立早
類比有理數(shù)、整式和分式,溯源二次根式的學(xué)習(xí)歷程,同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn),它們?cè)趦?nèi)容上螺旋上升,學(xué)法上相似相通,唯一不同的是運(yùn)算順序的呈現(xiàn)。前三者都是先學(xué)習(xí)加減運(yùn)算,后學(xué)習(xí)乘或乘除運(yùn)算,而二次根式學(xué)習(xí)的順序是先乘除(乘方開(kāi)方)后加減。之所以先學(xué)乘除,再學(xué)加減,是因?yàn)槎胃降募訙p本質(zhì)上是合并同類二次根式,而同類二次根式的順序判別基于最簡(jiǎn)二次根式,這就需要我們先學(xué)習(xí)乘除(乘方或開(kāi)方)運(yùn)算來(lái)化簡(jiǎn)二次根式。因此,我們?cè)诮鉀Q二次根式混合運(yùn)算時(shí),先利用乘除(乘方或開(kāi)方)運(yùn)算各個(gè)擊破,化簡(jiǎn)各式,然后進(jìn)行加減運(yùn)算,這點(diǎn)與前三者的運(yùn)算順序如出一轍,相似相通。
“二次根式”這一章涉及的概念和性質(zhì)等核心知識(shí)要求都比較細(xì),我們需要條分縷析,理清知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生的前因后果,抓住其中的關(guān)鍵要點(diǎn),領(lǐng)悟其中的概念算理,從而做到精準(zhǔn)解題。
一、理解概念,尋根溯源
我們首先要清楚二次根式概念的來(lái)龍去脈。因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi),任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù),所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。“若x2=a(a≥0),則x叫作a的平方根。正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作‘±[a]’,而形如[a]的式子叫作二次根式。”從定義中我們可以看出[a](a≥0)有兩重含義:它既表示對(duì)a進(jìn)行開(kāi)平方,取算術(shù)平方根的運(yùn)算,又表示運(yùn)算的結(jié)果,即a的算術(shù)平方根。這里的被開(kāi)方式a≥0,開(kāi)方后的算術(shù)平方根[a]≥0,此即二次根式的非負(fù)性。
例1 若式子[x-35-x]有意義,求x的取值范圍。
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件(被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù))、分式有意義的條件(分母不能為0),列不等式組求解即可。
解:由題意可得[x-3≥0,5-x≠0,]解得x≥3且x≠5。
例2 如果m、n是正整數(shù),且[16(2m+n)]和[m+7m-n-1]在二次根式的加減法中可以合并成一項(xiàng),求m、n的值。
【分析】本題雖然沒(méi)有直接說(shuō)明它們是同類二次根式,但能進(jìn)行加減合并的二次根式必為同類二次根式。應(yīng)先把[16(2m+n)]轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)二次根式,然后再根據(jù)兩個(gè)二次根式能合并,得出它們是同類二次根式,從而列出相應(yīng)的方程組求解即可。
解:[16(2m+n)]=[42m+n]。由題意知[16(2m+n)]和[m+7m-n-1] 可以合并,則它們是同類二次根式。
∴[m-n-1=2,2m+n=m+7,]解得[m=5,n=2。]經(jīng)檢驗(yàn)m=5,n=2符合題意,∴m=5,n=2。
二、掌握性質(zhì),靈活運(yùn)用
對(duì)于[a2]=[a]及[a2]=a這兩個(gè)式子,同學(xué)們?cè)撊绾卫斫饽??[a2]中的 a可以為任何數(shù),但由于是求a2的算術(shù)平方根,結(jié)果為非負(fù)數(shù),所以先將a化為[a],再利用絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn);而后者之所以不要寫(xiě)成[a]的形式,是因?yàn)閇a2]已經(jīng)隱含條件“a≥0”,所以可直接寫(xiě)成a。同學(xué)們只有弄清楚兩者的聯(lián)系與區(qū)別,才能在具體的計(jì)算中左右逢源,游刃有余。
例3 化簡(jiǎn)([2-x])2+[(x-7)2]。
【分析】本題涉及兩個(gè)方面的知識(shí)點(diǎn),一是二次根式有意義的條件,被開(kāi)方數(shù)a≥0;二是二次根式性質(zhì)的靈活應(yīng)用。
解:由題意得2-x≥0,(x-7)2≥0,解得x≤2,∴x-7<0。
原式=2-x+[x-7]=2-x-x+7=9-2x。
故答案為9-2x。
三、宏觀解題,明晰算理
二次根式的運(yùn)算完全可以類比實(shí)數(shù)、整式的運(yùn)算法則,換言之,包括二次根式在內(nèi)的所有代數(shù)式,都可以運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算的算理、運(yùn)算律以及公式等進(jìn)行推算,但要注意觀察“式結(jié)構(gòu)”的特征。
例4 (1) 化簡(jiǎn):8x2[xy]÷12[x3y]×3[y2x](x>0);
(2)計(jì)算:[48]÷[3]-[12]×[12]+[24]。
【分析】(1)根據(jù)二次根式有意義的條件和x的取值范圍,確定y的取值范圍,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可;(2)根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算、加減運(yùn)算法則即可求出答案。
解:(1)∵x>0,[xy]有意義,∴y>0,
∴原式=8x2[xy]÷[12xy][xy]×[3yx][x]
=[2xy3]×[3yx][x]=2y2[x]。
(2)原式=[48÷3]-[12×12]+2[6]
=[16]-[6]+2[6]=4+[6]。
綜合計(jì)算題都是由若干個(gè)小題組合而成的,我們?cè)诮鉀Q這類問(wèn)題時(shí),要從宏觀的視角認(rèn)清這個(gè)算式的整體結(jié)構(gòu)。例如(1)的“式結(jié)構(gòu)”可以描述成“A÷B×C”型,我們可以先把它統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算,然后系數(shù)與系數(shù)相乘,根號(hào)內(nèi)各式相乘,再化簡(jiǎn)結(jié)果;也可以先化簡(jiǎn)各式,再乘除。(2)的“式結(jié)構(gòu)”可以描述成“A-B+C”型,其中A是除法運(yùn)算,B是乘法運(yùn)算,C有待化簡(jiǎn),所以我們?cè)诮獯饡r(shí)可以先各個(gè)擊破,再合并同類二次根式。
(作者單位:江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)新華實(shí)驗(yàn)學(xué)校)