jù)。最后，研究方法上，將Bootstrapping方法由計算后的統(tǒng)計測試延伸到了樣本的篩選過程，從個股層面得出了投資組合樣本期外績效檢驗的穩(wěn)健結(jié)果。

1 投資組合選擇理論回顧

1.1 投資組合選擇理論

在均值-方差效用函數(shù)的假設(shè)下，Markowitz[1]將投資組合選擇表示為如(1)所示的雙目標參數(shù)規(guī)劃問題：

(1)

其中Σ為收益協(xié)方差矩陣且滿足半正定性質(zhì)，μ為期望收益向量。為了進一步研究(1)的性質(zhì)，Merton[12]將可行域設(shè)定為S={x∈Rn|1Tx=1}，并引入(2)的定義，求解集為(3)，并證明了其在(z1,z2)二維空間的映射是一條平滑的拋物線，并將其定義為最小方差邊界(4)：

(2)

(3)

(4)

其中λ是一個大于或等于0的參數(shù)。在(4)上，給定期望收益率，投資者可以在有效邊界上獲得最小方差的投資組合。因此，在理論上投資者可以通過(1)實現(xiàn)最優(yōu)的風險-收益均衡。

1.2 系統(tǒng)誤差與估計誤差權(quán)衡

(5)

(6)

(7)

(8)

相對于均值-方差模型，簡單分散化則為投資組合選擇提供了一種不包含參數(shù)估計誤差的思路。已有研究以模型平均[4]，范數(shù)約束[14]等方法對均值-方差模型中包含的估計誤差進行控制。但上述方案可能對優(yōu)化的結(jié)果帶來其他負面影響。Chen和Yuan[5]將投資組合優(yōu)化的目標定義為(9)，同時將誤差修正方案一般化地定義為(10):

(9)

(10)

其中Ω是定義在實數(shù)域Rn上的一個d維線性子空間，AΩ是一個N×d維的矩陣，其列向量是Ω空間的正交基。結(jié)合Kan和Zhou[13]的推導(dǎo)，可以將(10)的估計值表示為:

(11)

(12)

(13)

由此，在以個股為投資對象的投資組合優(yōu)化中，系統(tǒng)誤差的影響不容忽視。但優(yōu)化求解的結(jié)果又不可避免地集中于少數(shù)股票之中，加劇估計誤差對優(yōu)化結(jié)果的影響。目前，理論研究往往基于模擬和樣本期內(nèi)的結(jié)果，沒有考慮到個股現(xiàn)實中收益率非正態(tài)分布和尖峰厚尾等特征?；谝陨险撌?，本文提出如下兩個對立假設(shè)：

H1a若估計誤差的影響強于系統(tǒng)誤差的影響，則EW的樣本期外夏普比率優(yōu)于GMV的樣本期外夏普比率。

H1b若系統(tǒng)誤差的影響強于估計誤差的影響，則GMV的樣本期外夏普比率優(yōu)于EW的樣本期外夏普比率。

此外，估計誤差隨N的擴大而擴大，但關(guān)于系統(tǒng)誤差與N的關(guān)系在已有研究中并未取得一致結(jié)論。由此，本文在同基數(shù)組的情況下對GMV和EW的夏普比率做差，形成一個新的變量Gap-SR，通過非線性回歸的方法探究Gap-SR與N之間的關(guān)系。考慮非線性關(guān)系的原因在于，估計誤差和系統(tǒng)誤差在理論上隨N的變化方向相反。因此，本文提出以下假設(shè)：

H2Gap-SR與N之間存在倒U型的相關(guān)關(guān)系。

1.3 投資組合選擇與尾部風險

對于投資組合選擇與尾部風險的關(guān)系，Hwang等[15]基于收益序列rt獨立同分布，且滿足對數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)，推導(dǎo)了EW與均值-方差模型的VaR差異。在收益序列獨立同分布的假設(shè)下，EW和均值-方差模型的條件價值分別表示為(14)和(15):

(14)

(15)

其中，β是對應(yīng)的置信區(qū)間。根據(jù)Marshall和Olkin[16]的推理，在收益率序列存在尖峰厚尾特征時，(16)成立。進一步可得到(17)的結(jié)論:

