劉錦濃

[摘 要]轉化思想是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。在數(shù)學解題過程中常把陌生、復雜、抽象的問題轉化為熟悉、簡單、直觀的問題，從而達到簡化運算、快速解題的目的。歷年高考中，轉化思想的應用隨處可見。在數(shù)學教學中，教師要引導學生掌握函數(shù)問題中的轉化思想，不斷培養(yǎng)學生的轉化意識，提高學生的思維能力。

[關鍵詞]轉化思想;函數(shù)問題;方程

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0029-03

函數(shù)是高中數(shù)學的基礎，它知識點多，覆蓋面廣，綜合性強，很容易與其他知識建立聯(lián)系。解決函數(shù)問題所需的轉化思想是重要的數(shù)學思維策略，它在數(shù)學解題中應用廣泛。運用轉化思想可以將陌生變?yōu)槭煜ぃ瑢碗s變?yōu)楹唵?，將抽象變?yōu)橹庇^，從而有效解決問題。本文主要探討函數(shù)問題中常見的轉化思想。

一、數(shù)與形的轉化

數(shù)形結合，實質(zhì)上就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的幾何圖形結合起來，實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系與轉化。

（一）以形助數(shù)

[例1]設方程[log3x+x-3=0]的根為[x1]，方程[3x+x-3=0]的根為[x2]，求[x1+ x2]的值。

分析：本題若直接解出[x1]， [x2]的值，再求[x1+x2]是不現(xiàn)實的。觀察兩個方程發(fā)現(xiàn)，[y=log3x]與[y=3x]互為反函數(shù)，可利用反函數(shù)的圖像關于直線[y=x]對稱的性質(zhì)，輔以圖像解題。

解：將原方程化為[log3x=3-x]，[3x=3-x]，方程[log3x+x-3=0]的根為[x1]，實質(zhì)上是函數(shù)[y=log3x]與[y=3-x]圖像的交點的橫坐標;方程[3x+x-3=0]的根為[x2]，實質(zhì)上是函數(shù)[y=3x]與[y=3-x]圖像的交點的橫坐標。如圖1，設其交點分別為[A]、[B]，函數(shù)[y=x]與[y=3-x]圖像的交點為[P]。

因為[y=x]與[y=3-x]垂直，且函數(shù)[y=log3x]與[y=3x]的圖像關于直線[y=x]對稱，所以點[A]、[B]關于點[P]對稱，易得[P32，32]，所以[x1+ x2=3]。

評析：本題主要是把方程轉化為函數(shù)的圖像相交求解。由圖形分析數(shù)量間的本質(zhì)聯(lián)系，解決數(shù)學問題時能做到快、準，解題往往事半功倍。

（二）以數(shù)助形

[例2]如圖2，已知[OPQ]是半徑為1，圓心角為[π3]的扇形，[C]是扇形弧上的動點，四邊形[ABCD]是扇形的內(nèi)接矩形。記[∠COP=α]，當角[α]取何值時，矩形[ABCD]的面積最大？并求出這個最大面積。

分析：要求當角[α]取何值時，矩形[ABCD]的面積最大，可分兩步進行：（1）找出矩形[ABCD]的面積[S]與[α]之間的函數(shù)關系;（2）由函數(shù)關系，求[S]的最大值。

解：在[Rt△OBC]中，[OB=cos α]，[BC=sin α]，

在[Rt△OAD]中，[OA =DA/tanπ3=33sin α]，

設矩形[ABCD]的面積為[S]，則

[S=AB×BC=cos α-33sin αsin α=33sin2α+π6-36]，

因為[0<α<π3]，所以當[2α+π6=π2]，[即α=π6]時，矩形ABCD的面積最大，[Smax=36]。

評析：本題主要是把幾何問題轉化為三角函數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的配角公式轉化為形如[y=Asin（wx+φ）]的函數(shù)求解，進而實現(xiàn)以數(shù)解形。

二、函數(shù)與方程的轉化

（一）利用函數(shù)解方程題

在解一些高次方程、無理方程或超越方程時，直接解題難度比較大，可以考慮構造函數(shù)，把方程問題轉化為函數(shù)問題，再利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等解題。

