曹海燕

在初中階段，同學們共學習了五種基本的尺規(guī)作圖。我們除了要掌握作圖的步驟，還要知道這些步驟背后的依據(jù)，做到知法明理。事實上，我們在解決尺規(guī)作圖題的過程中，更需要多觀察，多推理，多假想。

一、感知尺規(guī)作圖的步驟

例1 （2021·江蘇泰州）（1）如圖1，O為AB的中點，直線l1、l2分別經(jīng)過點O、B，且l1∥l2，以點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交直線l2于點C，連接AC。求證：直線l1垂直平分AC。

（2）如圖2，平面內(nèi)直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，點P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ。用圓規(guī)和無刻度的直尺在直線l4上求作一點D，使線段PD最短。（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡。）

【解法突破】（1）連接OC，根據(jù)作圖步驟，可知OC=OA，則△AOC是等腰三角形，要證直線l1垂直平分AC，只需證l1⊥AC或l1平分∠AOC即可。

（2）在直線l4上求作一點D，使線段PD最短，即求作PD⊥l4。根據(jù)（1）的結(jié)論，我們以點T為圓心，PT長為半徑畫弧，交直線l3于點E，此時PE⊥l2，則PE的延長線與l4的交點D即為所求，如圖3。

【反思提升】本題如果沒有第（1）題作為鋪墊，我們運用常規(guī)的數(shù)學思維來解決第（2）題的尺規(guī)作圖問題便容易陷入困境。因此，解尺規(guī)作圖題時，我們要學會逆向思維，嘗試打破常規(guī)。

二、掌握尺規(guī)作圖的方法

例2 （2021·江蘇南京）如圖4，已知P是⊙O外一點，用兩種不同的方法過點P作⊙O的一條切線。

要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖;

（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明。

【解法突破】在解本題時我們遇到的最大困難是如何確定切點的位置。此時我們不妨先假設點D是切點，則點D滿足兩個條件：（1）點D在⊙O上;（2）OD⊥DP。

方法一：當OD⊥DP時，∠ODP=90°。連接OP，由OP是∠ODP的對邊，我們能推斷出點D在以OP為直徑的圓上，再結(jié)合條件（1），就能很快確定點D的位置，作出圖5。

方法二：假設PD是⊙O的切線，則△POD是直角三角形且∠PDO=90°。延長PO交⊙O于點D?，過D?作OD?的垂線l。以O為圓心，OP為半徑作弧，與l交于點P?，則△P?OD?≌△POD，得P?D?=PD。所以，如圖6，以P為圓心，P?D?為半徑作弧，與⊙O交于點D，則PD即為所求。

【方法小結(jié)】解決本題的方法很多，在實際作圖的過程中同學們也會發(fā)現(xiàn)切點D的位置不唯一。通過解這道題，我們得到經(jīng)驗：在解尺規(guī)作圖題時，通常以基本作圖為基礎，逆向思考，先嘗試構(gòu)造符合題意的“效果圖”，再結(jié)合條件進行幾何推理，確定作圖方法，進而畫出正確的目標圖形。

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學）C5BBB0AC-E93A-4337-8604-5BEA963A4FF7