崔春強(qiáng) 王敞亮

◆摘? 要：足球是當(dāng)今世界最熱門的體育運(yùn)動(dòng)之一。本文主要討論有 12 支球隊(duì)參賽時(shí)， 決賽對(duì)陣方案的制定以及有 24 支球隊(duì)參賽時(shí)， 決賽對(duì)陣方案的制定，得到了所有不同的對(duì)陣方案。

◆關(guān)鍵詞：足球;淘汰賽;對(duì)陣方案;逆序數(shù)

一、引言

足球，被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”，全球體育界最具有影響力的單項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)。足球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)古老的體育活動(dòng)，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。據(jù)史料記載，希臘人和羅馬人在中世紀(jì)以前就已經(jīng)從事一種足球游戲了。他們?cè)谝粋€(gè)長(zhǎng)方形場(chǎng)地上，將球放在中間的白線上，用腳把球踢滾到對(duì)方場(chǎng)地上。

據(jù)史料記載，中國(guó)古代足球的出現(xiàn)比歐洲更早，歷史更為悠久。足球起源于中國(guó)古代戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的齊國(guó)，當(dāng)時(shí)名為“蹴鞠”或“蹋鞠”，“蹴”和“?！倍际翘叩囊馑?，“鞠”是球名。“蹴鞠”一詞最早記載在《史記》里，漢代劉向《別錄》和唐人顏師曾《漢書枚乘傳》均有記載。《戰(zhàn)國(guó)策·奇策》中蘇秦游說(shuō)齊宣王時(shí)形容臨淄：“臨淄甚富而實(shí)，其民無(wú)不吹竿、鼓瑟、蹴鞠者”。到了唐宋時(shí)期，“蹴鞠”活動(dòng)已十分盛行，成為宮廷之中的高雅活動(dòng)。原國(guó)際足聯(lián)主席阿維蘭熱博士來(lái)中國(guó)訪問時(shí)曾表示：足球起源于中國(guó)。當(dāng)然，由于封建社會(huì)的局限，中國(guó)古代的蹴鞠活動(dòng)最終沒有發(fā)展成為以公平競(jìng)爭(zhēng)”為原則的現(xiàn)代足球運(yùn)動(dòng)。這個(gè)質(zhì)的飛躍是在資本主義的英國(guó)完成的。

現(xiàn)代足球運(yùn)動(dòng)的誕生從17世紀(jì)中后期開始，足球運(yùn)動(dòng)逐步從歐美傳入世界各國(guó)，尤其是在一些文化發(fā)達(dá)的國(guó)家更為盛行。越來(lái)越多的人走向球場(chǎng)，投身到這一富有刺激性和暢快感的運(yùn)動(dòng)中去，以至于一度將足球運(yùn)動(dòng)開展得好壞作為衡量一個(gè)國(guó)家文化發(fā)達(dá)與否的標(biāo)志。在這種情況下，英國(guó)人率先為足球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)。1848年，足球運(yùn)動(dòng)的第一個(gè)文字形式的規(guī)則《劍橋規(guī)則》誕生了。1863的10月26日，英國(guó)人在倫敦皇后大街弗里馬森旅館成立了世界第一個(gè)足球協(xié)會(huì)----英格蘭足球協(xié)會(huì)。英格蘭足球協(xié)會(huì)的誕生，標(biāo)志著足球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)嶄新的階段。

二、主要結(jié)果

據(jù)歷史考證，女子足球的歷史幾乎同男子一樣長(zhǎng)，這從漢代出土的文物及中國(guó)古代足球游戲可以得到證明。也有資料記載，英格蘭婦女參加類似的足球比接在十六世紀(jì)已經(jīng)開展，比賽時(shí)間也同現(xiàn)代足球相似。當(dāng)比賽蔓延到英倫三島時(shí)，普及面也不小，各個(gè)不同地區(qū)的婦女開始嘗試。但后來(lái)由于比賽缺乏規(guī)則指導(dǎo)而且對(duì)抗日益加劇，似乎早期足球?qū)D女吸引力降低了。

