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        初中數(shù)學(xué)三角形輔助線的構(gòu)造方法

        2022-06-08 09:06:56楊魁平
        今天 2022年6期
        關(guān)鍵詞:輔助線平分線線段

        楊魁平

        (遵義市第五十五中學(xué) 貴州 遵義 563000)

        初中階段數(shù)學(xué)學(xué)科中很多幾何問題的解答,都需要制作輔助線,但是如何有效地使用輔助線,就是解答問題的難點(diǎn),所以在進(jìn)行此類問題學(xué)習(xí)的時(shí)候?qū)W生會(huì)接觸到多種輔助線的運(yùn)用方法,基于輔助線使用的靈活性強(qiáng),所以在實(shí)際運(yùn)用的時(shí)候要具體問題具體分析,不能直接套用現(xiàn)有的輔助線制作方法。例如在解答新的平面幾何問題的時(shí)候,不能從已有制作輔助線的經(jīng)驗(yàn)中獲得啟示,但還是要分析這些輔助線。隨著教師對(duì)幾何解題教學(xué)研究的深入,找出幾種幾何變換的方法,希望可通過此解答幾何問題?;诖吮疚恼驹趲缀巫儞Q的角度,對(duì)平面幾何問題中輔助線的運(yùn)用進(jìn)行研究。

        1.輔助線在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用價(jià)值

        新課程標(biāo)準(zhǔn)與中考數(shù)學(xué)考試指南,都提出“空間與圖形”是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。一方面,需要學(xué)生能夠更加直觀感受與理解幾何的知識(shí),如三角形相似、全等內(nèi)容學(xué)習(xí)的時(shí)候,學(xué)生可以快速反映出題目中的條件與圖形,挖掘三角形圈定或者相似方面性質(zhì)的條件,進(jìn)而證明。另一方面,學(xué)生在進(jìn)行幾何問題解答的時(shí)候,提升了自己的逆向思維與推理能力。這樣在解決復(fù)雜的幾何問題的時(shí)候,輔助線的作用就顯現(xiàn)出來了,以其合理引入為前提,轉(zhuǎn)化幾何問題?,F(xiàn)在新課改要求學(xué)生在進(jìn)行“空間與幾何”問題解答的時(shí)候,提升幾何直觀能力,并能通過幾何體的表面條件能夠看到另一個(gè)層次,因此當(dāng)看到幾何事物的時(shí)候,就會(huì)聯(lián)想到已學(xué)知識(shí),建立連接。一般來說就是通過圖形為依托,進(jìn)行深度思考,其中借助輔助線的工具,可助學(xué)生將已知條件與新創(chuàng)建的條件結(jié)合,進(jìn)而解決幾何問題。據(jù)此,在初中數(shù)學(xué)幾何問題的解答中,可以使用輔助線,在一定城府下,幫助學(xué)生提升幾何直觀素養(yǎng),發(fā)展幾何推理發(fā)展提供適合的途徑。在學(xué)生解答幾何問題的時(shí)候引入輔助線,可適當(dāng)克服解題過程中產(chǎn)生的思維阻力,更快感知解答思路。在此輔助線在幾何問題解答中起到的作用為:

        1.1 顯示圖形中的隱藏條件

        很多幾何問題的編制,為了考察學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與推理能力,會(huì)將本就存在的線段隱藏起來,此就間接地增加了問題的難度。學(xué)生結(jié)合已知條件在圖形中增加輔助線,在一定程度上補(bǔ)充了原來的圖形,還隱藏了定理與性質(zhì)直接展現(xiàn)出來。另外還能助學(xué)生清晰解題思路,借助已有知識(shí),快速解答此類問題。

        1.2 根據(jù)已知條件,為未知答案構(gòu)建“橋梁”

        很多幾何問題中條件與未知無直接聯(lián)系,學(xué)生按照正常的思想無法分析,不能建立與多條件之間的關(guān)系,所以不能充分發(fā)揮各個(gè)條件的作用。但是通過輔助線的使用,就能將原本不能建立起來的聯(lián)系構(gòu)建起來,充分利用所給條件為未知結(jié)論的解答做有利紐帶。

        1.3 有效轉(zhuǎn)化問題 由于幾何問題比較復(fù)雜,所以學(xué)生在讀完題目后,不能依據(jù)自身思維,建立適合的數(shù)量關(guān)系,另外面對(duì)此類問題,學(xué)生還會(huì)產(chǎn)生退縮心理。而輔助線的運(yùn)用,就會(huì)將原有復(fù)雜的問題進(jìn)行分解與重新整合,快速找到適合的突破口,將復(fù)雜的問題向簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化,縷清解題思路快速整合。