(16)

VaRβ(Rx*)

(17)

而齊岳和廖科智[17]則發(fā)現(xiàn)，中國股市存在明顯的尖峰厚尾特征。鑒于此，本文提出如下假設(shè)：

H3EW所導(dǎo)致的尾部風險顯著高于GMV所導(dǎo)致的尾部風險。

2 研究樣本及算法設(shè)定

2.1 研究樣本與模型設(shè)定

本文以滬深兩市上市公司為樣本空間，刪除在2007年1月～2019年12月收益率具有缺失值的研究樣本，共得到425只股票156個月的平衡面板數(shù)據(jù)。在計算夏普比率時，本文以一年期定存利率作為無風險利率。本文數(shù)據(jù)來源為CSMAR數(shù)據(jù)庫。

為了呈現(xiàn)系統(tǒng)誤差與估計誤差隨N的變化，本文選取GMV和EW進行比較。獲取權(quán)重的計算過程如下:

(18)

(19)

為了驗證誤差修正方法對系統(tǒng)誤差與估計誤差權(quán)衡的影響，本文對協(xié)方差矩陣進行線性變換，觀測變換后樣本期外績效的變化。參考DeMiguel等[14]的做法，本文對權(quán)重空間施加范數(shù)約束。同時，Boyd和Vandenberghe[18]指出，定義在實數(shù)域Rn上的a范數(shù)‖x‖a均可由二次范數(shù)‖x‖p漸進表示：

(20)

其中：

‖x‖p=(xTpx)1/2=‖p1/2x‖2

(21)

因此，本文采用二次范數(shù)約束的方法對GMV進行估計誤差修正:

(22)

其中δ表示約束強度的系數(shù)，本文取δ=0.05，與樣本協(xié)方差矩陣的方差元素保持在相似的數(shù)量級水平。本文選取單位矩陣I，樣本協(xié)方差矩陣的對角矩陣D和等相關(guān)系數(shù)矩陣EC作為矩陣P的備選。對應(yīng)的投資組合模型命名為GMV-I，GMV-D和GMV-EC。

2.2 算法設(shè)定

本文采用樣本期外滾動檢驗的方法對投資組合績效進行計算。具體計算過程可參照DeMiguel等[3]。對每一個投資組合，本文滾動計算96個權(quán)重向量，并在此基礎(chǔ)上形成投資組合樣本期外績效的各項測度指標。選擇2007年1月作為估計窗口開始時間的原因是：大部分上市公司在2006年底完成股權(quán)分置改革，較大程度地解決了流通股與非流通股市場分割的問題。

為了呈現(xiàn)系統(tǒng)誤差與估計誤差權(quán)衡在N下的變化動態(tài)，本文以5只股票為起點，100只股票為終點，5為步長，構(gòu)建了20組具有不同N的投資組合。將N的范圍設(shè)定在[5,100]的原因在于：已有關(guān)于投資組合估計誤差的理論分析主要聚焦于N與估計窗口長度M的關(guān)系，算法設(shè)定中需要涵蓋N大于，等于和小于M的樣本。

為了避免特定股票池樣本所導(dǎo)致的樣本選擇問題，本文將Bootstrapping應(yīng)用到優(yōu)化取樣的過程中。具體來說，本文以N為分組標準，425只股票為資產(chǎn)池，對每組投資組合進行了100次抽樣，最終求解了10000個投資組合選擇問題。最后，按照基數(shù)組和投資組合模型類別對計算結(jié)果取均值，得到樣本期外權(quán)重。

2.3 投資組合績效測度標準

為了探究投資組合樣本期外績效隨N的變化，本文采用如表1所示的投資組合績效測度標準對EW、GMV及其誤差修正模型的樣本期外績效進行測度。篇幅所限，具體指標計算過程請參見表1中列示的相關(guān)文獻。

