湖南省桃江縣第一中學(xué) (413400) 胡芳舉 湖南省岳陽縣第一中學(xué) (414100) 胡燕玲

題目已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足ad，證明：(a-b)(a2+b2)<(c-d)(c2+d2).

該不等式選自湖南師大沈文選教授主編的《奧賽經(jīng)典.高一數(shù)學(xué)》(2004年出版).本文將給出該題的一個(gè)簡證、三個(gè)變式及三個(gè)推廣.

一、簡證

設(shè)fs(x)=(x-s)(x2+s2),x∈R，則fs′(x)=3x2-2sx+s2=2x2+(x-s)2≥0，∴f(x)單調(diào)遞增(與實(shí)數(shù)s的取值無關(guān))，∵a

二、變式

變式1 已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a

注：在原不等式中將b,d分別換成-b,-d可得上式，感覺這個(gè)不等式更和諧.

變式2 已知a-c>|b-d|，求證：a(a2+3b2)>c(c2+3d2).

證明：由題設(shè)知c-ac-d,a+b>c+d，∴(a-b)3>(c-d)3,(a+b)3>(c+d)3，由這兩個(gè)不等式相加、化簡即得要證不等式.

變式3 已知a-c>|b-d|，求證：a(a2+b2)>c(c2+d2).

證明：要證a(a2+b2)>c(c2+d2)，等價(jià)于證a3-c3>cd2-ab2，由變式2知a3-c3>3(cd2-ab2).若cd2-ab2≥0，則3(cd2-ab2)≥cd2-ab2，于是a3-c3>cd2-ab2；若cd2-ab2<0，因?yàn)閍3-c3>0，故同樣有a3-c3>cd2-ab2，所以變式3成立.

三、推廣

1.從項(xiàng)數(shù)上推廣可得

推廣1 設(shè)ai

證明：設(shè)f(a1,a2,a3) = (a1+a2+a3)(a12+a22+a32),a1,a2,a3∈R，則fa1′ = 3a12+ 2(a2+a3)a1+ (a22+a32) =a12+ (a1+a2)2+ (a1+a3)2≥0，∴f(a1,a2,a3)關(guān)于a1單調(diào)遞增，由于a1,a2,a3對(duì)稱，∴f(a1,a2,a3)分別關(guān)于變量a1,a2,a3單調(diào)遞增(就單調(diào)性而言各變量相互獨(dú)立).∴由ai

2.從指數(shù)推廣可得

推廣2 設(shè)an>0，則(am+bm)(an+bn)<(cm+dm)(cn+dn).

(1)當(dāng)t≥0時(shí)，顯然g(t)>0，∴fa′>0；

(2)當(dāng)t<0時(shí)，g′(t)=mntn-1(1+tm-n)，∴當(dāng)t∈(-1,0)時(shí),g′(t)>0,當(dāng)t∈(-∞,-1)時(shí),g′(t)<0，∴g(t)≥g(-1)=2n>0，∴fa′>0.

綜上，總有fa′≥0，∴f(a,b)關(guān)于a單調(diào)遞增.又由于a,b對(duì)稱，故f(a,b)分別關(guān)于變量a,b單調(diào)遞增，∴由a

3.一般形式