田 源，續(xù)瑞瑞，張 玥，陶 曦，王記民，金永利，張 智，孫小東，葛智剛

(中國原子能科學(xué)研究院 核數(shù)據(jù)重點實驗室，中國核數(shù)據(jù)中心，北京 102413)

核數(shù)據(jù)是核能、核工程、核技術(shù)應(yīng)用和核科學(xué)研究的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，雖然實驗測量是獲得核數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)，然而，受各種因素的限制(如實驗成本高，更重要的是在實驗上所要求的入射粒子種類和能量、靶核制備以及某些測量條件等方面并不總能實現(xiàn))，因此，在核裝置的設(shè)計與測試過程中，實驗常被用來精確定量少量關(guān)鍵核素的重要反應(yīng)與結(jié)構(gòu)核數(shù)據(jù)，而絕大部分核工程所需數(shù)據(jù)須通過理論計算完成。要使用核反應(yīng)模型計算核數(shù)據(jù)，一方面需盡可能準確描述相應(yīng)核反應(yīng)的反應(yīng)機制，另一方面則是快速有效確定核反應(yīng)模型中的參數(shù)。本項目圍繞裂變核反應(yīng)模型，利用先進的最優(yōu)化方法確定模型中的參數(shù)，并應(yīng)用于錒系核中子誘發(fā)裂變反應(yīng)核數(shù)據(jù)的研究。

目前國際上最著名的核反應(yīng)模型程序系統(tǒng)有TALYS[1]和EMPIRE[2]等。我國采用的FUNF[3]是由中國核數(shù)據(jù)中心張競上研究員開發(fā)研制，具有我國自主知識產(chǎn)權(quán)的裂變核反應(yīng)程序系統(tǒng)，可用于計算和分析能量在20 MeV以下中子誘發(fā)易裂變核反應(yīng)相關(guān)的數(shù)據(jù)。多年來，一直在我國核數(shù)據(jù)理論研究過程中發(fā)揮著重要的作用。FUNF的理論框架包括光學(xué)模型、Hauser-Feshbach模型以及激子模型等。裂變核反應(yīng)模型總的可調(diào)參數(shù)多達50個。因此，需通過一些先進的最優(yōu)化方法，根據(jù)已知的核反應(yīng)實驗結(jié)果，確定裂變核反應(yīng)模型的參數(shù)，并最終用于計算裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)。

最優(yōu)化方法是一種數(shù)學(xué)方法，它是研究在給定約束條件下如何尋求某些因素(或量)，以使某一(或某些)指標達到最優(yōu)的一些方法的總稱。本工作要在裂變核反應(yīng)模型的約束條件下，通過不同的調(diào)參方法調(diào)整模型中的參數(shù)，使得模型計算的裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)，如反應(yīng)道的截面、出射中子的角分布和能譜、各種出射粒子的雙微分截面等，與已知的實驗結(jié)果的符合程度達到最優(yōu)。目前較常用的的調(diào)參方法有梯度下降法[4]、牛頓法[5]、共軛梯度法[6]以及啟發(fā)式優(yōu)化算法等。這些方法各有優(yōu)缺點，分別適用不同的調(diào)參環(huán)境，適當?shù)恼{(diào)參方法能大幅提高參數(shù)調(diào)優(yōu)的計算成本。20世紀70年代，歐洲核子研究中心(CERN)的科學(xué)家Fred James綜合了多種最優(yōu)化方法建立了尋找方程最小值的物理分析工具MINUIT[7]。迄今為止，MINUIT方法已經(jīng)被廣泛用于分析實驗數(shù)據(jù)和建立理論模型。美國的EMPIRE程序?qū)INUIT方法用于參數(shù)調(diào)節(jié)。

對于簡單的核反應(yīng)模型，參數(shù)一般較少，計算也相對簡單，一般的調(diào)參方法如格點法、隨機法通過不斷的嘗試即可找到最優(yōu)的參數(shù)組。FUNF裂變核反應(yīng)模型不僅約有50個參數(shù)，計算也相對復(fù)雜，單次計算時間隨著入射粒子能量的不同，可能是幾秒也可能多達數(shù)分鐘。因此本工作將FUNF裂變核反應(yīng)模型與MINUIT方法相結(jié)合，并引入并行計算等方法，研究如何將最優(yōu)化方法用于調(diào)節(jié)FUNF裂變核反應(yīng)模型中的參數(shù)，并改進裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)。