[例3]在實數(shù)范圍內(nèi)解方程[（5x+3）3+x3+6x+3=0]。

分析：這是一個高次方程，如果先去括號后移項再化簡，會十分麻煩。但若不展開，而直接把[（5x+3）]看成一個整體，則可把復雜的高次方程問題轉化為簡單的方程問題，再利用函數(shù)的單調(diào)性，就很容易求得原方程的解。

解：原方程可等價轉化為[（5x+3）3+（5x+3）=-（x3+x）]，即[（5x+3）3+（5x+3）=（-x）3+（-x）]，

設函數(shù)[f（x）=x3+x]，則[f（x）]為奇函數(shù)，且在實數(shù)集上是單調(diào)遞增函數(shù)。這時原方程又可等價轉化為[f（5x+3）= f（-x）]。由函數(shù)的單調(diào)性可知[5x+3=-x]，∴[x=-12]，即原方程的實數(shù)解為[x=-12]。

評析：函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助函數(shù)、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡。

（二）利用方程解函數(shù)題

在求解函數(shù)性質(zhì)（如值域）時，可把函數(shù)問題轉化為方程問題，再利用方程有解的條件解題。

[例4]求函數(shù)[y=xx2-x+1]的值域。

分析：可將函數(shù)轉化為含有參數(shù)[y]的關于[x]的一元二次方程，再利用判別式法求解。

解：由[y=xx2-x+1]得[yx2-（y+1）x+y=0]，這是一個關于[x]的一元二次方程。

當[y=0]時，解得[x=0]，方程有解;

當[y≠0]時，為使關于[x]的一元二次方程有解，必須令[Δ=（y+1）2-4y2≥0]，解得[-13≤y≤1（y≠0）]。綜合可得函數(shù)的值域是[-13， 1]。

[例5]已知數(shù)列[an]滿足[a1=33]，[an+1-an=2n]，則[ann]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

解析：∵[an+1-an=2n]，∴當[n≥2]時，[an-an-1=2（n-1）]，

∴[an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=（2n-2）+（2n-4）+…+2+33=n2-n+33（n≥2）]，

又[a1=33=1-1+33]，故[a1]滿足上式，

∴[an=n2-n+33（n∈N*）]，∴[ann=n+33n-1]，

令[f（x）=x+33x-1（x>0）]，則[f ′（x）=1-33x2]，

令[f ′（x）=0]，得[x=33]，

易知當[x∈0，33]時， [f ′（x）<0] ;當[x∈33，+∞]? 時， [f ′（x）>0]，

∴[f（x）]在區(qū)間[0，33]上遞減，在區(qū)間[33，+∞]上遞增，

又[5<33<6]，且[f（5）=5+335-1=535]，[f（6）=6+336-1=212]， [f（5）>f（6）]，

∴當[n=6]時，[ann]有最小值[212]。

評析：函數(shù)思想與方程思想是密切相關的，函數(shù)問題可以轉化為方程問題來解決，方程問題也可以轉化為函數(shù)問題加以解決。如解方程[f（x）=0]，就是求函數(shù)[y=f（x）]的零點;又如求方程[f（x）=g（x）]的解的問題可以轉化為函數(shù)[y=f（x）]與[y=g（x）]的交點問題，也可以轉化為函數(shù)[y=f（x）-g（x）]與[x]軸的交點問題。

三、常量與變量的轉化

在有些數(shù)學問題中涉及多個變量，而從正面由常量求解變量較難，對此可選擇把某些變量看作常量，減少變量的個數(shù)，再列出剩余變量的關系式，從而簡化運算。

[例6]已知實數(shù)[x]、[y]滿足[x2-3xy+y2=2]，則[x2+y2]的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

分析：本題有[x]，[y]兩個變量，且題設與結論是關于[x]，[y]的對稱式，故可以[x]為主變量，令[y=x+t]，其中[x]，[t]為常量，列出變量[x]的關系式解題。

