楊朵玉

（華中師范大學物理科學與技術(shù)學院 湖北 武漢 430070）

0 引言

電子元器件元件在日常生活中的各種產(chǎn)品中廣泛存在著。微型電阻器通電后可以立即產(chǎn)生快速且準確的驅(qū)動或結(jié)構(gòu)運動，可用于許多應(yīng)用領(lǐng)域，在這些應(yīng)用中，需要瞬時地對器件施加小擾動或小撓曲。目前已有將微電阻梁用來研究制作光開關(guān)和傳感器等的研究先例。這些電子元件在電路通電時會產(chǎn)生焦耳熱，在焦耳熱的作用下，物體會發(fā)生熱膨脹而使物體結(jié)果發(fā)生變形。當溫度到達物質(zhì)的熔點時，還會發(fā)生熔斷等現(xiàn)象[1]。近年來，微電阻梁傳感器以諸多優(yōu)點在世界范圍內(nèi)引起了廣泛的關(guān)注。微電阻梁傳感器有著靈敏度高、體積小、易于排列以及易于獲得等優(yōu)點[2]。微懸臂梁傳感器可以實現(xiàn)高靈敏度、特異性和陣列式的生化檢測與測量，因此在生物化學物質(zhì)的檢測中受到了廣泛的研究關(guān)注[3]。當分子附著在微型電阻梁的表面上之后,有一個變化的壓力作用在微型電阻梁表面,導致上下表面存在著壓力差,使電阻梁發(fā)生輕微彎曲,通過讀出系統(tǒng)檢測微型電阻梁的彎曲量實現(xiàn)生物化學分子檢測。微型電阻梁傳感器由于具有這些優(yōu)點，已經(jīng)應(yīng)用于基因組學、蛋白質(zhì)組學和疾病診斷等領(lǐng)域[4]。

本文采用多物理場仿真軟件COMSOL Multiphysic 軟件建立了微阻梁的多物理場模型，設(shè)定了銅微梁的密度、熱導率(軸向、縱向)及恒壓熱容，探討了銅微梁通電后產(chǎn)生的熱影響所帶來的后果，以及電流參量對熱變形的影響規(guī)律，為研究微電阻梁的熱損傷機理提供了一定的理論指導，為應(yīng)用微電阻梁制作光開關(guān)和傳感器等器件提供參考[5]。

1 理論建模

COMSOL Multiphysics 軟件通過求解偏微分方程(單場)或偏微分方程組(多場耦合)來實現(xiàn)真實物理現(xiàn)象的仿真，用數(shù)值計算方法求解真實世界的物理現(xiàn)象。在COMSOL 中可對模型的材料屬性、網(wǎng)格劃分以及邊界條件等進行參數(shù)化定義。COMSOL 中預(yù)定義的多種物理場應(yīng)用模式不僅能夠解決許多常見的物理問題，使用者也可以輸入自定義的偏微分方程（PDEs），并指定其與軟件內(nèi)嵌方程和物理場之間的關(guān)系。本模型可闡明在一個模型中耦合熱、電及結(jié)構(gòu)分析的能力，該模型中通過流通電流來使梁受熱改變，電流通過電阻時產(chǎn)生熱量，當溫度上升到一定高度時通過熱膨脹使梁產(chǎn)生位移，是一個很好的多物理場建模示例[6]。微電阻梁的材質(zhì)是銅，拱形微電阻梁的截面為梯形，如圖1 所示。微電阻梁的高度和寬度均為1μm，長度是13μm。將微電阻梁的兩個底腳牢固的固定在基板上，兩底腳之間施加電勢差使電流流過微電阻梁。電流流過電阻時會使電阻的電阻率發(fā)生變化，由于所用材質(zhì)為金屬材料，金屬材料的電阻率隨溫度的升高而增大，在有電流通過微電阻梁時，使金屬材料產(chǎn)生熱量。微電阻梁在開放環(huán)境中工作，因此產(chǎn)生的熱量會消散到空氣中。而當物體溫度發(fā)生改變時，物體由于外在約束以及內(nèi)部各部分之間的相互約束，使其不能完全自由脹縮而產(chǎn)生一種力的作用，我們把它叫做熱應(yīng)力[7]。由熱導致的應(yīng)力將對材料施加載荷，并且能使梁變形。

圖2 顯示了微阻梁的三維模型，銅微梁的長度為13 μm，高度和寬度均為1 μm。兩端的底部將其牢固地固定在基板上。底部之間施加的0.2 V 的電勢使其產(chǎn)生電流，產(chǎn)生的電流通過梁而產(chǎn)生焦耳熱。通過使用焦耳熱和熱膨脹預(yù)定義多物理場接口，可以自動添加三個物理場的方程，包括必要的多物理場耦合。在本例中，物理場方程描述了電流、熱傳導以及結(jié)構(gòu)力學問題。由于材料的電阻率，電流使結(jié)構(gòu)受熱。梁在開放環(huán)境中操作，因此生成的熱量會消散到空氣中。熱致應(yīng)力將對材料施加載荷，并使梁變形?？梢约僭O(shè)電導率恒定，將其作為第一個近似。但是，導體的電阻率隨著溫度的升高而增大，微電阻梁的溫度也隨之升高。在使用銅的情況下，金屬電阻的電阻率與溫度之間的關(guān)系在很大的溫度范圍內(nèi)近似為線性變化[8]：

其中，α 表示溫度系數(shù)。根據(jù)定義電阻率的關(guān)系，可獲得導體的溫度依存性；電導率即為其方程1 倒數(shù)（σ= 1/ρ）。

對于傳熱方程，將面向基板的底部邊界設(shè)為323 K 的恒溫。使用傳熱系數(shù)h 為5 W/（m2·K）、外部溫度Tinf為298 K 的熱通量邊界條件對其他邊界中的對流空氣冷卻進行模擬。標準約束可以處理底部與基板的剛性連接。對于本預(yù)測實驗?zāi)Ｐ椭芯唧w用到的銅片電阻熱物性參數(shù)見表1。

