劉紅磊，仲冠宇

（1.頁(yè)巖油氣富集機(jī)理與有效開發(fā)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101；2.中國(guó)石化石油工程技術(shù)研究院，北京 100101）

低滲透儲(chǔ)層基質(zhì)滲透率及孔隙度極低，需通過水力壓裂技術(shù)才可以獲得工業(yè)油氣流。利用定向射孔壓裂技術(shù)，可以使射孔角度與水平主應(yīng)力方向呈一定的夾角，進(jìn)而誘導(dǎo)裂縫轉(zhuǎn)向，產(chǎn)生“S”形或“X”形裂縫，從而增加泄油面積，提高單井產(chǎn)能。目前，該技術(shù)已成功應(yīng)用于低滲透儲(chǔ)層的開發(fā)［1-3］。

定向射孔壓裂條件下裂縫的發(fā)展形態(tài)對(duì)單井增產(chǎn)效果有著重要影響。室內(nèi)實(shí)驗(yàn)［4-7］可以定性分析定向射孔壓裂下裂縫的擴(kuò)展機(jī)理及影響因素，但存在的尺度效應(yīng)等問題造成了研究結(jié)果難以直接用于現(xiàn)場(chǎng)。有學(xué)者通過有限元法［8-9］、邊界元法［10-13］等分析了水力壓裂裂縫的發(fā)展形態(tài)，但這些研究均將巖石簡(jiǎn)化為各向同性的彈性均質(zhì)體，這與煤巖、頁(yè)巖等層理、裂隙發(fā)育的巖石嚴(yán)重不符。在前人研究的基礎(chǔ)之上，依據(jù)各向異性彈性力學(xué)基本原理，基于邊界元法建立了各向異性地層中定向射孔壓裂條件下裂縫發(fā)展形態(tài)的計(jì)算模形，研究了裂縫形態(tài)及影響因素，從而為定向射孔壓裂技術(shù)的研究與應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

1 定向射孔壓裂條件下裂縫擴(kuò)展模形的理論基礎(chǔ)

1.1 基本方程

煤巖、頁(yè)巖等巖石節(jié)理、裂隙發(fā)育，這類巖石具有不同程度的彈性各向異性。為真實(shí)地模擬裂縫擴(kuò)展過程，將巖石簡(jiǎn)化為各向異性彈性體，則作用于巖石的應(yīng)力應(yīng)滿足平衡方程：

式中：σij，j為應(yīng)力分量對(duì)j坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)；fi為體力分量，Pa；i表示體力分量的方向及應(yīng)力分量所在坐標(biāo)面的外法線方向，沿xi方向，稱為面元指標(biāo)；j表示應(yīng)力分量的分解方向，沿xj方向，稱為方向指標(biāo)。

當(dāng)i=j時(shí)，應(yīng)力分量垂直于面元方向，稱為正應(yīng)力，當(dāng)i≠j時(shí)，應(yīng)力分量作用在面元平面內(nèi)，稱為剪應(yīng)力。巖石的應(yīng)力和應(yīng)變滿足本構(gòu)方程：

式中：H為柔度矩陣，與彈性體的各向異性有關(guān)。ε為應(yīng)變，滿足下列公式：

式中：εij為應(yīng)變張量分量；ui為i方向位移分量，m；uj為j方向位移分量，m；xi為i方向坐標(biāo)；xj為j方向坐標(biāo)。

對(duì)于平面問題，式（2）可簡(jiǎn)化為下式，具體參見文獻(xiàn)［14］：

式中：εx為x方向的應(yīng)變，無量綱；εj為方向的應(yīng)變，無量綱；γxy為應(yīng)變張量分量，等同于εij，無量綱；τxy為二階應(yīng)力張量分量，等同于為σij，Pa；σx為x方向的應(yīng)力，Pa；σy為方向的應(yīng)力，Pa；β11、β12、β16、……β36均為在x-y坐標(biāo)系中計(jì)算的柔度分量。

在井壁及裂縫面上，其應(yīng)力及面力應(yīng)滿足靜力邊界條件：

式中：pi為i方向面力分量，Pa；σij為二階的應(yīng)力張量分量，Pa；nj為靜力邊界外法線與j方向夾角的余弦；。

1.2 邊界積分方程

彈性體邊界上的邊界積分方程［15］為：

式中：Uij和Tij為當(dāng)無限大平面彈性體內(nèi)某一點(diǎn)（x0，y0）的j方向有單位集中力作用時(shí)，在任意一點(diǎn)（xk，yk）的i方向上的位移分量及應(yīng)力分量；Γ為彈性體邊界。