表1 投資組合績效測度標準

3 樣本期外績效結(jié)果

3.1 樣本期外期望收益，標準差和夏普比率

本文首先匯報變動基數(shù)下各投資組合的樣本期外收益，標準差和夏普比率。GMV-P是GMV-I，GMV-D和GMV-EC的平均計算結(jié)果。圖1中，GMV的期望收益在所有的N下均高于EW，同時標準差持續(xù)低于EW，故GMV的夏普比率也持續(xù)高于EW。但GMV與EW的差距受到N取值的影響，當N小于M時，隨著N的擴大，EW和GMV夏普比率的差距在逐漸擴大。

表2進一步匯報N取值為20,40,60和80的具體指標。從標準差上來看，當N小于M時，GMV的樣本期外的標準差隨N擴大逐漸降低，并在均在10%的顯著性水平下低于同基數(shù)組的EW。GMV-P的樣本期外標準差也顯著低于EW，但高于同基數(shù)組的GMV。而當N大于M時，GMV與EW標準差之間的差值在統(tǒng)計上無法拒絕零假設(shè)，GMV-P與EW標準差之間的差值仍可在10%的顯著性水平下拒絕零假設(shè)。從夏普比率來看，當N小于M時，GMV的樣本期外夏普比率隨著N的擴大逐漸擴大，并在均在10%的顯著性水平下低于同基數(shù)組的EW，研究結(jié)果支持了假設(shè)H1b。而當N大于M時，GMV樣本期外夏普比率數(shù)值仍大于EW。

進一步，為了驗證假設(shè)H2，本文以2000組投資組合的計算結(jié)果為樣本，用二次函數(shù)表達式對Gap-SR和N的關(guān)系進行擬合。擬合結(jié)果如(23)所示。

Gap-SR=0.0083+0.1236N-0.0007N2

(23)

其中，一次項系數(shù)0.1236對應(yīng)的t值為6.66，二次項系數(shù)-0.0007對應(yīng)的t值為-4.29，均在1%的顯著性水平下拒絕零假設(shè)。研究結(jié)果驗證了假設(shè)H2，即Gap-SR與N之間存在倒U型的相關(guān)關(guān)系。當N的取值較小時，系統(tǒng)誤差隨N上升的增量大于估計誤差隨N上升的增量。

綜合來看，隨著N的擴大，GMV投資組合的樣本期外夏普比率經(jīng)過了一個逐漸增加然后趨于平緩的過程，而EW的樣本期外夏普比率對N的變化則不敏感。GMV在各基數(shù)設(shè)定下均取得了較高的夏普比率，但夏普比率的提升是由樣本期外標準差的降低所驅(qū)動的。

表2 樣本期外收益，標準差和夏普比率

圖1 樣本期外收益，標準差和夏普比率

3.2 樣本期外尾部風險

圖2匯報尾部風險的相關(guān)指標。計算VaR和CVaR時，本文將顯著性水平β選定為1%。圖2中，EW的VaR和CVaR均處于較高水平，且隨N的變化幅度較小。在N較小時，GMV的CVaR也較高，在N等于5時高于EW。但隨著N的提升，GMV的VaR和CVaR均呈持續(xù)下降的趨勢。在N大于30后，GMV在1%情形下的VaR為0，而CVaR則圍繞4%上下波動。研究結(jié)果初步驗證了假設(shè)H3。

表3 樣本期外尾部風險

表3匯報了具體結(jié)果。當N大于20時，GMV在1%的極端情況下?lián)p失為0，對應(yīng)的EW的VaR維持在0.3%左右。當N等于5時，GMV的CVaR為0.0468，高于對應(yīng)的EW。但當N逐漸擴大時，GMV的CVaR逐漸降低，在N大于20后GMV的CVaR圍繞0.04上下波動，明顯低于同基數(shù)組的EW?？紤]到EW和GMV的尾部風險對N的敏感性較低，本文利用均值t檢驗直接比較所有的EW和GMV尾部風險。經(jīng)過計算，2000組樣本中，EW的平均CVaR為0.0495，GMV的平均CVaR為0.0433。EW的平均CVaR在1%的顯著性水平下高于GMV，對應(yīng)的t值為40.53。研究結(jié)果支持了假設(shè)H3，即EW所導(dǎo)致的尾部風險顯著高GMV所導(dǎo)致的尾部風險。