1 裂變核反應(yīng)理論模型

當中子入射能量在20 MeV范圍內(nèi)時，核子與核發(fā)生反應(yīng)的全過程可被劃分為3個階段：獨立粒子階段、復(fù)合系統(tǒng)階段以及發(fā)射粒子后形成剩余核階段。獨立粒子階段中，入射粒子在靶核的勢場作用范圍內(nèi)發(fā)生散射與吸收，可采用光學(xué)模型進行描述；進入復(fù)合核階段中，入射粒子與靶核相互作用，隨著入射粒子能量的變化，入射粒子與靶核中核子發(fā)生能量交換的可能性非常豐富多樣，該階段可發(fā)生直接反應(yīng)、復(fù)合核粒子發(fā)射反應(yīng)以及預(yù)平衡粒子發(fā)射反應(yīng)，因此，發(fā)展了包括直接反應(yīng)、蒸發(fā)模型、Hauser-Feshbach模型、激子模型等一系列核反應(yīng)理論來描述該階段，此外，中子與錒系核相互作用的過程中，需特別考慮核裂變的貢獻對核反應(yīng)數(shù)據(jù)的影響；最后一個階段，在上一個反應(yīng)階段的基礎(chǔ)上，復(fù)合核系統(tǒng)發(fā)射粒子后變成剩余核。張競上研究員研制的中子與錒系核反應(yīng)計算程序FUNF，包含了快中子能區(qū)內(nèi)錒系核的主要核反應(yīng)過程，考慮3次粒子發(fā)射過程，多年來已成功為核工程用戶解決多項錒系核反應(yīng)數(shù)據(jù)問題，本工作中錒系核反應(yīng)中子數(shù)據(jù)模型計算工作由該程序完成。

1.1 光學(xué)模型

光學(xué)模型是核反應(yīng)過程的基礎(chǔ)與起點，控制著之后的多項核反應(yīng)物理過程，該模型的引入成功描述了入射粒子在靶核勢場中進行的散射與吸收的過程。光學(xué)模型所建立的復(fù)數(shù)形式勢場，結(jié)合求解薛定諤方程可用來描述散射過程中的多個物理量，包括全截面、反應(yīng)(去彈)截面、彈性散射截面及角分布和穿透系數(shù)，并為復(fù)合核計算提供重要的穿透系數(shù)。

在FUNF程序中，中子與錒系核全套核反應(yīng)數(shù)據(jù)計算中，光學(xué)模型勢采用對實驗數(shù)據(jù)描述準確度較高的唯象光學(xué)勢[8]，對應(yīng)的一般形式如下：

U(r)=Vr(r,E)+iWs(r,E)+iWv(r,E)+

[Vso(r)+iWso(r)](s·l)+Vc(r)

(1)

其中：Vr(r,E)為實部中心勢；Ws(r,E)為虛部勢的面吸收項；Wv(r,E)為虛部勢的體吸收項；Vso(r)為自旋軌道耦合勢的實部；Wso(r)為自旋軌道耦合勢的虛部；s、l分別為入射粒子自旋角動量與軌道角動量；Vc(r)為庫侖勢；E為入射中子在實驗室系下的能量，MeV。

式(1)中，實部中心勢可表示為：

(2)

式(2)中V(E)可表示為能量依賴關(guān)系：

V(E)=V0+V1E+V2E2+

(3)

其中：A為靶核質(zhì)量數(shù)；N為靶核中子數(shù)；Z為靶核電荷數(shù)。

對應(yīng)虛部勢的面吸收形式為：

(4)

(5)

對應(yīng)虛部勢的體吸收形式為：

(6)

Wv(E)=max{0,U0+U1E}

(7)

對應(yīng)自旋軌道耦合勢實部Vso(r)和虛部Wso(r)分別表示為：

(8)

(9)

其中：ar、as、av和aso為光學(xué)模型勢的對應(yīng)項中的彌散寬度參數(shù)；Rr、Rs、Rv和Rso為光學(xué)模型勢的對應(yīng)項中的半徑參數(shù)，單位為fm，對應(yīng)計算公式為：

(10)

其中，i=r,s,v,so，對應(yīng)半徑參數(shù)。

此外，庫侖勢對應(yīng)形式為：

(11)

