王元慧

分類討論思想是數(shù)學(xué)中一種化整為零、各個擊破的解題策略和思想方法.在求解等腰三角形問題時，常常由于已知條件的不確定性，需要通過分類討論來解答.對此，筆者就解答等腰三角形問題時需分類討論的幾種情形進行了分析說明.

一、頂角與底角不確定

在等腰三角形問題中，若已知條件中沒有對頂角或底角做出明確的說明，此時需要就這個已知角是頂角還是底角進行分類討論，否則會出現(xiàn)漏解.

例1若等腰三角形中有一個內(nèi)角等于40°，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)是（ ）.

A.100° B.70° C.40° D.40°或100°

分析：對于此題，很多同學(xué)容易把40。的角看成底角，故而錯選了A項.實際上，由于給出的40°的已知角并沒有具體指出該角是頂角還是底角，所以在求解時需要先分為兩種情形進行討論，再利用三角形內(nèi)角和求解.

解：（1）當(dāng)40°的角為這個等腰三角形的頂角時，設(shè)底角的度數(shù)為x，

則2x+40 =180.

解得x= 70，

所以另外兩個角的度數(shù)為70°、70°.

（2）當(dāng)40°的角為這個等腰三角形的底角時，設(shè)頂角的度數(shù)為y，

貝4V+2×40= 180，

解得y= 100，

所以頂角的度數(shù)為100°，

綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數(shù)為40°或100°，故正確答案為D項.

評注：解答本題的關(guān)鍵在于分類討論40°是等腰三角形的頂角還是底角.在等腰三角形中，底角只能為銳角，不能為直角或鈍角，因此若題目中指出等腰三角形的一個內(nèi)角為110°，這里的110°只能作為頂角，而不能作為底角.

二、腰或底邊長不確定

在求解等腰三角形問題時，若題中已知條件給出了一條邊的邊長，但沒有確切地指出這條邊是腰還是底邊，此時，同學(xué)們要注意分類討論，從而確保答案的完整性和準(zhǔn)確性.

例2已知關(guān)于x的一元二次方程x2 -（3m+2）x +9（m一

）=0有實數(shù)根，若等腰三角形中，一條邊的邊長為5，另外兩條邊的長恰好是這個一元二次方程的兩個根，則該等腰三角形的周長為____。

分析：本題是一道等腰三角形與一元二次方程相結(jié)合的綜合題，欲求該等腰三角形的周長需知曉三條邊長，然而已知條件只給出一條邊為5，它可能是腰長為5，也可能是底邊長為5，所以解答時需要分兩種情況進行討論.

解：（1）若該等腰三角形的腰長為5，那么x=5則為一元二次方程的一個根，將x=5代入該方程中，可得m=2，所以原一元二次方程為：x2 -8x+15=0，解得x1=5，x2=3，這樣該等腰三角形的三邊為5，5，3，所以該等腰三角形的周長為13.

（2）若該等腰三角形的底邊長為5，那么由一元二次方程有實數(shù)根可知，△=0，即（3m+2）2 -4×9（m一 ）=9m2 - 24m+ 16= （3m一4）2 =0，解得m=

，所以原一元二次方程為：X2一6x+9=0，解得x1=x2=3，這樣該等腰三角形的三邊為3，3，5，所以該等腰三角形的周長為11.

綜上所述，該等腰三角形的周長為13或11.

評注：當(dāng)確定了等腰三角形三邊后，一定要運用三角形的三邊關(guān)系進行檢驗，看它們能否組成三角形.一般已知等腰三角形的兩邊長，若較短邊大于較長邊的一半時，有兩種情況;若較短邊不大于較長邊的一半時，則只剩“短邊為底，長邊為腰”這種情況.

三、高的位置不確定

在等腰三角形中，當(dāng)頂角是銳角時，腰上的高在等腰三角形的內(nèi)部;而當(dāng)頂角是鈍角時，腰上的高則在等腰三角形的外部.所以，在求解有關(guān)等腰三角形問題時，若高的位置不確定，此時應(yīng)根據(jù)內(nèi)高和外高這兩種情況進行分類討論.

例3已知在等腰三角形中，一腰上的高與另一腰的夾角為35°，則該等腰三角形的頂角為____.

分析：此題中由于等腰三角形的形狀不明確，它可能為等腰銳角三角形，也可能為等腰鈍角三角形，這就導(dǎo)致高的位置出現(xiàn)了不確定性，所以該等腰三角形頂角的度數(shù)也不確定，需要進行分類討論.

解：（1）當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時，一腰上的高在△ABC內(nèi)部，如圖1所示.

因為腰上的高與另一腰的夾角為35°，即∠CAD= 35°.

所以可以得出∠C=180°-90°-35°=55°.

（2）當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時，一腰上的高在腰的延長線上，也就是△ABC外部，如圖2所示.

因為腰上的高與另一腰的夾角為35°，即∠DAC= 35°.

故可知頂角的補角∠DCA= 55°，所以可以得出∠ACB= 180°- 55°=125°.

綜上所述，該等腰三角形的頂角為55°或125°.

評注：三角形高的位置，往往取決于三角形的形狀.當(dāng)題目中腰上的高關(guān)聯(lián)到等腰三角形的形狀時，要注意從高在三角形內(nèi)部和外部兩方面入手，分類考慮問題.

總之，分類討論思想在解等腰三角形問題中有著廣泛應(yīng)用.在平時的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要結(jié)合具體問題，靈活應(yīng)用分類討淪思想，從而有效規(guī)避漏解和錯解.