1988年我國(guó)廣東試辦非正式的國(guó)際足聯(lián)女子足球錦標(biāo)賽和1991年又成功舉辦首屆世界杯以來(lái)，國(guó)際女子足球運(yùn)動(dòng)取得了飛速的發(fā)展。盡管女足格局尚未走出歐洲、北美、亞洲為龍頭的三強(qiáng)鼎立格局但國(guó)際女足的力量對(duì)比和打法風(fēng)格已經(jīng)發(fā)生了新的變化，世界杯比賽制度的確立及女足成為亞特蘭大奧運(yùn)會(huì)正式比賽項(xiàng)目促進(jìn)了各國(guó)女足訓(xùn)練的正規(guī)劃，隨著女足商業(yè)化、職業(yè)化進(jìn)程，女子足球的普及程度會(huì)有所加強(qiáng)，技戰(zhàn)術(shù)水平將更加呈現(xiàn)出男性化特征。隨著現(xiàn)代足球運(yùn)動(dòng)的不斷普及和發(fā)展，其規(guī)則也在演變和改進(jìn)。

第一屆女足世界杯于 1991 年在中國(guó)廣州舉辦。由于當(dāng)時(shí)世界女足運(yùn)動(dòng)才剛剛起步，其普及程度以及競(jìng)技水平還相對(duì)不足，所以第一屆世界杯只有 12 支球隊(duì)參賽，以確保觀賞性。12 支球隊(duì)分成 3 組，每組 4 支球隊(duì)。每組前兩名以及成績(jī)最好的兩個(gè)小組的第三名進(jìn)入 8 強(qiáng)淘汰賽。下面我們來(lái)討論 [14]決賽的對(duì)陣方案。

首先，在A，B，C三個(gè)小組的第一名中選兩個(gè)出來(lái)與成績(jī)最好的兩個(gè)第三名對(duì)陣，一共有 C[3][2]=3種不同的選法（1A，1B 或1A，1C 或1B，1C）。由于成績(jī)最好的兩個(gè)小組第三名的不確定性，可能的方式有 C[3][2]=3種（3A，3B 或3A，3C 或3B，3C）。

最后，我們來(lái)確定剩下的兩組的對(duì)陣。依照同組回避原則，剛才選第一名時(shí)沒選到的小組的前兩名分別對(duì)陣其余兩組的第二名。一共有 2 種不同的對(duì)陣方式。所以，所有不同的 [14] 決賽對(duì)陣方式一共有 3×3×2=18 種（如圖1）。

如果在確定出線的兩個(gè)小組第三名的前提下，不同的對(duì)陣方式一共有 3×2=6 種（如圖2）。如果在確定出線的兩個(gè)小組第三名的前提下，并且對(duì)選擇對(duì)陣第三名的那兩個(gè)小組的第二名進(jìn)行排序，規(guī)定選剩的一個(gè)小組第一名對(duì)陣成績(jī)較差的第二名，本小組的第二名對(duì)陣成績(jī)（參看附表）較好的第二名。這樣的話，不同的對(duì)陣方式只有3種。

以 1991 年中國(guó)廣州第一屆女足世界杯為例，按照當(dāng)年國(guó)際足聯(lián)的規(guī)定，選擇B組第一名（美國(guó)）和C組的第一名（德國(guó)）來(lái)對(duì)陣兩個(gè)成績(jī)最好的第三名。最后，A組的丹麥和C組的中華臺(tái)北成功以第三名進(jìn)入淘汰賽。當(dāng)年的淘汰賽對(duì)陣圖如圖2。如果我們對(duì)B組的第二名（瑞典）和C組的第二名（意大利）進(jìn)行排序的話，由于瑞典的成績(jī)優(yōu)于意大利，根據(jù)上面的規(guī)定，則中國(guó)對(duì)陣意大利，挪威對(duì)陣瑞典。