式中：z、Z為入射粒子和靶核的電荷數(shù)；Rc為庫侖半徑。因此，可調(diào)的光學(xué)勢參數(shù)為12個深度參數(shù)、5個半徑參數(shù)、4個彌散寬度參數(shù)，其中有12個參數(shù)對截面較為敏感。

1.2 復(fù)合核模型

當入射粒子被靶核吸收后，核反應(yīng)進入第2個階段，即復(fù)合核階段。在該過程中，入射粒子與靶核發(fā)生多次相互作用，不斷將能量傳遞給靶核，最終達到統(tǒng)計平衡的狀態(tài)，與靶核融合形成新的原子核，被稱為復(fù)合核過程，其作用時間最長，約10-15s。進入平衡態(tài)的復(fù)合核通過發(fā)射粒子而衰變，剩余核處于分立能級的激發(fā)態(tài)，實驗表明，截面與原子核的初態(tài)和末態(tài)的激發(fā)能、自旋、宇稱等性質(zhì)直接關(guān)聯(lián)，考慮了角動量守恒與宇稱守恒的Hauser-Feshbach理論被發(fā)展用來描述該部分貢獻，結(jié)合寬度漲落修正可更好描述真實的實驗測量。

當入射粒子能量增大，二次核反應(yīng)過程開放，預(yù)平衡核反應(yīng)過程變得不可忽略。該過程中粒子與靶核作用時間介于直接過程與平衡過程之間(約10-22～10-16s)，粒子與靶核中少量核子發(fā)生能量交換，在體系還未達到統(tǒng)計平衡狀態(tài)時就發(fā)射粒子退激。因此，Griffin等在Feshbach的中間結(jié)構(gòu)理論基礎(chǔ)上提出了激子模型用以描述不同激子態(tài)條件下的粒子發(fā)射過程。

在上述兩種理論體系基礎(chǔ)上，張競上等發(fā)展的統(tǒng)一的Hauser-Feshbach與激子模型在保證了角動量守恒與宇稱守恒的前提下，可考慮預(yù)平衡粒子道分立能級態(tài)的貢獻，對于準確計算中子能譜等物理量有重要價值，并成功應(yīng)用在裂變核反應(yīng)程序FUNF中。

一般，復(fù)合核過程中考慮的核反應(yīng)包括中子輻射俘獲(n,γ)和中子非彈(n,inl)、(n,p)、(n,d)、(n,t)、(n,α)、(n,2n)、(n,3n)等，這些核反應(yīng)互相競爭。在實際工作中，為考慮各類出射粒子反應(yīng)道的發(fā)射概率，除輸入各復(fù)合核低激發(fā)態(tài)分立能級、自旋、宇稱等信息外，復(fù)合核相關(guān)模型中還引入能級密度、對修正等參數(shù)考慮高激發(fā)態(tài)的核結(jié)構(gòu)與核內(nèi)核子運動形態(tài)，從而確定各反應(yīng)道的分配比例。另一方面，與中重核反應(yīng)不同，中子與錒系核相互作用的核反應(yīng)還需考慮核裂變截面(n,f)的貢獻，該反應(yīng)同樣與其他核反應(yīng)道競爭。FUNF程序中，通過唯象引入3個彼此獨立的裂變位壘來表征整個核反應(yīng)中的裂變系統(tǒng)，基于Bohr-Wheeler公式，通過調(diào)整各裂變位壘的高度、曲率形狀、壘上能級密度、對修正等參數(shù)，確定裂變位壘形狀，計算得到裂變概率，在與其他反應(yīng)道競爭的條件下，共同確定(n,f)、(n,nf)、(n,2nf)3個裂變道截面的大小。

因此，復(fù)合核模型中涉及到的可調(diào)參數(shù)包括11個反應(yīng)道的能級密度、對修正參數(shù)，其中7個反應(yīng)道的參數(shù)靈敏度較高，共計14個；8個反應(yīng)道的巨共振參數(shù)，其中2個反應(yīng)道的參數(shù)較敏感，共計12個；3個裂變道對應(yīng)的位壘高度、曲率形狀、壘上能級密度、對修正等參數(shù)，共計12個。合計至少需要調(diào)整38個參數(shù)用于計算各反應(yīng)道的截面數(shù)據(jù)。

1.3 直接核反應(yīng)