圖2 樣本期外尾部風險

3.3 樣本期外集中度，換手率和確定等價收益

圖3匯報了集中度，換手率和確定等價收益，圖中匯報的確定等價收益對應(yīng)的系數(shù)等于1。圖3中，EW的集中度隨N的增加迅速下降，由0.2下降至接近0。但當N取值較大時，GMV集中度隨N增加的變化速度明顯降低，表明GMV的邊際分散化收益在逐漸降低，均值-方差優(yōu)化會導(dǎo)致相對集中的優(yōu)化結(jié)果。而從換手率來看，GMV和GMV-P的換手率隨N增加呈現(xiàn)線性上升的趨勢，由于現(xiàn)實的股票交易會產(chǎn)生一定的交易成本，高換手率會導(dǎo)致較高的交易成本。結(jié)合前文中對樣本期外夏普比率的分析，在N超過M后，N的增加無法帶來樣本期夏普比率的提升，但卻會導(dǎo)致更高的交易成本，形成無謂損失。

表4進一步匯報了具體結(jié)果。表4中，隨著N的取值由5變化到100，EW的集中度由0.2下降至0.01，而GMV得集中度從0.4016下降至0.2286。當N處于[0,20]時，GMV集中度由0.4016下降至0.2977。而當N處于[20,100]時，GMV集中度由0.2977下降至0.2286。研究結(jié)果部分解釋了Chen和Yuan[5]的理論分析與樣本期外夏普比率數(shù)據(jù)出現(xiàn)差異的原因。Chen和Yuan[5]指出，當N足夠大時，增加約束條件并不會造成嚴重的信息損失。而計算結(jié)果表明，即使在100只股票的組合中，GMV的分散化程度仍然較低。GMV與GMV-P的差異說明，增加約束條件仍會導(dǎo)致較大的信息損失。

從換手率來看，EW不存在權(quán)重調(diào)整的問題。然而，GMV的換手率隨N的增加逐漸上升，含有5只股票的GMV換手率是0.0726，而含有100只股票的GMV換手率是0.1644。進一步，本文以2000組投資組合的換手率為基礎(chǔ)，線性擬合了GMV換手率與N的關(guān)系，結(jié)果如(24)所示：

TurnoverGMV=0.0977+0.0007N

(24)

其中，一次項系數(shù)0.0007對應(yīng)的t值為5.76，在1%的顯著性水平下拒絕了零假設(shè)。研究結(jié)果表明，N每增加1個單位，GMV的換手率大約增加0.0007。當N取值較高時，基數(shù)增加所帶來的分散化收益會被估計誤差帶來的損失所抵消，同時投資組合的換手率也會持續(xù)提高，帶來較高的交易成本。

最后，γ=1和γ=5對應(yīng)了低風險厭惡和高風險厭惡的投資者。對于高風險厭惡投資者來說，僅有部分GMV和GMV-P取得了正的確定等價收益，EW的樣本期外確定等價收益均為負。對于低風險厭惡者來說，GMV也取得了較高的確定等價收益。

表4 樣本期外集中度，換手率和確定等價收益

圖3 樣本期外集中度，換手率和確定等價收益

4 不同市場狀態(tài)下的進一步討論

為了得到更穩(wěn)健的研究結(jié)論，本文在不同的市場狀態(tài)下繼續(xù)討論系統(tǒng)誤差-估計誤差權(quán)衡與N之間的關(guān)系。基于上證指數(shù)的走勢，參考趙慧敏等[21]的計算，本文將2012年1月～2019年12月的市場狀態(tài)劃分如下：