無限大地層中裂縫形態(tài)的計(jì)算需求解井壁（內(nèi)部邊界）及裂縫面的未知數(shù)。為方便計(jì)算，令Δuj=uj（C+）-uj（C-），則由式（6）可得井壁邊界上的積分方程：

式中：uj表示j方向位移，m；Γw表示井壁邊界；Tc表示裂縫面。

結(jié)合式（2）、（5），為提高計(jì)算精度，采用二次單元對(duì)邊界進(jìn)行離散化處理，由于水力壓裂裂縫尖端具Δu～有的性質(zhì)［11］，因此，裂縫尖端單元可用二次插值函數(shù)表示為：

根據(jù)式（7）、（9），結(jié)合已知邊界條件，可求得井壁及裂縫面處的位移及應(yīng)力分布。

1.3 應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算方法

裂縫尖端相對(duì)位移Δu1、Δu2與應(yīng)力強(qiáng)度因子KI、KII之間的關(guān)系為［17］：

式中：Δu1、Δu2為裂縫尖端相對(duì)位移，m；KI、KII為應(yīng)力強(qiáng)度因子，Pa·；RΔu、H11、H12、H21、H22為中間計(jì)算單位變量。

水力壓裂過程中裂縫以張拉形破壞為主，較少出現(xiàn)純剪切破壞的情況，因此，為避免奇異性，J積分定義如下［18］：

式中：W為應(yīng)變能密度。

J積分與應(yīng)力強(qiáng)度因子KI、KII關(guān)系為［19］：

式中：α11、α12、α22均為在x-y坐標(biāo)系中計(jì)算的柔度分量，這些分量與材料彈性參數(shù)有關(guān)。

將式（10）代入式（12）中，可求解應(yīng)力強(qiáng)度因子KI、KII：

2 定向射孔壓裂條件下裂縫擴(kuò)展模型的建立及程序編制

2.1 物理模型的建立

在定向射孔的引導(dǎo)下，裂縫沿著射孔方向形成初始裂縫，并在井筒壓力、遠(yuǎn)場(chǎng)地應(yīng)力及縫內(nèi)壓力等因素的共同作用下延伸擴(kuò)展，形成雙翼彎曲縫。為研究裂縫形態(tài)，沿水平方向截取單位厚度的巖層為研究對(duì)象，建立定向射孔壓裂條件下裂縫的擴(kuò)展模型（圖1）。射孔方向與最大主應(yīng)力的夾角為θ，水平最大主應(yīng)力為σH，水平最小主應(yīng)力為σh。

圖1 模型示意圖

2.2 各向異性地層中裂縫擴(kuò)展準(zhǔn)則

各向異性材料裂縫尖端應(yīng)力場(chǎng)的計(jì)算公式與各向同性材料存在很大差別，基于各向同性力學(xué)所推導(dǎo)的裂縫擴(kuò)展角計(jì)算公式并不適用于各向異性地層中裂縫擴(kuò)展路徑的計(jì)算。最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則計(jì)算裂縫開裂角度簡(jiǎn)便，目前在工程上常被應(yīng)用［20］，故采用最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則計(jì)算各向異性地層中裂縫的擴(kuò)展路徑。

裂縫尖端應(yīng)力場(chǎng)可用應(yīng)力強(qiáng)度因子KI、KII表示為：

式中：r為與裂縫尖端的距離，m；γ為與裂縫尖端的夾角，Re定義為復(fù)數(shù)的實(shí)部。

極坐標(biāo)條件下裂縫尖端的周向應(yīng)力可表示為：

σθ（γ）=σx1sin2（γ）-2τx1y1sin（γ）cos（γ）+

式中：σθ為周向應(yīng)力，Pa。

根據(jù)最大周向應(yīng)力理論，裂縫沿最大周向拉應(yīng)力的方向起裂，因此，可將裂縫擴(kuò)展的方位角的求解問題轉(zhuǎn)換為帶約束條件的非線性優(yōu)化問題，即：