形成復(fù)合核并非是所有核反應(yīng)的必經(jīng)階段。當入射粒子能量較高時，入射粒子與靶核通過很短的相互作用時間(約10-19～10-21s)發(fā)生反應(yīng)，具體過程包括：1) 入射粒子將能量傳遞給靶核表面或者內(nèi)部的1個或多個核子，并逃出該復(fù)合系統(tǒng)；2) 入射粒子將能量傳遞給靶核后飛出該系統(tǒng)，靶核得到部分能量而產(chǎn)生集體激發(fā)，并發(fā)生集體轉(zhuǎn)動或振動；3) 入射粒子與靶核發(fā)生多次碰撞，最終逃出該復(fù)合系統(tǒng)。

在直接反應(yīng)模型中，通常采用扭曲波玻恩近似(DWBA)與耦合道方法對直接反應(yīng)的貢獻進行計算，其中DWBA用來描述球形核或近球形核，耦合道方法用來描述變形核。在中子與錒系核反應(yīng)計算中，直接核反應(yīng)的貢獻在中子非彈截面中貢獻較大，由于錒系核受到激發(fā)后，普遍存在集體轉(zhuǎn)動能級，因此，一般采用耦合道方法來計算該部分工作，本工作將采用ECIS程序完成直接非彈耦合計算的任務(wù)[9]。

2 最優(yōu)化方法

2.1 MINUIT方法

MINUIT是由CERN的物理學(xué)家Fred James在20世紀70年代建立的用于尋找方程最小值的物理分析工具。MINUIT中已包含了多種先進的最優(yōu)化方法，如蒙特卡羅隨機法、單純形算法以及變尺度法等。經(jīng)過多年的發(fā)展，這套工具已有Fortran、C++、JAVA以及Python等多個版本，在多個領(lǐng)域被廣泛用于調(diào)參并取得了巨大的成功。

MINUIT方法中不同的最優(yōu)化方法可分別針對不同調(diào)參環(huán)境做出選擇。

1) 蒙特卡羅方法[10]，這種方法通過蒙特卡羅隨機抽樣的方法尋找參數(shù)。主要用于調(diào)參初期參數(shù)初始值不確定的情況下，通過隨機掃點找到可能存在的多個極小點。

2) 可變單純形算法[11]，這種方法又名Nelder-Mead方法，是常見的直接搜索型非線性優(yōu)化方法，由Nelder和Mead在1965年提出。此方法利用單純形進行搜索(單純形是N維空間的廣義三角形)?？勺儐渭冃嗡惴ㄔ诿總€頂點對用戶提供厄函數(shù)進行求值，然后發(fā)現(xiàn)更好的點來迭代收縮單純形。當?shù)竭_預(yù)期的邊界或其他終止條件時，方法終止。由于未利用任何求導(dǎo)運算，算法較簡單，但收斂速度較慢，適合變元數(shù)不是很多的方程求極值。

3) MIGRAD方法[12]，MIGRAD方法是基于Fletcher提出的變尺度法，它克服了梯度法收斂速度慢和牛頓法計算量、存儲量大的特點，被公認為是求解無約束優(yōu)化問題最有效的算法之一。

2.2 MINUIT用于FUNF參數(shù)優(yōu)化

圖1為MINUIT方法用于調(diào)整FUNF裂變核反應(yīng)程序參數(shù)的流程圖。第1步，將經(jīng)驗參數(shù)作為初始參數(shù)代入到FUNF裂變核反應(yīng)模型中得到1組裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)，通過比較得到與已知的實驗結(jié)果偏差。第2步，通過下山單純形或MIGRAD變尺度法找到1組參數(shù)，再代入到模型中，計算出1個新的實驗數(shù)據(jù)的偏差。若偏差有所減小，則接受這套新的參數(shù)；若偏差增大，則利用下山單純形或MIGRAD變尺度法重新找到1組參數(shù)。重復(fù)第1、2步，直到滿足FUNF裂變核反應(yīng)模型計算的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的偏差小于預(yù)設(shè)的條件，這時得到參數(shù)組則是需1個極小解。利用蒙特卡羅法隨機生成1組新的參數(shù)組，重復(fù)第1、2步，得到1組新的極小解。反復(fù)找到幾組極小值后，比較極小值最終確定FUNF裂變核反應(yīng)的最優(yōu)解。

圖1 MINUIT用于調(diào)整FUNF裂變核反應(yīng)程序參數(shù)的流程圖Fig.1 MINUIT flowchart for adjusting parameters of FUNF fission nuclear reaction program

2.3 參數(shù)優(yōu)化準則

首先，在調(diào)參過程中，判斷參數(shù)是否合格的1個重要結(jié)果就是最小均方根：

(12)

