張衛(wèi)明

在實(shí)際生活中，我們常用隨機(jī)事件的頻率去估計(jì)該事件的概率。那么，頻率與概率是一回事嗎？為什么可以用頻率估計(jì)概率？如何用頻率估計(jì)概率？頻率和概率雖然是兩個(gè)不同的概念，但二者既有區(qū)別又有聯(lián)系。下面，我們從兩個(gè)方面進(jìn)行分析，來幫助同學(xué)們厘清頻率與概率的關(guān)系。

一、頻率與概率的區(qū)別

頻率是指在試驗(yàn)中，某個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)（即頻數(shù)）與試驗(yàn)總次數(shù)的比值。頻率在試驗(yàn)之前是不能確定的，它隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，即便兩次重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)相同，隨機(jī)事件出現(xiàn)的次數(shù)也可能不同，頻率也就可能不同。因此，頻率是一個(gè)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加可能發(fā)生變化的統(tǒng)計(jì)量，它是不確定的。

概率是指一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值。概率是隨機(jī)事件自身的屬性，是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的度量。一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率是由隨機(jī)事件自身決定的，并且是先于試驗(yàn)而客觀存在的，它不會(huì)因?yàn)樵囼?yàn)次數(shù)的變化而發(fā)生變化。比如，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5，與做不做試驗(yàn)或做多少次試驗(yàn)都無關(guān)。

二、頻率與概率的聯(lián)系

初學(xué)概率的同學(xué)可能會(huì)產(chǎn)生困擾：概率是什么？是一個(gè)精確的數(shù)，還是一個(gè)近似的數(shù)？事實(shí)上，一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生既有隨機(jī)性（對(duì)單次試驗(yàn)來說），又存在統(tǒng)計(jì)規(guī)律性（對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)來說），是偶然性與必然性的統(tǒng)一。隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律表現(xiàn)在：隨機(jī)事件的頻率會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，但在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，而且，試驗(yàn)次數(shù)越多，擺動(dòng)越小，并且頻率會(huì)趨于穩(wěn)定。這個(gè)性質(zhì)就是頻率的穩(wěn)定性。在實(shí)際中，當(dāng)概率不易求出時(shí)，人們常常取試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)的事件的頻率作為概率的估計(jì)值。試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率與概率就越接近，因此，概率可以通過頻率來“測(cè)量”。

對(duì)于概率可以通過頻率來“測(cè)量”，我們要明確兩點(diǎn)：

首先，頻率穩(wěn)定于概率這個(gè)結(jié)論是對(duì)于在相同的條件下，大量重復(fù)試驗(yàn)而言的。如果在試驗(yàn)次數(shù)不多的條件下，用頻率估計(jì)概率是不可取的。

比如，在拋擲硬幣的試驗(yàn)中，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣50次，正面朝上的有20次，則正面朝上的頻率是0.4，于是就認(rèn)為正面朝上的概率大約為0.4。這樣的結(jié)論我們肯定不認(rèn)同，因?yàn)檎`差太大了。如果我們不斷增加試驗(yàn)的次數(shù)，就會(huì)得到不同的結(jié)果，而這個(gè)結(jié)果也會(huì)越來越接近這個(gè)事件的理論值0.5。因此，頻率穩(wěn)定于概率是對(duì)于大量重復(fù)試驗(yàn)而言的。

其次，雖然大量重復(fù)試驗(yàn)后，一個(gè)事件的頻率會(huì)穩(wěn)定于它的概率，但頻率并不等同于概率，它只是概率的一個(gè)近似值。

比如，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率是0.5，但人們?cè)谧鰭仈S硬幣的試驗(yàn)時(shí)，并不能保證硬幣正面朝上的次數(shù)是試驗(yàn)總次數(shù)的一半。事實(shí)上，在試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)，正面朝上的頻率只是接近0.5。當(dāng)然，這與我們?cè)趯?shí)際中用頻率去估計(jì)概率并不矛盾，就像測(cè)量一根木棒的長度一樣。木棒有其客觀存在的“真實(shí)長度”，但在實(shí)際中，我們測(cè)量時(shí)，必定會(huì)存在誤差。因此，我們用工具測(cè)得的木棒長度，總是穩(wěn)定在木棒“真實(shí)長度”的附近，很難得到木棒的“真實(shí)長度”。這里測(cè)量得到的數(shù)值與木棒的“真實(shí)長度”的關(guān)系就像頻率與概率的關(guān)系一樣。

對(duì)同學(xué)們來說，概率是一種新的數(shù)學(xué)觀念。概率中的數(shù)學(xué)方法和其他確定性數(shù)學(xué)方法一樣，也是一種科學(xué)的方法，它能夠有效地解決現(xiàn)實(shí)世界中的眾多問題，能夠反映概率的思維方式與確定性思維的差異。

在我們的日常生活和科學(xué)研究中，概率都有著廣泛的應(yīng)用，用頻率估計(jì)概率只是求概率的常用方法之一。希望這篇文章能幫助同學(xué)們撥開云霧，為今后的概率學(xué)習(xí)以及在生活中運(yùn)用頻率和概率解決問題打下基礎(chǔ)。

（作者單位：江蘇省鹽城市鹿鳴路初級(jí)中學(xué)）488D924A-01CC-47C0-BFEC-A41F31814ECA