以上優(yōu)化問題可通過單純形法、大M法或?qū)ε紗渭冃畏ǖ惹蠼狻?/p>

2.3 定向射孔壓裂條件下裂縫發(fā)展形態(tài)的計(jì)算程序

基于二次單元的邊界元計(jì)算方法可顯著提高計(jì)算精度，但其高計(jì)算精度是以計(jì)算速度為代價(jià)的。以系數(shù)矩陣為例，與常單元的邊界元計(jì)算方法相比，其系數(shù)矩陣的元素個(gè)數(shù)增大了9倍。由此可見，基于二次單元的邊界元計(jì)算方法提高了計(jì)算的準(zhǔn)確性，但是在計(jì)算時(shí)間上并沒有什么優(yōu)勢(shì)。并行計(jì)算是提高計(jì)算機(jī)系統(tǒng)計(jì)算速度和處理能力的有效方法之一，其基本思想是將所求解問題分解成若干個(gè)子區(qū)域，各子區(qū)域均由一個(gè)獨(dú)立的處理機(jī)處理，從而實(shí)現(xiàn)多計(jì)算資源的協(xié)同計(jì)算［21］。文中邊界元計(jì)算時(shí)間最長(zhǎng)的任務(wù)為系數(shù)矩陣的計(jì)算。由式（8）、式（9）可以看出，∫TijujdΓ、∫UijujdΓ、∫Tij，kujdΓ、∫Uij，kujdΓ的計(jì)算任務(wù)是相互獨(dú)立的，并不需要通過數(shù)據(jù)傳遞以實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算。因此，可采用并行運(yùn)算方法將系數(shù)矩 陣 的 計(jì) 算 分 為∫TijujdΓ、∫UijujdΓ、∫Tij，kujdΓ、∫Uij，kujdΓ四個(gè)子區(qū)域進(jìn)行，從而在保證精度的前提下提高計(jì)算速度。

按照以上理論及方法，編寫了可模擬定向射孔壓裂條件下裂縫發(fā)展形態(tài)的計(jì)算程序。模擬過程為計(jì)算裂縫的位移場(chǎng)及應(yīng)力場(chǎng)分布，求出應(yīng)力強(qiáng)度因子及裂縫擴(kuò)展的方位角，并在裂縫尖端處延伸一小段二次單元，更新計(jì)算單元系數(shù)矩陣及單元編號(hào)，重復(fù)以上步驟，直到裂縫延伸至目標(biāo)長(zhǎng)度為止。

2.4 模型驗(yàn)證

A.Azhdari等推導(dǎo)了各向異性介質(zhì)中遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力作用下裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子解析式［22］，M.Chertov求出了橫向各向同性地層中縫內(nèi)受均勻壓力下裂紋的寬度分布解析式［23］。為驗(yàn)證所編制程序的正確性，將所計(jì)算的數(shù)值解與解析解結(jié)果相對(duì)比，計(jì)算參數(shù)為：彈性模量Ex=2.877 92 GPa，Ey=1.728 81 GPa，Ez=2.877 92 GPa，vxy=0.393 0，vyz=0.236 3，vzx=0.393 0，Gxy=1.100 0 GPa，Gyz=0.734 5 GPa，Gzx=0.734 5 GPa。計(jì)算結(jié)果見圖2，從圖2可以看出，本文所提的邊界元計(jì)算結(jié)果與解析解結(jié)果吻合。

圖2 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3 影響因素分析

為探討各向異性地層中起裂壓力的影響因素，取某煤層氣儲(chǔ)層［24］參數(shù)進(jìn)行影響因素分析。其計(jì)算參數(shù)為：Ex=2.880 00 GPa，Ey=1.730 00 GPa，Ez=2.880 00GPa，vxy=0.393 0，vyz=0.236 0，vzx=0.393 0，Gxy=1.100 0 GPa，Gyz=0.730 0 GPa，Gzx=0.730 0 GPa，σH=19.28 MPa，σh=16.21 MPa。