        2.初中數(shù)學(xué)三角形輔助線的構(gòu)造方法

        2.1 遇角平分線構(gòu)造的輔助線

        初中生學(xué)習(xí)三角形之后,在解題的時(shí)候經(jīng)常會(huì)遇到角平分線的問題,內(nèi)角平分線與外角平分線的運(yùn)用與處理則成為解答問題的方法,如運(yùn)用角平分線的性質(zhì)證明三角全等或者三角形線段、角的相等?;蛘呃媒瞧椒志€的對(duì)稱性質(zhì),翻折圖形,然后進(jìn)行推理論證與計(jì)算。在此,可根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì),總結(jié)幾種做輔助線的方法,即過角平分線上的點(diǎn),向兩邊取相等的線段;過角平分線上的點(diǎn),向兩邊做垂線段;過三角形角一邊上的點(diǎn),做角平分線垂線;過角平分線上的點(diǎn),做一邊的平行線。

        圖1

        圖2

        第二,一個(gè)角先做出角平分線,然后在角平分線上分別向角的兩邊,做相等的線段,形成的兩個(gè)三角形是全等的。例2,如圖2,三角形中,∠C=2∠B,AD是∠BAC的平分線,請(qǐng)證明DC=AB-AC。此問題就是根據(jù)AD平分∠BAC,在AB上截取一點(diǎn)E,讓AE=AC,在此就構(gòu)建兩個(gè)全等三角形。找到點(diǎn)E后,連接DE,可知∠C=∠AED,CD=ED,再根據(jù)題目給出的條件,得到∠C=2∠B,∠AED=∠EDB+∠B,得到EB=ED. DC=BE,又因?yàn)锽E=AB-AE=AB-AC,由此可證DC=AB-AC。

        第三,角一邊上的一點(diǎn),做角平分線的垂線。此垂足為三角形底邊上的中點(diǎn),而此角平分線所在的直線,又是底邊上的高與中線所在直線,在此就可運(yùn)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證明。OE是∠AOB的角平分線,做OE的垂線與直線OA相較于點(diǎn)D,延伸DE,與OB相交與點(diǎn)F,在此三角形ODF為等腰三角形,角平分線OE與三角形底邊DF上的高與中線為一條直線。例3,三角形ABC中,CD是∠ACB的角平分線,AD與CD垂直,DE和BC平行,求EB=EA。此證明題根據(jù)兩直線平行,在證明點(diǎn)D是AD所在某直線的中點(diǎn)即可,在此延長AD,與BC相較于F,再根據(jù)CD是∠ACB的角平分線與AD垂直于CD,得到三角形ACD與FDC全等,在此得到AD=FD,最后可證明EA=EB。

        第四,過角平分線上的點(diǎn),做邊的平行線,可得其線段與該線所截的交的邊長度相等。例4,∠AOB為30°,OD是角平分線,過點(diǎn)D做DC與OA垂直,與OA相較于點(diǎn)C,若DC=4,求OC的長。分析題意,可根據(jù)OD是∠AOB的平分線,想到過點(diǎn)D,構(gòu)建等高三角形,所以過點(diǎn)D做ED與OB平行,然后依據(jù)等腰三角形性質(zhì)求解。再根據(jù)題目中給出的∠AOB的度數(shù),依據(jù)等角轉(zhuǎn)換,得到包含30°的直角三角形。

        2.2 遇邊上中點(diǎn)構(gòu)造的輔助線

        初中階段的數(shù)學(xué),關(guān)于三角形的問題,較多與三角形得中位線、中線有關(guān)?;诖似矫鎺缀螁栴}的解答,可根據(jù)邊上的中點(diǎn)做三角形的中線或者中位線解答。

        2.3 遇邊上的高構(gòu)造的輔助線

        在學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的高后,就可根據(jù)其有關(guān)性質(zhì)做輔助線。

        第二,直角三角形中可做斜邊上的高,然后以“等角的余角相等”或“同角的余角相等”證明三角形相似,進(jìn)而利用成比線段求解問題。直角三角形ABC中的∠C=90°,過點(diǎn)C直線AB的垂線,與其相較于點(diǎn)D,則有∠A=∠BCD,∠B=∠DCA,三角形ABC與CBD與ACD相似,進(jìn)而有很多成比例的線段。

        結(jié)論

        初中平面幾何作為數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)課程,教師要有效培養(yǎng)學(xué)生解答幾何問題的能力,在三角形問題的解答中,輔助線的構(gòu)造很重要,可構(gòu)成新的圖形,組建新的關(guān)系,進(jìn)而增加解題條件,提升解題效率。

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