解：令[y=x+t]，

由[x2-3xy+y2=2]得[x2-3x（x+t）+（x+t）2=2]，

化簡得：[x2+xt+2-t2=0]，即[x2+xt=t2-2]，

∵[x∈R]，∴Δ=[t2-4（2-t2）≥0]，解得[t2≥85]，

[∴x2+y2=x2+（x+t）2=2x2+2tx+t2=2（t2-2）+] [t2=3t2-4≥45]，

∴[x2+y2]的取值范圍是[45，+∞]。

四、特殊與一般的轉化

（一）特殊化法

利用特殊情況，如特殊值、特殊位置、特殊函數(shù)等，可求解一般化問題。

[例7]當[x-y=1]時，[x4-xy3-x3y-3x2y+3xy2+y4]的值是? ? ? ? ? ? ? ? ?。

解析：本題如果用傳統(tǒng)解法，由[x-y=1]得[x=1+y]再代入原式，運算量大，不可取。把原式化成含[x-y]的形式，再用[x-y=1]整體代入，還是較煩瑣。若根據(jù)題型特點，取特殊值[x=1]，[y=0]代入原式即得所求值是1。

（二）一般化法

[例8]已知[f（x）=ex1+ex]，求[f（-5）+f（-4）+…+f（4）+f（5）]的值。

分析：本題若逐項求值比較困難，因為自變量的值（除0外）都是互為相反數(shù)，所以不妨從相反數(shù)入手，觀察[f（x）與f（-x）]的一般關系。

解：[∵f（x）=ex1+ex]，[f（-x）=e-x1+e-x=1ex+1] [∴f（x）+f（-x）=1]，

∴[f（-5）+f（-4）+…+f（4）+f（5）=5+ f（0）=5+12=112]。

五、特定模型的轉化

轉化思想并不只是在函數(shù)范圍內(nèi)應用，在整個高中數(shù)學中也經(jīng)常用來解決一些知識內(nèi)容陌生、題意復雜難懂或者計算量比較大等不容易處理的問題。靈活多變的轉化技巧，往往能夠簡化運算，降低問題難度。一些特定問題，如求取值范圍，經(jīng)?？梢赞D化為一元二次函數(shù)、三角函數(shù)、基本不等式、對勾函數(shù)等，再利用函數(shù)性質(zhì)、運算規(guī)則等進行求解。

[例9]如圖3，已知橢圓[C]：[y2a2+x2b2=1a>b>0]的短軸長為[2]，過下焦點且與[x]軸平行的弦長為[233]。

（1）求橢圓[C]的標準方程;

（2）若[A]、[B]分別為橢圓[C]的右頂點與上頂點，直線[y=kxk>0]與橢圓[C]相交于[M]、[N]兩點，求四邊形[AMBN]的面積的最大值及此時[k]的值。

解：（1） [y23+x2=1];過程略。

（2）易知點[A（1， 0）]，[B0， 3]，直線[AB]的方程為[x+y3=1]，即[3x+y-3=0]，

不妨設[M（x1， y1）]，[N（x2， y2）]且[x1<x2]，

[y23+x2=1，y=kx，?x1=-3k2+3]，[x2=3k2+3]，則[x2=-x1]，

設[M]到直線[AB]的距離為[d1=3x1+kx1-32=] [3-k+3x12=3+k+3x22]，

[N]到直線[AB]的距離為[d2=3x2+kx2-32=k+3x2-32]

[S四邊形AMBN=12ABd1+d2=k+3x2]

[=3k+3k2+3=3k2+63k+9k2+3]

[=3k2+23k+3k2+3][=31+23kk2+3]

[=31+23k+3k≤3×1+232k×3k=6]，

當且僅當[k=3]時，等號成立，

因此，四邊形[AMBN]的面積的最大值為[6]，此時[k=3]。

當然，在解一道函數(shù)題時并非僅應用一種轉化思想，有時需要配合應用幾種轉化思想，如例1中，是先把方程轉化為函數(shù)，再轉化為圖像解題。函數(shù)問題中的轉化思想也不限于上述幾種。在實施等價轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把陌生問題轉化為熟悉問題來處理，或者將復雜的問題轉化為簡單的問題，或者將難以解決的、比較抽象的問題轉化為易于解決的、比較直觀的問題。按照這些原則進行轉化，省時省力，猶如順水推舟。在解題教學中，教師經(jīng)常滲透轉化思想，可以提高學生的解題能力和解題效率。

（責任編輯 黃春香）