表5 市場狀態(tài)劃分

基于表5，本文進一步討論研究結(jié)果在牛熊市下的差異，主要對EW和GMV的樣本期外夏普比率和CVaR進行比較。

4.1 不同市場狀態(tài)下的樣本期外夏普比率

表6匯報了不同市場狀態(tài)下EW和GMV的樣本外夏普比率。由表6可知，三輪牛市中，GMV均取得了高于EW的樣本期外夏普比率。其中，在第二輪牛市中，GMV與EW的差距最大，平均達到了0.5738。并且，當N處于[5,40]時，系統(tǒng)誤差在投資組合樣本期外績效中產(chǎn)生了較大影響。但當N處于(40,100]，GMV與EW差距隨N的增速逐漸放緩。綜合來看，GMV策略在牛市中呈現(xiàn)了較好的樣本期外表現(xiàn)。而在第一輪和第二輪熊市中，GMV的樣本期外夏普比率不再持續(xù)地高于EW。在熊市狀態(tài)下，估計誤差的影響占據(jù)主導(dǎo)，導(dǎo)致GMV的夏普比率不再持續(xù)高于EW。

表6 不同市場狀態(tài)下的樣本期外夏普比率

4.2 不同市場狀態(tài)下的樣本期外CVaR

表7匯報了不同市場狀態(tài)下EW和GMV的樣本期外CVaR。由表7可知，三輪牛市中，GMV的尾部風險均低于同基數(shù)組的EW。其中，在第一輪牛市中，GMV與EW的差異最大，平均達到了0.0297。當N處于[5,40]時，CVaR的下降速度最快。在第二輪和第三輪牛市中，GMV和EW的差距較小，且在變動基數(shù)下維持在相對平穩(wěn)的水平。

表7 不同市場狀態(tài)下的樣本期外CVaR

而在四輪熊市中，GMV的尾部風險均低于同基數(shù)組的EW。其中，在第二輪熊市中，GMV與EW的差異最大，平均達到了0.0256。當N處于[5,40]時，CVaR的下降速度最快。在第四輪熊市中，GMV和EW的樣本期外CVaR處于相對平穩(wěn)的水平。研究結(jié)果表明，GMV能夠為投資者規(guī)避極端損失，降低牛熊市中的投資組合尾部風險。

4.3 研究結(jié)果的穩(wěn)健性討論

為了增強研究結(jié)論的可靠性，本文進行了一系列的穩(wěn)健性分析。首先，本文計算了不同估計窗口長度對研究結(jié)果的影響，包括的情形M={45,75}，研究結(jié)果與表2，表3反映出的趨勢基本一致。其次，本文計算了賣空約束，上下界約束和壓縮估計方法對GMV的影響。上述投資組合模型與GMV-P取得了相似結(jié)果，誤差修正方法的使用導(dǎo)致GMV優(yōu)化結(jié)果的權(quán)重更加分散，樣本期外夏普比率處于EW和GMV之間。最后，本文加入了市值加權(quán)策略作為對比，得到了與前文類似的研究結(jié)論。限于篇幅在此不再匯報具體數(shù)據(jù)結(jié)果。

5 結(jié)語

本文在變動基數(shù)的設(shè)定下研究了投資組合選擇中的系統(tǒng)誤差與估計誤差權(quán)衡問題，以滬深兩市425只股票月度收益率為研究樣本，基于Bootstrapping和樣本期外滾動的方法，檢驗了GMV，GMV-P和EW在樣本期外績效，尾部風險和交易成本等方面的差異，并在不同的市場狀態(tài)下討論了計算結(jié)果的差異。

研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：(1)從樣本期外績效來看，GMV與EW的樣本期外夏普比率差異與N存在倒U型的關(guān)系?？傮w來看，系統(tǒng)誤差對投資組合樣本期外績效的影響強于估計誤差。(2)從尾部風險來看，GMV的樣本期外CVaR在大多數(shù)基數(shù)組中小于EW。(3)GMV的投資權(quán)重較為集中。同時，GMV的換手率與N正相關(guān)，在N超過M后，N的增加無法帶來樣本期夏普比率的提升，但卻會導(dǎo)致更高的交易成本，形成無謂損失。

投資組合選擇模型的理論研究對投資組合優(yōu)化是否能增加價值仍存在著激烈的爭論。本文的研究結(jié)果表明，由于估計誤差和系統(tǒng)誤差的存在，簡單地追求資產(chǎn)基數(shù)的增加并不能給投資組合帶來更優(yōu)的樣本期外績效，投資者在配置資產(chǎn)時應(yīng)充分考慮估計可用歷史數(shù)據(jù)的窗口長度。