徐景超

[摘 要]極值點偏移證明問題是高考中的難點，通過對稱變換、消參減元、比值換元、利用單調(diào)性等方法能有效解決極值點偏移證明問題。

[關鍵詞]極值點偏移;對稱變換;消參減元;比值換元

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0026-03

所謂極值點偏移，指的是連續(xù)函數(shù)[f（x）]在[（x1， x2） （f（x1）=f（x2）為前提）]上的極值點左右增減速度不同導致極值點[x0≠x1+x22]的情況出現(xiàn)。與其有關的問題主要有，一是與極值點偏移的不等式證明問題，二是極值點偏移對應的極值差范圍的求解。這些問題與函數(shù)單調(diào)性、極值和最值等知識點都有密切的聯(lián)系。其中，有關極值點偏移證明問題更為常見。掌握這類問題的解決方法，有助于學生開拓思路，有效破解難度較大的函數(shù)問題。

一、對稱變換

采用對稱變換方法解決有關極值點偏移證明問題，關鍵在于把問題中的兩個變量對稱分布在不等號的兩邊，進一步構(gòu)造函數(shù)把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題。如求證[x1+x2>2x0]，可構(gòu)造函數(shù)[g（x）=f（x0+x）-f（x0-x）]或[g（x）=f（x）-f（2x0-x）]等對稱形式，探究[gx]的單調(diào)性，進而把問題轉(zhuǎn)化為極值點之間的關系。具體解題步驟如例1所示。

[例1]已知函數(shù)[fx=-x+x+2lnxx∈R]，且函數(shù)[f（x）]圖像在[A（x1，? f（x1））]、[B（x2，? f（x2））] [（x1<x2）]兩個不同點處的切線互相平行，求證[x1+x2>4]。

分析：對問題中所給“不同點處切線互相平行”進行分析可得，該兩點處對應導數(shù)相等。問題所求證的不等式中含有兩個變量，即[x1、x2]，因此需要對不等式進行變形，使兩個變量對稱分布在不等號的兩邊，即[x1>4-x2]，構(gòu)造函數(shù)[g（x1）-g（4-x2）]，并探究其單調(diào)性，從而證明[x1+x2>4]成立。

證明：∵[f（x）=-x+（x+2）lnx（x∈R）]，

∴[f '（x）=2x+lnx（x>0）]，

設[g（x）=2x+lnx（x>0）]，

由題意“函數(shù)[fx]的圖像在[A（x1，f（x1））]、[B（x2，f（x2））] [（x1<x2）]兩個不同點處切線互相平行”可得， [f '（x1）=f '（x2）]，即[g（x1）=g（x2）]，

∵[g'x=-2x2+1x=x-2x2]，∴[gx]在[（0， 2）]上單調(diào)遞減，在[2，+∞]上單調(diào)遞增，

∵[g（x1）=g（x2）]，∴必有[0<x1<x2<2]，[4-x1>2]，

則有[g（x1）-g（4-x1）=2x1+lnx1-24-x1-ln（4-x1）]，

令[h（x）=2x+lnx-24-x-ln（4-x） ][（0<x<2）]，

[∵h'（x）=- 2x2+1x+2（4-x）2+14-x=- 8（x-2）2x2（4-x）2<0，]

∴[hx]在[0， 2]上為減函數(shù)，[hx>0]，

∴[g（x1）-g（4-x1）>0]，即[g（x1）>g（4-x1）]，[g（x2）>g（4-x1）]，

∵[gx]在[2，+∞]上單調(diào)遞增，∴[x2>4-x1]，即[x1+x2>4]。

評析：對稱變換是解決極值點偏移證明問題的常見方法之一。不同的不等式證明有著不同的變換形式，類似[x1±x2>2x0]形式的證明，可通過加減使其對稱，而類似[x1?x2>2x0]形式的證明，往往通過乘除變換得到對稱形式。

二、消參減元

消參減元主要是建立參數(shù)和極值點的聯(lián)系等式，通過消去參數(shù)或減少變量個數(shù)對問題進行求解。解決極值點偏移證明問題時，首先令函數(shù)的導函數(shù)[f '（x0）=0]，根據(jù)[f '（x0）=0]找到并建立極值點與方程系數(shù)的關系，再利用作差的形式消去參數(shù)或減少變量個數(shù)，如[f（x）=axb+m]（a、b為常數(shù)，m為參數(shù)）可以轉(zhuǎn)化為[f（x1）-f（x2）]消去參數(shù)[m]再求解;其次根據(jù)消參后的式子構(gòu)造對應的函數(shù);最后探究所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，從而解決問題。具體解題步驟如例2所示。

