立早

類比有理數(shù)、整式和分式，溯源二次根式的學(xué)習(xí)歷程，同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們?cè)趦?nèi)容上螺旋上升，學(xué)法上相似相通，唯一不同的是運(yùn)算順序的呈現(xiàn)。前三者都是先學(xué)習(xí)加減運(yùn)算，后學(xué)習(xí)乘或乘除運(yùn)算，而二次根式學(xué)習(xí)的順序是先乘除（乘方開(kāi)方）后加減。之所以先學(xué)乘除，再學(xué)加減，是因?yàn)槎胃降募訙p本質(zhì)上是合并同類二次根式，而同類二次根式的順序判別基于最簡(jiǎn)二次根式，這就需要我們先學(xué)習(xí)乘除（乘方或開(kāi)方）運(yùn)算來(lái)化簡(jiǎn)二次根式。因此，我們?cè)诮鉀Q二次根式混合運(yùn)算時(shí)，先利用乘除（乘方或開(kāi)方）運(yùn)算各個(gè)擊破，化簡(jiǎn)各式，然后進(jìn)行加減運(yùn)算，這點(diǎn)與前三者的運(yùn)算順序如出一轍，相似相通。

“二次根式”這一章涉及的概念和性質(zhì)等核心知識(shí)要求都比較細(xì)，我們需要條分縷析，理清知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生的前因后果，抓住其中的關(guān)鍵要點(diǎn)，領(lǐng)悟其中的概念算理，從而做到精準(zhǔn)解題。

一、理解概念，尋根溯源

我們首先要清楚二次根式概念的來(lái)龍去脈。因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)，任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。“若x2=a（a≥0），則x叫作a的平方根。正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作‘±[a]’，而形如[a]的式子叫作二次根式。”從定義中我們可以看出[a]（a≥0）有兩重含義：它既表示對(duì)a進(jìn)行開(kāi)平方，取算術(shù)平方根的運(yùn)算，又表示運(yùn)算的結(jié)果，即a的算術(shù)平方根。這里的被開(kāi)方式a≥0，開(kāi)方后的算術(shù)平方根[a]≥0，此即二次根式的非負(fù)性。

例1 若式子[x-35-x]有意義，求x的取值范圍。

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件（被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)）、分式有意義的條件（分母不能為0），列不等式組求解即可。

解：由題意可得[x-3≥0，5-x≠0，]解得x≥3且x≠5。

例2 如果m、n是正整數(shù)，且[16（2m+n）]和[m+7m-n-1]在二次根式的加減法中可以合并成一項(xiàng)，求m、n的值。

【分析】本題雖然沒(méi)有直接說(shuō)明它們是同類二次根式，但能進(jìn)行加減合并的二次根式必為同類二次根式。應(yīng)先把[16（2m+n）]轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再根據(jù)兩個(gè)二次根式能合并，得出它們是同類二次根式，從而列出相應(yīng)的方程組求解即可。

解：[16（2m+n）]=[42m+n]。由題意知[16（2m+n）]和[m+7m-n-1] 可以合并，則它們是同類二次根式。

∴[m-n-1=2，2m+n=m+7，]解得[m=5，n=2。]經(jīng)檢驗(yàn)m=5，n=2符合題意，∴m=5，n=2。

二、掌握性質(zhì)，靈活運(yùn)用

對(duì)于[a2]=[a]及[a2]=a這兩個(gè)式子，同學(xué)們?cè)撊绾卫斫饽?？[a2]中的 a可以為任何數(shù)，但由于是求a2的算術(shù)平方根，結(jié)果為非負(fù)數(shù)，所以先將a化為[a]，再利用絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn);而后者之所以不要寫(xiě)成[a]的形式，是因?yàn)閇a2]已經(jīng)隱含條件“a≥0”，所以可直接寫(xiě)成a。同學(xué)們只有弄清楚兩者的聯(lián)系與區(qū)別，才能在具體的計(jì)算中左右逢源，游刃有余。

例3 化簡(jiǎn)（[2-x]）2+[（x-7）2]。

【分析】本題涉及兩個(gè)方面的知識(shí)點(diǎn)，一是二次根式有意義的條件，被開(kāi)方數(shù)a≥0;二是二次根式性質(zhì)的靈活應(yīng)用。

解：由題意得2-x≥0，（x-7）2≥0，解得x≤2，∴x-7<0。

原式=2-x+[x-7]=2-x-x+7=9-2x。

故答案為9-2x。

三、宏觀解題，明晰算理

二次根式的運(yùn)算完全可以類比實(shí)數(shù)、整式的運(yùn)算法則，換言之，包括二次根式在內(nèi)的所有代數(shù)式，都可以運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算的算理、運(yùn)算律以及公式等進(jìn)行推算，但要注意觀察“式結(jié)構(gòu)”的特征。

例4 （1） 化簡(jiǎn)：8x2[xy]÷12[x3y]×3[y2x]（x>0）;

（2）計(jì)算：[48]÷[3]-[12]×[12]+[24]。

【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件和x的取值范圍，確定y的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可;（2）根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算、加減運(yùn)算法則即可求出答案。

解：（1）∵x>0，[xy]有意義，∴y>0，

∴原式=8x2[xy]÷[12xy][xy]×[3yx][x]

=[2xy3]×[3yx][x]=2y2[x]。

（2）原式=[48÷3]-[12×12]+2[6]

=[16]-[6]+2[6]=4+[6]。

綜合計(jì)算題都是由若干個(gè)小題組合而成的，我們?cè)诮鉀Q這類問(wèn)題時(shí)，要從宏觀的視角認(rèn)清這個(gè)算式的整體結(jié)構(gòu)。例如（1）的“式結(jié)構(gòu)”可以描述成“A÷B×C”型，我們可以先把它統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，然后系數(shù)與系數(shù)相乘，根號(hào)內(nèi)各式相乘，再化簡(jiǎn)結(jié)果;也可以先化簡(jiǎn)各式，再乘除。（2）的“式結(jié)構(gòu)”可以描述成“A-B+C”型，其中A是除法運(yùn)算，B是乘法運(yùn)算，C有待化簡(jiǎn)，所以我們?cè)诮獯饡r(shí)可以先各個(gè)擊破，再合并同類二次根式。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)新華實(shí)驗(yàn)學(xué)校）