表1 模型材料參數(shù)表

本文中使用COMSOL 中的用戶控制網(wǎng)格功能對銅微梁進行網(wǎng)格剖分，可以大大加快求解速度，減少剖分網(wǎng)格帶來的計算成本，使其收斂到最優(yōu)解，銅微梁網(wǎng)格剖分圖如圖2所示。

2 模型解析

該模型涉及滿足電流產(chǎn)生的一切條件，即電流守恒條件且滿足電流守恒定律，因此需要利用電流守恒方程。電流產(chǎn)生的焦耳熱需要對流到空氣中，所以需要一個熱傳導方程。溫度改變帶來電阻的變化，因此首先采用傳熱與電流的二維耦合。同時，溫度的升高會引起材料的熱膨脹，因此在固體力學中應(yīng)考慮熱變形問題。因此，三個電場的耦合、固體傳熱和固體磁性的耦合是必要的。在Comsol 中，兩個物理磁性模塊，即電場中的焦耳熱和結(jié)構(gòu)能量學中的固體磁性的耦合是必要的。由于焦耳熱可以與空氣對流放出熱量，因此可以將該模型設(shè)為穩(wěn)態(tài)解。綜上可以利用圖3 所示的方程式進行求解。

微電阻梁在通電過程的熱傳遞現(xiàn)象屬于熱傳導問題，而熱傳導問題研究的是溫度在空間的分布和隨時間的變化，用T（x,y,z,t）表示。遵循基于傅里葉定律和能量守恒的熱傳導方程，其在笛卡爾坐標系下的瞬態(tài)三維熱傳導控制方程為：

該式中的負號表示熱量傳遞方向與溫度升高的方向相反，相關(guān)參數(shù)如下：

ρ--研究對象的密度；

T--材料的瞬時溫度；

t--熱傳導時間；

Cp---研究對象的比熱容；

k--熱傳導系數(shù)；

u--對流項中的外場因變量；

Q--熱流密度，即研究對象所吸收的熱量。

影響通電傳熱的因素眾多，其實際物理過程也十分復雜，因此在對其進行溫度場模擬時做出如下假設(shè)。

（1）假設(shè)微電阻梁模型材料為連續(xù)且各向同性。

（2）熱量作用于模型內(nèi)部的吸收率恒定，不隨時間變化。

（3）不考慮材料表面受熱變形的影響。

（4）模型間為完全熱傳導。

在模擬中使用以下邊界條件和初始條件。

式中Γ 為邊界條件，T為已知邊界上的溫度；n為模型邊界外法線方向；q為材料表面單位面積的熱流密度；h為模型與空氣介質(zhì)的對流換熱系數(shù)；σ為玻爾茲曼系數(shù)；ε為模型材料的輻射率；Tf為初始溫度，模型初始溫度為25 ℃[9]。

3 計算結(jié)果

點擊計算結(jié)果后，即可得出結(jié)果如下：

（1）表面溫度分布圖

如圖4 顯示，在使用方程1 中與溫度相關(guān)的電阻率求解模型時微梁表面的溫度場。根據(jù)顏色標尺，最高溫度約為710 K。

（2）表面應(yīng)力分布圖

圖5 顯示了微梁的變形。與溫度相關(guān)的情況下，位移為48 nm，而電導率恒定時，最大位移為88 nm（繪圖將變形放大了約20 倍）。

4 仿真分析與討論

本研究的仿真模型涉及電流的產(chǎn)生及滿足電流守恒，需要用到電流守恒方程。電流產(chǎn)生的焦耳熱需要向空氣中對流，從而需要熱傳導方程。溫度帶來電阻率的變化，所以首先會用到傳熱和電流的雙向耦合。同時，溫度的提高引起材料的熱膨脹，從而需要考慮固體力學中的熱應(yīng)變問題。所以需要電流，固體傳熱及固體力學三個物理場的耦合。在Comsol軟件中，需要用到傳熱--電磁熱下面的焦耳熱及結(jié)構(gòu)力學中的固體力學這兩個物理場模塊的耦合。由于焦耳熱可以與空氣對流進行散熱，所以此模型可以建為穩(wěn)態(tài)求解的方式。

由于電流在懸臂梁底端從一側(cè)流向另外一側(cè)，可以把懸臂梁的底端分別設(shè)為電流邊界中的接地（電勢為零）和終端（電勢設(shè)為0.2 V）兩個邊界。傳熱邊界：由于梁是在開放環(huán)境中工作，生成的熱會消散到空氣中，所以傳熱邊界（即熱通量）為除了底部的兩個界面的其他表面，如圖4 所示，其與空氣的對流熱通量設(shè)為5 W/(m2K)。底部的兩個邊界可以設(shè)為溫度293 K。由于在熱膨脹過程中，懸梁底部是被固定的，可以認為不發(fā)生變形，設(shè)為固體力學中的固定約束邊界[10]。

5 結(jié)論

本研究通過對微電阻梁施加電流使其產(chǎn)生焦耳熱，探究在熱的作用下微電阻梁產(chǎn)生熱應(yīng)力發(fā)生的變形情況。計算了電阻率的電勢分布，溫度分布以及所受的應(yīng)力分布的情形。此模型涉及電學、傳熱學、固體力學等相關(guān)知識的仿真模擬，對相關(guān)電阻傳熱研究具有一定的指導意義，為了研究微電阻梁的熱損傷機理提供了一定的理論指導，為研究微電阻梁制作器件提供參考。