其中：σExp為需要符合的實驗結(jié)果；σth為理論計算的結(jié)果；σerr為誤差權(quán)重。對于裂變核反應(yīng)，首先可通過調(diào)研已有實驗數(shù)據(jù)和評價數(shù)據(jù)，確定各反應(yīng)道的截面數(shù)據(jù)σExp。不同的實驗測試之間可能存在分歧，且不同實驗給出的誤差范圍也不盡相同。σerr的選取決定了理論計算趨向于哪個實驗結(jié)果，因此這個量的選取尤為重要。需要結(jié)合實驗數(shù)據(jù)的復(fù)雜程度、實驗的誤差范圍以及其他評價數(shù)據(jù)庫的評價結(jié)果和評價誤差最終確定調(diào)參過程中采用的誤差權(quán)重。

其次，在FUNF裂變核反應(yīng)程序中，光學(xué)模型是所有計算的基礎(chǔ)，直接反應(yīng)、復(fù)合核反應(yīng)和預(yù)平衡反應(yīng)均依賴光學(xué)模型的計算結(jié)果。因此在調(diào)參順序上，首先根據(jù)總截面、彈性截面、彈性角分布等數(shù)據(jù)確定光學(xué)模型的參數(shù)；接著固定光學(xué)模型參數(shù)，再根據(jù)各反應(yīng)道的數(shù)據(jù)信息同時自動調(diào)整能級密度、對修正、巨共振以及裂變位壘等參數(shù)；最后在所有截面與實驗數(shù)據(jù)基本一致的情況下，再對個別參數(shù)通過提高權(quán)重，改變參數(shù)范圍、步長的方法進一步精調(diào)。最終得到最優(yōu)化參數(shù)組和理論計算的數(shù)據(jù)結(jié)果。

判斷參數(shù)優(yōu)化要遵循以下3個判據(jù)。1) 參數(shù)是否具有物理意義，F(xiàn)UNF裂變核反應(yīng)程序中的所有參數(shù)有各自物理意義，因此每個參數(shù)均只能在合理的范圍內(nèi)變化，超出這個范圍會導(dǎo)致非物理的結(jié)果出現(xiàn)。2) 是否得到χ2值最優(yōu)。由于涉及參數(shù)較多，系統(tǒng)χ2可能存在多個極小值，需多次嘗試調(diào)參得到最優(yōu)解。3) 與實驗結(jié)果相比，理論計算結(jié)果是否具有好的視覺符合。由于實驗結(jié)果較多，且結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜，需通過觀察判斷理論計算的各反應(yīng)道的截面是否能較好符合實驗結(jié)果。

2.4 并行化調(diào)參

FUNF模型由多個核反應(yīng)模型組成，結(jié)構(gòu)相對較復(fù)雜，計算時間較長，一般在5～10 s之間。涉及到的參數(shù)可能多達50個。因此即使在MINUIT方法的輔助下，單核的調(diào)參時間也可能高達數(shù)天。若同時對多個核素進行擬合，調(diào)參時間將成倍增長，因此需將FUNF+MINUIT的調(diào)參程序進行并行化加速，從而縮短時間，提高效率。消息傳遞接口(message passing interface, MPI)是科學(xué)計算中常用的編程模型。在這種并行編程中，每個控制流均有自己獨立的地址空間，不同的控制流之間不能直接訪問彼此的地址空間，須通過顯式的消息傳遞來實現(xiàn)。這種編程方式是大規(guī)模并行處理機(MPP)和機群(Cluster)采用的主要編程方式。由于消息傳遞程序設(shè)計要求用戶很好地分解問題，組織不同控制流間的數(shù)據(jù)交換，并行計算粒度大，特別適合于大規(guī)?？蓴U展并行算法。計算過程中發(fā)現(xiàn)，通過將MPI與MINUIT相結(jié)合，隨著CPU線程數(shù)量的增加，F(xiàn)UNF裂變核反應(yīng)程序的調(diào)參時間成倍減小，計算效率成倍增加。

