陳凱

“計算”與其說是計算機的強項，不如說是一個裝置之所以被稱為計算機的關鍵能力。人們可以利用計算機實施各類運算，如直接列出表達式做簡單的算術題、利用特定算法解方程、通過符號運算推導數(shù)學公式等。當計算機強大的計算能力被人們充分利用的時候，它所具有的這種強大能力的一系列緣由卻常常被掩蓋起來。想象一下，某人在做物理習題時遇見加法運算，在實施運算時，雖然不一定會有意識地回想起自己曾經(jīng)背誦過“八加六得十四”“八加七得十五”等此類事實，但只要一經(jīng)提醒，就能明白自己能夠完成加法運算的緣由：也許最早的時候不得不依靠擺積木或扳手指的方法，但到后來就能將固定的兩個一位十進制數(shù)字加法的結果深深刻錄在記憶中了，此后，這個深刻的記憶就形成一種運算規(guī)律，被靈活地應用到更復雜的加法運算中。再想象一下，若某人用計算機做加法，雖然很容易實施運算并得到結果，但計算機能進行加法運算的緣由，卻是隱藏在幕后而不為常人知曉的，并且，也很少有計算機的用戶會想到去主動探究。

計算機實施加法的過程與人有很大的不同，有一句流傳很廣的話這樣說：“計算思維是人的思維，不是機器的思維?！弊屑毚竽軌虬l(fā)現(xiàn)，此話其實就已經(jīng)隱含“機器能思維”的意味在其中，否則也就不至于要對人和機器的思維進行區(qū)分了，這頗能引發(fā)哲學上的思考：機器能夠思維嗎？繼而還會引發(fā)關于怎樣才算是機器等問題的討論，這些不是本篇文章討論的重點，筆者想請大家關注的是“計算思維是人的思維”這半句話中并沒有明示出來的問題：計算思維到底是人的怎樣的一種思維？既然這種思維不是機器的思維，它又是如何和機器發(fā)生關聯(lián)的？——否則該論斷也就不需要和所謂機器的思維做對比了。筆者希望能通過一些簡單的用機器實現(xiàn)加法的例子，來逐步揭示問題的答案。

● 實現(xiàn)二進制加法的全加器電路

先來看一個十分常見的全加器的邏輯電路，它通常被稱為全加器（如圖1）。這個裝置可以接受三個僅有一位的二進制數(shù)的輸入，然后經(jīng)過一系列的邏輯運算，得到兩位的二進制輸出值。如果三個輸入中只有一個“1”，那么結果中高位是0，低位是1;如果三個輸入中有兩個“1”，那么結果中高位是1，低位是0;如果三個輸入都是“1”，則結果的高位和低位都是1。

若是根據(jù)邏輯電路圖，逐個跟蹤各個邏輯元件輸入和輸出信號的變化，便可知這樣一個電路的確能實現(xiàn)三個一位二進制數(shù)的加法的運算，然而并不能解答這樣的疑惑：為什么它能夠起作用？盡管整幅電路圖如此清晰而直觀地呈現(xiàn)在人們面前，但大部分人仍然很難通過觀看這張電路圖，就領悟機器的計算需要如此結構的原因。

即便是將電路圖轉化為邏輯表達式，如高位的輸出值和三個輸入值的關系為h=（a^b）&c|（a&b），雖然可以借由a、b、c值的輸入和邏輯計算，看出這個表達式的確能實現(xiàn)加法運算后二進制高位的輸出，同樣很難看出，何以這個邏輯表達式能起作用。對于邏輯電路圖也好，邏輯表達式也好，大部分人都能很輕松地經(jīng)由推演和逐步跟蹤的方式驗證它的正確性，卻很難在整體上領悟（很難，但并非不可以，筆者將在后續(xù)文章給出一種啟發(fā)領悟的方法）它為何能夠以這樣的結構來運行。換言之，很難領悟這種能夠正常工作的系統(tǒng)結構到底是怎么被設計出來的，一個簡單的二進制加法裝置尚且存在這樣的困惑，更何況那些復雜很多的計算系統(tǒng)了。

● 重新推理出二進制加法邏輯電路

假設學生已經(jīng)掌握了基本的邏輯運算，那么想要解釋清楚怎樣實現(xiàn)二進制加法運算，并不是非常困難的事，這個觀點似乎和上面的事實有很大的矛盾，但由于計算方式是多樣的，所以的確存在更容易理解的二進制加法電路。下面來說明一下。

經(jīng)由簡單的邏輯推理可知，只有當a、b、c三個輸入中僅有一個是1，或者全部是1的情況下，加法裝置的低位才是1，否則是0?？梢詫⑦@個邏輯判斷過程用邏輯電路的方式來表達，從中可以看出一個大的部件是怎樣由四組小的部件拼接起來的，繪制出來的圖頗有一種規(guī)律性的美感，如圖2所示。

另外，當a、b、c三個輸入中有兩個或三個1時，加法裝置的高位是1，否則是0。也可以用邏輯電路以很有規(guī)律的方式表達出來。如圖3所示。

筆者特意將圖2元器件方向和圖3元器件的方向設得不同，這樣，就可以將兩張有規(guī)律的圖輕松合并在一起，組裝成一張更大的圖，然后就能實現(xiàn)二進制的加法了（如下頁圖4）。