3.1 彈性各向異性對(duì)裂縫形態(tài)的影響

不同彈性模量各向異性比值條件下的裂縫形態(tài)如圖3所示。當(dāng)定向射孔方向與水平最大主應(yīng)力方向呈一定角度時(shí)，裂縫沿射孔方向起裂并延伸一段距離后，在遠(yuǎn)場(chǎng)地應(yīng)力作用下逐漸轉(zhuǎn)向水平最大主應(yīng)力方向擴(kuò)展，形成雙翼彎曲縫［25］。根據(jù)最小能量原理，裂縫沿著阻力最小的方向擴(kuò)展，當(dāng)裂縫沿平行于水平最大主應(yīng)力方向擴(kuò)展時(shí)，由于所克服的應(yīng)力為水平最小主應(yīng)力，擴(kuò)展阻力最小，因此裂縫的擴(kuò)展方向均由射孔方向逐漸轉(zhuǎn)向水平最大主應(yīng)力方向。與理想的平直雙翼裂縫相比，定向射孔壓裂所形成的“S”形裂縫顯著增加了裂縫與油藏的接觸面積，提高了儲(chǔ)層的動(dòng)用程度，因此，定向射孔壓裂技術(shù)有利于油藏的高產(chǎn)及穩(wěn)產(chǎn)。

圖3 K E（彈性模量各向異性比值）對(duì)裂縫形態(tài)的影響

定義彈性模量各向異性比值KE為Y方向上彈性模量Ey與X方向上彈性模量Ex的比值，顯然比值越大，X方向上與Y方向上的彈性模量差別越大。從圖3可以看出，裂縫Y方向上延伸距離隨著比值的增加而緩慢增大，因此，隨著彈性模量各向異性比值的增加，裂縫轉(zhuǎn)向變緩，轉(zhuǎn)向半徑增大。但增長(zhǎng)幅度較小。隨著彈性模量比值的增大，由裂縫、井筒等所產(chǎn)生的誘導(dǎo)應(yīng)力增加，會(huì)對(duì)井周原始地應(yīng)力場(chǎng)產(chǎn)生了一定的影響，使得近井周區(qū)域水平應(yīng)力差異性減小，裂縫更容易發(fā)生轉(zhuǎn)向。

3.2 射孔角度對(duì)裂縫形態(tài)的影響

圖4為不同射孔角度條件下的裂縫形態(tài)。由圖可見，轉(zhuǎn)向半徑隨著射孔角度的增加而增大。根據(jù)最小能量原理，裂縫延射孔方向起裂后均逐漸轉(zhuǎn)向最大主應(yīng)力方向擴(kuò)展。當(dāng)射孔方向與水平最大主應(yīng)力方向夾角較小時(shí)（小于40°時(shí)），裂縫延伸較小距離后即可沿水平最大主應(yīng)力方向擴(kuò)展，因而轉(zhuǎn)向半徑較小。

圖4 射孔角度對(duì)裂縫形態(tài)的影響

不同射孔角度條件下的裂縫寬度見圖5。由圖可見，當(dāng)射孔方向與水平最大主應(yīng)力方向夾角過大時(shí)，裂縫寬度小。射孔方向與水平最大主應(yīng)力夾角過大時(shí)（大于40°），裂縫擴(kuò)展所克服的阻力為水平最大主應(yīng)力和水平最小主應(yīng)力的合力，夾角越大，水平最大主應(yīng)力的分量越大，合力也就越大，因而裂縫寬度減小。在壓裂作業(yè)過程中，由于裂縫的彎曲及寬度減小，沿程摩阻增大，會(huì)造成砂堵等復(fù)雜情況，不利于壓裂增產(chǎn)作業(yè)。鑒于此，推薦射孔角度為0～40°。

圖5 射孔角度對(duì)裂縫寬度的影響

4 結(jié)論

（1）基于各向異性彈性力學(xué)和邊界元方法，建立了各向異性地層中定向射孔壓裂條件下裂縫的擴(kuò)展模型，并通過最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則提出了裂縫發(fā)展形態(tài)的計(jì)算方法。

（2）基于邊界元法編寫了定向射孔壓裂條件下裂縫發(fā)展形態(tài)的計(jì)算程序，采用二次單元及裂縫尖端單元以提高計(jì)算精度，通過并行運(yùn)算提高了系數(shù)矩陣的計(jì)算速度，從而在保證精度的前提下縮短了計(jì)算時(shí)間。

（3）當(dāng)射孔角度與最大主應(yīng)力方向呈一定角度時(shí)，裂縫為一條規(guī)則的“S”形裂縫。隨著彈性模量各向異性比值的增加，裂縫轉(zhuǎn)向半徑略微增大，裂縫轉(zhuǎn)向半徑隨著射孔角度的增大而增加。