圓錐曲線內(nèi)接四邊形的又一個(gè)新性質(zhì)
2022-06-02 09:21:02湖北省大冶市第一中學(xué)435100徐國輝舒紅霞
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2022年6期
湖北省大冶市第一中學(xué) (435100) 徐國輝 舒紅霞
文[1]給出了圓錐曲線內(nèi)接四邊形如下的新性質(zhì).
性質(zhì)1 已知四邊形ABCD是拋物線y2=2px的內(nèi)接四邊形，則kAB+kCD=0?kBC+kDA=0?kAC+kBD=0.
性質(zhì)2 已知四邊形ABCD是圓錐曲線mx2+ny2=1(mn≠0)的內(nèi)接四邊形，則kAB+kCD=0?kBC+kDA=0?kAC+kBD=0.
文[2]給出了性質(zhì)1與性質(zhì)2的簡單證明及圓錐曲線內(nèi)接四邊形的一個(gè)類似性質(zhì).筆者經(jīng)過探究，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線內(nèi)接四邊形的又一個(gè)新性質(zhì).
證明：設(shè)四邊形ABCD是圓錐曲線mx2+ny2=1(mn≠0)的內(nèi)接四邊形，設(shè)直線AB,CD的方程分別為y=k1x+b1，y=k2x+b2，直線AC,BD的方程分別為y=k3x+b3和y=k4x+b4，則A,B,C,D同在由AB,CD生成的二次曲線(y-k1x-b1(y-k2x-b2=0和由AC,BD生成的二次曲線(y-k3x-b3·(y-k4x-b4=0上，又因A,B,C,D是圓錐曲線mx2+ny2=1(mn≠0)上的四點(diǎn)，因而存在μ，ν(μ≠0，ν≠0)，使得μ(y-k1x-b1)(y-k2x-b2)+ν(y-k3x-b3)(y-k4x-b4)=mx2+ny2-1.
在性質(zhì)3中，當(dāng)四邊形退化為三角形時(shí)有如下性質(zhì).
限于篇幅只證明性質(zhì)5(2).
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