[例2]已知函數(shù)[fx=x2+2x-2lnx]，若方程[fx=x2+2m]有兩個不相等的實數(shù)根[x1]，[x2]，求實數(shù)[m]的取值范圍并證明：[x1x2<1]。

分析：解題的第一步就是要消去參數(shù)，這時需要根據(jù)實數(shù)根[x1]，[x2]之間的關系進行消解，消除參數(shù)后把[x1x2<1]變形為[x1<1x2]，接著對[x1<1x2]對應的函數(shù)[g（x1）<g1x2]，即[g（x1）-g1x2<0]進行探討。

證明：由題意可得方程[f（x）=x2+2m]等價于[x-lnx-m=0]，

令[g（x）=x-lnx-m（x>0）]，則[g'（x）=1-1x]，當[x∈0 ， 1]時，[g'x<0]，[gx]單調(diào)遞減;當[x∈1，+∞]時，[g'（x）>0]，[gx]單調(diào)遞增，所以[g（x）min=g（1）=1-m]。

若方程[f（x）=x2+2m]有兩個不相等的實根，則有[g（x）min<0]，即[m>1]，

當[m>1]時，[0<e-m<1<em]，[g（e-m）=e-m>0]，[g（em）=em-2m]，

令[h（x）=ex-2xx>1]，則[h'（x）=ex-2>0]，[h（x）]在[1，+∞]上是增函數(shù)，[h（x）>e-2>0]，∴[g（em）=em-2m>0]，即[m]的取值范圍為[1，+∞]，

設[x1<x2]，則[0<x1<1<x2]，[0<1x2<1]，

∴[x1x2<1] ? [x1<1x2] ? [g（x1）<g1x2]，

∵[g（x1）=g（x2）=0]，∴[g（x1）-g1x2=g（x2）-g1x2=x2-1x2-2lnx2]，

令[φ（x）=x-1x-2lnx（x>1）]，則[φ'（x）=1x-12>0]，[φ（x）]在[1，+∞]上是增函數(shù)，

∴當[x>1]時，[φ（x）>0]，即[x2-1x2-2lnx2>0]，[g（x1）<g1x2]成立，

∴[x1x2<1]成立。

三、比值換元

運用比值換元法解決極值點偏移證明問題，關鍵在于用兩極值點之比替換問題中的變量[x1]，[x2]。解題時通常把極值點之比看作新變量[t]，把問題轉(zhuǎn)化成關于[t]的函數(shù)問題，進而對有關[t]的函數(shù)進行分析，解決問題。具體解題步驟如例3所示。

[例3]已知函數(shù)[f（x）=ex-ax]有兩個零點分別為[x1]，[x2]，若[a∈e，+∞]，求證：[x1+x2>2]。

分析：首先作差把函數(shù)[f（x）=ex-ax]兩個零點對應等式中的參數(shù)消去，可得[ex1=ax1]、[ex2=ax2];其次根據(jù)得到的式子找到[x1]與[x2]之間的聯(lián)系，不難得到[x2-x1=lnx2-lnx1];最后引入新變量[t=x2x1]，把證明[x1+x2>2]轉(zhuǎn)化為關于[t]的函數(shù)問題，對函數(shù)[h（t）=lnt-2（t-1）t+1]進行探究。

證明：由[f（x）=ex-ax]，得[f '（x）=ex-a]，

∵[a∈e，+∞]，∴[f（x）]在[（0， 1）]和[（1，3a）]上各有一個零點，

設[0<x1<x2]，

由[ex1=ax1]，[ex2=ax2]可得[x1=lna+lnx1]，[x2=lna+lnx2]，

∴[x2-x1=lnx2-lnx1=lnx2x1]，

設[t=x2x1（t>1）]，則[x2=tx1，x2-x1=lnt，]

解得[x1=lntt-1]，[x2=tlntt-1]，[x1+x2=（t+1）lntt-1]，

∴當[t>1]時，[x1+x2>2]等價于[（t+1）lntt-1>2]，即[lnt-2（t-1）t+1>0]，

設[h（t）=lnt-2（t-1）t+1（t>1）]，

則[h'（t）=（t-1）2t（t+1）2>0]，[h（t）]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增，