2.5 最優(yōu)化方法的選擇

圖2為用可變單純形算法(SIMPLX)和變尺度法(MIGRAD)對光學(xué)模型參數(shù)(OPM)和復(fù)合核模型參數(shù)(CM)優(yōu)化的迭代次數(shù)。多核并行的迭代次數(shù)為每個線程的迭代次數(shù)的平均值。迭代次數(shù)越少，說明最優(yōu)化方法能更快的找到參數(shù)的最優(yōu)解。復(fù)合核模型的參數(shù)有38個，大于光學(xué)模型的12個參數(shù)，因此需花費更多的迭代次數(shù)得到最優(yōu)化參數(shù)組。無論是針對光學(xué)模型調(diào)參，還是調(diào)整復(fù)合核模型的參數(shù)，變尺度法均好于可變單純形算法。另外，通過MPI方法實現(xiàn)了并行化調(diào)參。在包含28個線程的小型服務(wù)器幫助下，調(diào)參效率提高了約20倍左右，且計算效率還會隨著線程的增加繼續(xù)提高。因此在計算過程中，主要采用并行的變尺度法(MPI-MIGRAD)進行調(diào)參，只有在變尺度法難以收斂時才考慮采用其他的最優(yōu)化方法輔助調(diào)參。

圖2 不同最優(yōu)化方法在單核和多核并行的迭代次數(shù)Fig.2 Number of iterations of different optimization methods in single-core and multi-core parallelisms

3 結(jié)果與討論

利用最優(yōu)化方法調(diào)整FUNF裂變核反應(yīng)程序的相關(guān)參數(shù)，并得到與中子誘發(fā)238U核反應(yīng)的主要反應(yīng)截面相符的理論計算結(jié)果。

首先，通過參考EXFOR實驗核反應(yīng)數(shù)據(jù)庫和ENDF核反應(yīng)評價庫中快中子區(qū)的截面結(jié)果收集中子誘發(fā)238U的核反應(yīng)數(shù)據(jù)。FUNF裂變核反應(yīng)程序能計算的反應(yīng)道包括(n,tot)、(n,γ)、(n,inl)、(n,2n)、(n,3n)、(n,f)、(n,p)、(n,d)、(n,t)和(n,α)等。目前實驗測量主要集中在(n,tot)、(n,inl)、(n,2n)、(n,3n)、(n,γ)和(n,f)這幾個反應(yīng)道中。而帶電粒子出射道中的(n,d)和(n,t)反應(yīng)道無實驗數(shù)據(jù)，(n,p)和(n,alpha)反應(yīng)道的實驗數(shù)據(jù)較少，無法用于指導(dǎo)參數(shù)調(diào)優(yōu)工作。(n,3n)反應(yīng)道的實驗數(shù)據(jù)也相對較少。因此，本工作的參數(shù)調(diào)優(yōu)主要依托于(n,tot)、(n,γ)、(n,inl)、(n,2n)和(n,f)的實驗數(shù)據(jù)引導(dǎo)，并參考ENDF評價庫的部分結(jié)果。

然后，將MINUIT方法與FUNF裂變核反應(yīng)程序相結(jié)合。先根據(jù)總截面、彈性角分布以及非彈截面確定光學(xué)模型參數(shù)；然后通過擬合各反應(yīng)道的截面結(jié)果，得到能級密度、對修正、巨共振以及裂變位壘參數(shù)值；最后針對個別參數(shù)進行精調(diào)，得到1組可再現(xiàn)中子誘發(fā)238U核反應(yīng)截面數(shù)據(jù)的FUNF參數(shù)組。

表1為通過擬合總截面、彈性散射角分布以及非彈截面并使得χ2最小，最終得到的光學(xué)模型參數(shù)。其中ai為彌散半徑，ri為半徑，U、V、W分別為BG光學(xué)勢的強度參數(shù)，i=r、s、v、so、c分別表示實部、表面虛部、體虛部、自旋軌道耦合項以及庫侖項。觀察發(fā)現(xiàn)，各參數(shù)均在合理的物理區(qū)間范圍內(nèi)。圖3為238U(n,tot)反應(yīng)截面，理論計算結(jié)果與實驗測量數(shù)值和評價數(shù)據(jù)基本符合。說明得到的光學(xué)模型參數(shù)是適用的。

表1 FUNF采用的光學(xué)模型參數(shù)Table 1 Parameters of optical potential model of FUNF

圖3 238U(n,tot)截面實驗數(shù)據(jù)及評價數(shù)據(jù)Fig.3 Experimental data and evaluation data of 238U(n,tot) cross sections

