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        “比來比去”探索二次根式

        2022-06-02 12:37:28楊博然
        初中生世界·八年級 2022年8期
        關(guān)鍵詞:同類項根式同類

        楊博然

        老師常說:“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是螺旋上升的過程?!痹趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,我發(fā)現(xiàn)很多知識都有一種似曾相識的感覺,但與之前的知識又不完全相同,里面加入了很多新知識。在學(xué)習(xí)二次根式時,這種熟悉的感覺又出現(xiàn)了。于是,我就想一探究竟,通過抽絲剝繭、對比,還真的有所發(fā)現(xiàn)。

        一、比名字

        [a](a≥0)的名字。

        名字①:非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根;

        名字②:二次根式。

        [a]可以理解成擁有雙重身份。一種身份是二次根式,之前已經(jīng)學(xué)習(xí)的整式和分式都屬于代數(shù)式,二次根式的出現(xiàn),擴充了代數(shù)式的類型;另一種身份是a的算術(shù)平方根。有了這個知識點做鋪墊,我在學(xué)習(xí)二次根式時理解得就更加透徹了。這兩種身份可以說是二次根式的“前世今生”。

        二、比特長

        [a](a≥0)的特長。

        特長①:雙重非負(fù)性,a≥0,且[a]≥0。

        特長②:[a2=a](a≥0)。

        特長③:[a2=a=aa>0;0a=0;-aa<0。]

        對于特長①的理解,我們可以借助[a]的名字①了解到a≥0,且[a]≥0,這也就不難理解二次根式[a]的雙重非負(fù)性了。

        對于特長②和③,通過比較,我發(fā)現(xiàn)兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別。聯(lián)系是,里面都包含了兩種運算:平方和開平方,這是一組互逆運算;區(qū)別是,兩種運算的順序不一致:特長②先開平方再平方,特長③先平方再開平方。要對a進行這兩種互逆運算,我們可以認(rèn)為這兩種運算相互抵消了,最終剩下了a。但為什么結(jié)果不一樣呢? 我們就來看看具體的例子吧。

        特長②:

        [22]=2;

        [02]=0;

        [-22]無意義。

        由此看出,被開方數(shù)a要滿足a≥0,計算結(jié)果就是被開方數(shù)a。

        特長③:

        [22=2=2];

        [02=0=0];

        [-22=-2=2]。

        由此看出,被開方數(shù)a可以取任意實數(shù),其計算結(jié)果就是[a]。

        通過對比,我發(fā)現(xiàn)兩種計算結(jié)果不一樣的原因就在于a的取值范圍,但我們也可以找到共同點,根據(jù)[a2]≥0和[a]≥0的特征,兩個計算結(jié)果都是非負(fù)的。兩個特征如果實在分辨不清,可以把特長②記為[a2]=[a=a](a≥0),這樣就和特長③統(tǒng)一了,我們在解題的時候會更為方便。例如:[52=5=5];[-52=-5=5]。

        三、比運算

        在進行二次根式計算時,那種似曾相識的感覺又來了?!巴惗胃健钡母拍钭屛蚁肫鹆恕巴愴棥?,“合并同類二次根式”的運算讓我想起了“合并同類項”,一切都是那么熟悉。

        合并同類項:

        [x2y-3xy2+2x2y-xy2]

        =[3x2y-4xy2]。

        合并同類二次根式:

        [12-27-20+45]

        =[23-33-25+35]

        =[-3+5]。

        比較兩種題型,我發(fā)現(xiàn)解題的方法都是一樣的,但是合并同類二次根式中增加了“最簡二次根式”的概念及化簡,這也是新知識在舊知識的基礎(chǔ)上有了拓展和延伸。

        四、總結(jié)

        通過“比來比去”,我探究了二次根式的“前世今生”,更加了解了知識點之間的聯(lián)系,數(shù)學(xué)方法之間的相通,數(shù)學(xué)板塊之間的“藕斷絲連”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),需深入其中,知其然,知其所以然,其樂無窮。

        教師點評

        在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,概念的理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),很多同學(xué)在概念上理解不透徹,導(dǎo)致解題時出現(xiàn)錯誤。小楊同學(xué)顯然已經(jīng)悟到概念理解的重要性,更重要的是,小楊同學(xué)還探究了“知識從哪里來?知識有什么用?知識又將到哪里去?”的問題。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),不僅僅要關(guān)注新知識點本身,還要找出知識點之間的聯(lián)系和區(qū)別,找到隱藏在其中的一條方法線,只要找到了“絲”,就能將“斷藕”拼起來。

        (指導(dǎo)教師:張文珠)

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