∴[h（t）>h（1）=0]，即[lnt-2（t-1）t+1>0]，

∴[x1+x2>2]。

評析：通過上述問題及解題過程，不難發(fā)現(xiàn)通過[x2-x1=lnx2-lnx1]引入變量[t=x2x1]是解題的關鍵，也是解題的難點所在。運用比值換元法解題，最終也是消去參數(shù)，減少變量個數(shù)，與其他方法殊途同歸，都使問題更加直觀簡潔。

四、利用單調(diào)性

利用單調(diào)性解決極值點偏移證明問題，著重于用“當導函數(shù)[f'（x）>0]時函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞增”和“當[f'（x）<0]時函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞減”來將自變量的大小關系轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的大小關系。解題時通常利用上述轉(zhuǎn)化而來的函數(shù)大小關系構(gòu)造新的函數(shù)，進而求解新函數(shù)的導數(shù)，確定新函數(shù)的單調(diào)性及其在取值范圍內(nèi)的最大值或最小值。具體解題步驟如例4所示。

[例4]已知函數(shù)[f（x）=xe-x]（[x∈R]），如果[x1≠x2]，且有[f（x1）=f（x2）]，證明：[x1+x2>2]。

分析：因為[f'（x）=1-xex]，所以當[x<1]時有[f'（x）>0]，函數(shù)[f（x）=xe-x]單調(diào)遞增;當[x>1]時有[f'（x）<0]，函數(shù)[f（x）=xe-x]單調(diào)遞減。要證明[x1+x2>2]，即證明[x2<2-x1]，直接令[x1<1<x2]，得到[2-x1>1]，此時[x2]和[2-x1]都在函數(shù)[f（x）]的單調(diào)遞減區(qū)間中，因此只需要證明[f（x2）<f（2-x1）]即可。根據(jù)已知條件[f（x1）=f（x2）]可知，只需要證明[f（x1）<] [f（2-x1）]，通過構(gòu)造函數(shù)[F（x）=f（x）-f（2-x）（x<1）]，[F'（x）=f'（x）-f'（2-x）=1-xex1-e2x-2]，再分析當[x<1]時對應的[F（x）]的導函數(shù)[F'（x）]的情況，即可得到[f（x1）<] [f（2-x1）]，由此證明[x1+x2>2]。

證明：已知函數(shù)[f（x）=xe-x]，則其導函數(shù)為[f'（x）=1-xex]，當[x<1]時有[f'（x）>0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞增;當[x>1]時有[f'（x）<0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞減。要想證明[x1+x2>2]，即證明[x2<2-x1]，所以直接假設[x1<1<x2]，即[2-x1>1]，此時[x2]和[2-x1]都在函數(shù)[f（x）]的單調(diào)遞減區(qū)間中，所以只需要證明[f（x2）<f（2-x1）]。

∵[f（x1）=f（x2）]，

∴只需證明[f（x1）<f（2-x1）]即可，

令[F（x）=f（x）-f（2-x）（x<1）]，

則[F'（x）=f'（x）-f'（2-x）=1-xex1-e2x-2]，

∵[x<1]，

∴[2x-2<0]，等價于[e2x-2<1]，

∴[F'（x）>0]，

因此，當[x<1]時，函數(shù)[F（x）]單調(diào)遞增，

又∵[F（1）=0]，

∴[f（x）<f（2-x）（x<1）]，即[f（x1）<f（2-x1）]，

即證[x1+x2>2]成立。

評析：求解這類問題，首先分析原函數(shù)的單調(diào)性，然后進行合理分析并反推，將自變量的大小關系用函數(shù)的大小關系表示出來，再根據(jù)得到的函數(shù)大小關系構(gòu)造新的函數(shù)，最后對新函數(shù)進行求導，利用新函數(shù)的單調(diào)性及其在取值范圍內(nèi)的最大值或最小值求證即可。

綜上可知，對稱變換、消參減元、比值換元以及利用單調(diào)性等方法都能夠有效解決極值點偏移證明問題。在教學中，教學應善于引導學生發(fā)現(xiàn)試題的命題規(guī)律，熟悉并掌握解答問題的方法，從而提升學生的解題效率和解題能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

（責任編輯 黃春香）