表2為FUNF計算程序中的參數(shù)，其中LD為能級密度參數(shù)，PC為對修正參數(shù)，F(xiàn)B為裂變位壘參數(shù)，后面的數(shù)字0～10分別表示(n,γ)、(n,inl)、(n,p)、(n,α)、(n,d)、(n,t)、(n,2n)、(n,3n)、(n,f)、(n,nf)和(n,2nf)這些反應(yīng)道；CP表示裂變位壘曲率半徑，CFLD表示裂變能級密度系數(shù)，后面的數(shù)字0～2表示裂變道中的(n,f)、(n,nf)和(n,2nf)這3個反應(yīng)道。圖4～8分別展示了(n,inl)、(n,2n)、(n,3n)、(n,f)和(n,γ)反應(yīng)道的理論計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)及評價數(shù)據(jù)的比較。圖中各種不同顏色符號表示實驗測量數(shù)據(jù)，不同顏色線段代表不同的評價庫的評價數(shù)據(jù)，粗紅線為FUNF裂變核反應(yīng)程序計算的結(jié)果。調(diào)參最終得到所有反應(yīng)道的χ2之和最小。觀察發(fā)現(xiàn)，各參數(shù)均在合理的物理區(qū)間內(nèi)，且理論計算的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)和評價數(shù)據(jù)保持一致。因此，通過MINUIT最優(yōu)化方法得到的FUNF裂變核反應(yīng)程序用于計算20 MeV以內(nèi)中子誘發(fā)238U核反應(yīng)數(shù)據(jù)的參數(shù)合理有效。

表2 FUNF采用能級密度、對修正以及裂變位壘參數(shù)Table 2 Level density, pairing and fission barrier parameters of FUNF

圖4 238U(n,inl)截面實驗數(shù)據(jù)及評價數(shù)據(jù)Fig.4 Experimental data and evaluation data of 238U(n,inl) cross sections

圖5 238U(n,2n)截面實驗數(shù)據(jù)及評價數(shù)據(jù)Fig.5 Experimental data and evaluation data of 238U(n,2n) cross sections

圖6 238U(n,3n)截面實驗數(shù)據(jù)及評價數(shù)據(jù)Fig.6 Experimental data and evaluation data of 238U(n,3n) cross sections

4 總結(jié)

對于簡單的核反應(yīng)模型，參數(shù)一般較少，計算也相對簡單，一般的調(diào)參方法如格點法、隨機法通過不斷的嘗試即可找到最優(yōu)的參數(shù)組。裂變核反應(yīng)的反應(yīng)機制十分復(fù)雜，需由幾個不同核反應(yīng)模型共同描述，因此需同時對大量參數(shù)進行優(yōu)化才能正確描述裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)。

圖7 238U(n,f)截面實驗數(shù)據(jù)及評價數(shù)據(jù)Fig.7 Experimental data and evaluation data of 238U(n,f) cross sections

圖8 238U(n,γ)截面實驗數(shù)據(jù)及評價數(shù)據(jù)Fig.8 Experimental data and evaluation data of 238U(n, γ) cross sections

在FUNF裂變核反應(yīng)模型基礎(chǔ)上，首先將最優(yōu)化方法MINUIT與FUNF相結(jié)合，實現(xiàn)多參數(shù)的自動調(diào)參。FUNF裂變核反應(yīng)程序由球形光學(xué)模型、統(tǒng)一的Hauser-Feshbach和激子模型理論等核反應(yīng)模型共同構(gòu)成。FUNF涉及到的參數(shù)包括粒子的光學(xué)勢參數(shù)、巨共振參數(shù)、能級密度參數(shù)、對修正參數(shù)以及裂變位壘和位壘曲率等參數(shù)，多達50個。FUNF程序的計算時間也相對較長，所需調(diào)參時間可能長達數(shù)天。為提高調(diào)參效率，采用MPI的并行計算方法，在多核心并行計算的幫助下，將計算效率提高了20倍左右，且計算效率還可隨線程數(shù)的增加繼續(xù)提高。

在這些工作的基礎(chǔ)上，針對238U的裂變核反應(yīng)進行了初步的計算。結(jié)果顯示，通過MINUIT最優(yōu)化方法得到的FUNF參數(shù)能很好描述238U的裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)。后期將繼續(xù)優(yōu)化程序，進一步提高調(diào)參的效率和參數(shù)的精確度。并對相關(guān)的裂變核反應(yīng)展開應(yīng)用，提高我國裂變核反應(yīng)數(shù)據(jù)的精度。