隨著女足運(yùn)動(dòng)在全世界的不斷普及和推廣，使得一些國(guó)家和地區(qū)的女足水平得到迅速的提高，女足運(yùn)動(dòng)規(guī)模日益擴(kuò)大，女子足球影響力不斷擴(kuò)大。2015 年加拿大女子世界杯是國(guó)際足聯(lián)舉辦的第 7 屆女足世界杯賽事。本屆賽事首次擴(kuò)軍至 24 支球隊(duì)。24 支球隊(duì)分成 6 組，每組 4 支球隊(duì)，除了每小組前2名出線之外，還有4個(gè)名額分配到了各小組成績(jī)最好的第三名。一共 16 支球隊(duì)進(jìn)入淘汰賽。對(duì)于實(shí)力較弱的球隊(duì)來(lái)說(shuō)，如果以成績(jī)最好的小組第3名出線也還算是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。下面我們來(lái)討論有 24 支球隊(duì)參賽 [18]決賽對(duì)陣方案的制定。

根據(jù)國(guó)際足聯(lián)規(guī)定，小組第一名對(duì)陣小組第三名時(shí)，本組第一不對(duì)陣本組第三（同組回避原則），同一小區(qū)（16 強(qiáng)分為上半?yún)^(qū)和下半?yún)^(qū)，而每個(gè)半?yún)^(qū)[18] 決賽之前的每 4 支球隊(duì)稱為一個(gè)小區(qū)）的其他兩個(gè)小組第三名也要回避，與剩下的小組第三交鋒。任一小組第一不與其他小組第一對(duì)陣（[18]決賽時(shí)）（為了盡量避免強(qiáng)隊(duì)過(guò)早被淘汰，確保觀賞性）。

首先，在A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)小組的第一名中選 4 個(gè)出來(lái)與成績(jī)最好的 4 個(gè)第三名對(duì)陣。對(duì)于 4 個(gè)小組第一名，一共有 C[6][4]=15 種可能。由于成績(jī)最好的 4 個(gè)小組第三名的不確定性，=4 個(gè)小組第三名有 C[6][4]=15種可能。

對(duì)于 4 個(gè)第三名的選取，我們可以通過(guò)下面的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)。從3A，3B，3C，3D，3E，3F中任選 3 個(gè)不同的字母并從小到大排好順序，一共選 4 次，若能使得每個(gè)字母均出現(xiàn) 2 次，則這 4 組字母必包含所有的 15 種可能，且每種可能均（僅有）兩次包含在內(nèi)。我們不妨選定其中一種作為代表。例如，所選的 4 組字母分別為：

（1）3C/3D/3E，（2）3A/3B/3F，（3）3A/3C/3D，（4）3B/3E/3F。

不難看出，這 4 組字母包含了 4 個(gè)小組第三的所有 15 種可能，且每種可能均 2 次包含在內(nèi)。因?yàn)槊糠N可能均 2 次包含在內(nèi)，所以我們必須約定優(yōu)先選擇問題。下面我們采用逆序數(shù)來(lái)解決這個(gè)問題。我們先給這 4 組字母分別排一個(gè)序，分別用 1，2，3 來(lái)表示，假如3A，3C，3D，3F出線進(jìn)入淘汰賽，那么，3A，3C，3D，3F與 1133 和 1223 兩組數(shù)對(duì)應(yīng)。對(duì)于任意的兩個(gè)大于 0 的正整數(shù) [i] 和 [j] ，若 [i] > [j]，則這兩個(gè)數(shù)的逆序?yàn)?1;若 [i] < [j]，則逆序?yàn)?0;若? [i] = [j]，則規(guī)定逆序?yàn)?0.5。一組數(shù)的所有逆序之和稱為這組數(shù)的逆序數(shù)。我們規(guī)定逆序數(shù)較小的優(yōu)先（當(dāng)兩組數(shù)的逆序數(shù)相等時(shí)，規(guī)定各個(gè)數(shù)字之和較小的優(yōu)先）。例如，1213 的逆序數(shù)為 1.5，3331 的逆序數(shù)為 4.5。所以 1213 優(yōu)于3331。

