宋曉政

求軌跡方程問(wèn)題的常見(jiàn)命題形式是根據(jù)已知條件，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、求曲線的方程.此類(lèi)問(wèn)題側(cè)重于考查圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)以及方程思想.本文結(jié)合例題，介紹求軌跡方程的三種思路.

一、運(yùn)用直接法

有些求軌跡方程的問(wèn)題較為簡(jiǎn)單，直接給出了一些與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的條件，此時(shí)就可以運(yùn)用直接法求解.利用直接法求軌跡方程，需先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件列出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的方程，然后化簡(jiǎn)該方程，最后驗(yàn)證所得的結(jié)果是否滿足題意.

解：設(shè)M（x，y），P（x₁，y₁），則Q（x₁，0），

所以P的坐標(biāo)為（x，2y），

本題直接給出了關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系，所以只需根據(jù)已知條件設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將其代入關(guān)系式并化簡(jiǎn)，就能夠得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.運(yùn)用直接法求軌跡方程的步驟為：設(shè)點(diǎn)——列方程——化簡(jiǎn)——檢驗(yàn).通常可以不用寫(xiě)出最后一步的過(guò)程.

二、利用參數(shù)法

有些題目較為復(fù)雜，我們難以根據(jù)題意快速建立動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式，此時(shí)就可以運(yùn)用參數(shù)法，先把曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)表示出來(lái)，然后通過(guò)恒等變換，將參數(shù)消去，就可以得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.此方法適用于求解未給出與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的關(guān)系，且無(wú)法快速建立關(guān)系式的題目.

例2.過(guò)點(diǎn)A（0，1）的直線L與拋物線：x²=4y交于D，E兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求三角形ODE的重心G的軌跡方程.

解：設(shè)直線L的方程為y=kx+1，設(shè)G（x，y）D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）

得x²-4kx-4=0，

則x₁+x₂=4k，y₁+y₂=4k²+2，

三、采用定義法

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足某一圓錐曲線時(shí)，可以根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，求得曲線方程中的參數(shù)a、b、c、p、r，即可根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例3.已知圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，動(dòng)圓P與圓M外切，且與圓N內(nèi)切，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

解：設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，由題意知圓M的圓心為M（-1，0），半徑為1，圓N的圓心為N（1，0），半徑為3.

因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切，且與圓N內(nèi)切，

即動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M，N的距離之和為定值，

則P的軌跡方程是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓.

所以a=2，c=1，b²=a²-c²=3，

可見(jiàn)，求軌跡方程問(wèn)題的難度一般不大，但解題過(guò)程中的運(yùn)算量較大.求軌跡方程，需仔細(xì)研究題目中的幾何條件，明確動(dòng)點(diǎn)的軌跡，建立與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的關(guān)系式.