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        生活中的反比例函數(shù)

        2022-06-02 12:37:28吳葉
        初中生世界·八年級(jí) 2022年8期

        吳葉

        函數(shù)是刻畫事物變化規(guī)律最有效、最有力的工具,函數(shù)思想貫穿于生活的很多方面。反比例函數(shù)是初中三大函數(shù)之一,也是中考的熱點(diǎn),常常與一次函數(shù)、幾何圖形等知識(shí)結(jié)合,滲透著數(shù)形結(jié)合、函數(shù)建模、分類討論、轉(zhuǎn)化、方程等數(shù)學(xué)思想。下面,我們來看兩道反比例函數(shù)的應(yīng)用題。

        例1 某地上年度電價(jià)為0.8元,年用電量為1億度,本年度計(jì)劃將電價(jià)調(diào)至0.55~0.75元之間。經(jīng)測(cè)算,若電價(jià)調(diào)至x元,則本年度新增用電量y億度與(x-0.4)元成反比例,又當(dāng)x=0.65時(shí),y=0.8。

        (1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;

        (2)若每度電成本價(jià)為0.3元,則電價(jià)調(diào)至多少元時(shí),本年度電力部分收益將比上年度增加20%?[收益=用電量×(實(shí)際電價(jià)-成本價(jià))。]

        【分析】(1)此題屬于把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求反比例函數(shù)表達(dá)式的問題。

        (2)此題屬于反比例函數(shù)的應(yīng)用問題。

        解:(1)因?yàn)楸灸甓刃略鲇秒娏縴億度與(x-0.4)元成反比例,所以可設(shè)所求的函數(shù)表達(dá)式為[y]=[kx-0.4]。

        當(dāng)x=0.65時(shí),y=0.8,代入[y]=[kx-0.4],解得k=0.2。

        故反比例函數(shù)表達(dá)式為[y]=[0.2x-0.4]。

        (2)依據(jù)題意,得

        (0.8-0.3)(1+20%)=[1+0.2x-0.4]

        [x-0.3],

        解得x1=0.5(舍去)或x2=0.6。

        答:若每度電成本價(jià)為0.3元,則電價(jià)調(diào)至0.6元時(shí),本年度電力部分收益將比上年度增加20%。

        【點(diǎn)評(píng)】本題通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系。解答本題的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)表達(dá)式。

        例2 為了做好校園疫情防控工作,校醫(yī)每天早上對(duì)全校辦公室和教室進(jìn)行藥物噴灑消毒。她完成3間辦公室和2間教室的藥物噴灑要19min;完成2間辦公室和1間教室的藥物噴灑要11min。

        (1)校醫(yī)完成一間辦公室和一間教室的藥物噴灑各要多少時(shí)間?

        (2)消毒藥物在一間教室內(nèi)空氣中的濃度y(單位:mg/m3)與時(shí)間x(單位:min)的函數(shù)關(guān)系如圖所示:校醫(yī)進(jìn)行藥物噴灑時(shí)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=2x,藥物噴灑完成后y與x成反比例函數(shù)關(guān)系,兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)為A(m,n)。當(dāng)教室空氣中的藥物濃度不高于1mg/m3時(shí),對(duì)人體健康無危害。校醫(yī)依次對(duì)一班至十一班教室(共11間)進(jìn)行藥物噴灑消毒,當(dāng)她把最后一間教室藥物噴灑完成后,一班學(xué)生能否進(jìn)入教室?請(qǐng)通過計(jì)算說明。

        解:(1)設(shè)校醫(yī)完成一間辦公室的藥物噴灑要xmin,一間教室的藥物噴灑要ymin。

        根據(jù)題意,得[3x+2y=19,2x+y=11,]

        解得[x=3,y=5。]

        答:校醫(yī)完成一間辦公室的藥物噴灑要3min,完成一間教室的藥物噴灑要5min。

        (2)由(1)得m=5,則n=2×5=10,

        ∴A(5,10)。

        設(shè)藥物噴灑完成后y與x的函數(shù)表達(dá)式為[y]=[kxk≠0]。

        則[10]=[k5],解得k=50,

        ∴[y]=[50x](x≥5)。

        當(dāng)y≤1時(shí),即[50x]≤1,解得x≥50。

        ∵11×5>50,

        ∴當(dāng)校醫(yī)把最后一間教室藥物噴灑完成后,一班學(xué)生能進(jìn)入教室。

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式、反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及反比例函數(shù)圖像。解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式,再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題。

        用函數(shù)觀點(diǎn)處理實(shí)際問題,關(guān)鍵在于分析實(shí)際情境,建立函數(shù)模型,進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)問題,將實(shí)際問題置于已有的知識(shí)背景之中,用數(shù)學(xué)知識(shí)重新解釋這是什么,可以看到什么,逐步形成解決實(shí)際問題的能力。在解決問題時(shí),不僅要充分利用函數(shù)的圖像,滲透數(shù)形結(jié)合的思想,還要注意函數(shù)不等式和方程之間的聯(lián)系以及學(xué)科之間的知識(shí)滲透。

        (作者單位:江蘇省無錫市新吳區(qū)第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

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