接著，我們來(lái)確定 4 個(gè)第一名的選取。4 個(gè)小組第一名，一共也是 C[6][4]=15 種可能，所以，我們同樣可以采用上面的方式來(lái)確定 4 個(gè)小組第一。根據(jù)同組回避原則（本組第一不對(duì)陣本組第三），那么 4 個(gè)小組第一與小組第三的對(duì)陣為：

（1）1A/1B/1F----3C/3D/3E;（2）1C/1D/1E----3A/3B/3F;

（3）1B/1E/1F----3A/3C/3D;（4）1A/1C/1D----3B/3E/3F。

類似地，第一名的 4 組字母必包含所有的 15 種可能，且每種可能均 2 次包含在內(nèi)。我們同樣用逆序數(shù)來(lái)決定第一名的優(yōu)先選擇問題。如果我們選取的 4 個(gè)小組第一名分別為：1A，1B，1C，1D，那么它與 1122 和 1113 這兩組數(shù)對(duì)應(yīng)。顯然 1122 優(yōu)于 1113。

注意到：在以上規(guī)定之下，4 個(gè)小組第一與 4 個(gè)小組第三的對(duì)陣是唯一確定的。

最后，我們來(lái)確定 6 個(gè)小組第二名以及剩下的 2 個(gè)小組第一名的對(duì)陣。根據(jù)任一小組第一不與其他小組第一對(duì)陣，本組第一不對(duì)陣本組第三以及同一小區(qū)的其他兩個(gè)小組第三名也要回避的原則，這 4 組對(duì)陣所有的不同方案有 105-15-15-15+3=63 種。我們?cè)谶@ 63 種可能中任選其中一種對(duì)陣，和上面方式確定的 4 個(gè)小組第一與 4 個(gè)小組第三的對(duì)陣組成一個(gè) [18]決賽對(duì)陣方案，不難看出，這個(gè)方案是唯一確定的（有且僅有一種對(duì)陣方式）。所以，有 24 支球隊(duì)參賽的 [18] 決賽對(duì)陣的不同方案一共有 15×15×63=14175 種。

在開賽之前，如果我們選定 4 個(gè)小組第一（例如，1A，1B，1C，1D），且確定 6 個(gè)小組第二以及剩下的 2 個(gè)小組第一的一種對(duì)陣方式（63 種之一）的話，那么有 24 支球隊(duì)參賽的 [18]決賽對(duì)陣的不同方案只有 15 種。（如圖3）

三、結(jié)束語(yǔ)

從1863年到現(xiàn)在僅僅一百余年，但是足球運(yùn)動(dòng)所取得的成就的確是很驚人的。歐洲、拉美的競(jìng)技水平可以說(shuō)旗鼓相當(dāng)，名列前茅。亞洲、非洲足球健兒也不甘示弱，正在發(fā)奮圖強(qiáng)迎頭趕上?，F(xiàn)在足球場(chǎng)上正是創(chuàng)作鉆研和隨機(jī)應(yīng)變的新時(shí)代，層出不窮的新事物正在向前突飛猛進(jìn)，把足球運(yùn)動(dòng)推向百花爭(zhēng)艷的春天。隨著足球的不斷發(fā)展，足球規(guī)則也不斷改變，比賽的形式也變得多樣化。小組賽的晉級(jí)規(guī)則也不斷改進(jìn)，都是朝著公平、公正、公開的原則發(fā)展。制定合理的規(guī)則，使得足球比賽更加具有觀賞性，吸引更廣大的人民參與這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)。提高全民身體素質(zhì)，注重足球文化的培養(yǎng)，足球文化的教育貫穿于足球教育的始終，使得足球持續(xù)長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展。

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作者簡(jiǎn)介

崔春強(qiáng)（1982-），男，廣東茂名人，碩士，講師，研究方向： 環(huán)與代數(shù)。

基金項(xiàng)目：湛江科技學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目（CJKY201811， CJKY201810）};湛江科技學(xué)院品牌提升計(jì)劃項(xiàng)目（PPJH202115YLKC）