這個加法器的邏輯電路圖看上去頗有一種能夠治愈強迫癥的感覺，而且很容易用人的思維來理解它何以能夠工作。它總共有19個邏輯元件，考慮到邏輯電路圖中的邏輯門支持了多個輸入，若是僅使用兩輸入的邏輯門，那么這個加法器實際上要用到31個邏輯元件。相對來說，圖1所示的全加器電路只有5個元件。要是從“何以如此結構能夠正常工作”的角度來發(fā)問，圖1的全加器反而更讓人難以理解。不過圖1的全加器電路有其自身的優(yōu)勢，其中一方面的優(yōu)勢是顯而易見的：因為結構簡單，所以制作成本低，穩(wěn)定性也高。其實還有另一方面的優(yōu)勢，在復雜的電路中，圖1的全加器更容易實現(xiàn)封裝和模塊化，限于篇幅暫不展開。很顯然，可以發(fā)現(xiàn)其中的矛盾：人容易理解的結構不是被實際廣泛應用的結構。

● 機器的思維和人的思維

現(xiàn)在重新回到關于“人的思維”和“機器的思維”的討論。有一個很著名的思想實驗這樣說：如果把一個鐘的零件拆散，放進一個盒子反復搖動，那么只要時間足夠久，而且零件也足夠牢靠，最終盒子里的零件會自動組裝成一個完整的鐘。也可以反過來考慮，當人們打開一個盒子，發(fā)現(xiàn)里面是一個完整的鐘，那么人的頭腦認為更可能的情況，究竟這個鐘是來自非常長的時間的搖晃而自動組裝成功的，還是由人手工組裝成功的？顯然，前者可能性是極其微小的?？梢栽囍鲆粋€簡單的調(diào)查，用常規(guī)的5個邏輯元件的加法器和筆者提供的29個元件的加法器作對比，問學生哪一個結構更可能是人工設計的，得到的答案更多的是后者，雖然實際上，人們在真正設計和制作電路時，卻幾乎總是使用前者的結構。如果換一種問法，問兩種結構的機器，哪一種更可能是在盒子里搖晃而成的，那么得到的答案就明顯傾向于前者。這讓筆者忽然領悟到，相對于“人的思維”和“機器的思維”的區(qū)別的問題，更值得思考的，是“更像人的思維的機器的思維”和“不像人的思維的機器的思維”兩者的區(qū)別。

這里給出另一個非邏輯電路的例子。圖5是元胞自動機“生命游戲”中的一種圖案，名稱叫“滑翔機”?！吧螒颉钡淖兓?guī)則非常簡單（相關變化規(guī)則可以方便地在網(wǎng)絡上查閱到，這里不再說明），元胞自動機中的每一個格子的變化，都很容易根據(jù)預設的規(guī)則推演出來，但哪怕如圖5左上角那樣只有五個亮點組成的圖案，人的頭腦也很難憑空想象出這個圖案在后續(xù)變化中會陷入周期性的重復模式，并在整體上仿佛滑翔機一樣逐步漂移到原來位置的右下角。這個“滑翔機”圖案還具有傳遞信息的作用，以至于可用于在“生命游戲”中構建起加法運算裝置，圖6是這個加法運算裝置的局部（完整結構所占篇幅太大，這里就不展示了），盡管它在運行過程中的每一步都能依靠人的思維來跟蹤，但除非是這個裝置的創(chuàng)建者，其他人在看到這個裝置時，僅僅能看出局部的圖案具有某些規(guī)律性，在更長久的時間上，難以把握住圖案的整體變化，也幾乎無法判定結構中每個部件的作用、部件之間的關系以及整體的工作原理。

從全加器的例子到元胞自動機“生命游戲”的例子，可以看出人的思維的局限，人很容易接受簡單的規(guī)則，然后用這個簡單的規(guī)則構建起一個自動化工作的系統(tǒng)。但人在面對一個復雜的需求的時候，頭腦仍然希望這個構建過程是具有某種規(guī)律性的，并希望每一個局部的構造動作都存在著目的。正是在這一點上，人的思維和非人類的“思維”產(chǎn)生出了重要的區(qū)別，一個自然的機器——假設把自然中的事物按規(guī)律運行視作某種機器的話——它的構建是生成性的，系統(tǒng)中的局部的結構并不存在目的性，而是在宏觀的混沌的運行中涌現(xiàn)出了某種意義，這些并非以人慣常的思維運作的機器并不會產(chǎn)生出需要人去理解它的意愿。

然而，高效簡潔的全加器恰恰是由人自己設計出來的;局部極其簡單，整體卻復雜混沌的“生命游戲”的加法裝置也是由人自己設計出來的;更具有普遍性的例子是，雖然計算機底層的機器指令極其復雜，難以讓人理解，但人卻能夠借助更接近人的思維的高級語言代碼來實現(xiàn)復雜的計算。所以就必須追問一個問題：為什么人有這樣的能力？

至少在當前，人并不按機器思維的方式來思維——這里暫不討論在頭腦中植入計算機的未來場景。但是人卻有一種自由。選擇A：構建一個按人慣常的思維方式來工作的機器;選擇B：構建一個并不按人慣常的思維方式來工作的機器。于是人們發(fā)現(xiàn)這樣的問題，人往往需要先選擇B，然后才有可能選擇A，并且越是在機器的底層，按B方式的思路越是容易構建出現(xiàn)實中真正的可用于計算的器物。計算思維不是這種器物的思維，而是構建這種器物的思維。所以，筆者這樣來理解“計算思維是一種人的思維”，這種人的思維可以更具體地認為是一種“能夠?qū)C器按機器的思維模擬出某種人的思維”的人的思維。