第八章 分式

領(lǐng) ? ?銜 ? ?人：浦敘德（特級教師，正高級教師）

組稿團隊：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心

為了幫助同學們?nèi)嫦到y(tǒng)地掌握本章知識技能和思想方法，領(lǐng)會知識內(nèi)涵和本質(zhì)，老師將從下面三個方面來加以剖析。

一、認清分式概念的本質(zhì)

我們七年級學過“用字母表示數(shù)”的相關(guān)知識，所以，從分數(shù)到分式，實際上就是由特殊的數(shù)走向一般的式;我們還學過整式，知道單項式和多項式統(tǒng)稱為整式，并由此得到了分式。由此可見，分式與分數(shù)、整式有著千絲萬縷的聯(lián)系。我們既可以把分式看成是分數(shù)的一般化，又可以將其看成是兩個整式之間的特殊除法。另外，整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，同理，整式與分式統(tǒng)稱為有理式。由此充分說明，數(shù)與式及其發(fā)展是一脈相承的，數(shù)式之間相同的性質(zhì)，簡稱數(shù)式通性。

二、掌握分式性質(zhì)和運算

既然從分數(shù)到分式是從特殊到一般，那么，我們學習分式就要利用數(shù)學的類比思想，從分式的源頭——分數(shù)出發(fā)，設(shè)法把新知識（分式的問題）轉(zhuǎn)化為舊知識（分數(shù)的問題）?？梢?，在本章學習中，特殊到一般、類比、轉(zhuǎn)化就是最重要的數(shù)學思想方法。

下面以“異分母分式相加減”為例具體說明。我們可以從圖1看到異分母分式的加減是如何一步步通過類比和轉(zhuǎn)化，變成我們完全熟悉的整式加減，最后變成最簡單的整數(shù)加減。

三、學透分式方程及應(yīng)用

初中代數(shù)的知識分為數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)五塊。如果引進負數(shù)是初中代數(shù)的第一次飛越，那么從數(shù)走向式，就是初中代數(shù)的第二次飛越。我們學習數(shù)與式，歸根結(jié)底是為學習方程、不等式和函數(shù)等知識奠基。因此，分式方程可以認為是分式的數(shù)學運用，而用分式方程解決實際問題又可以認為是分式的實際應(yīng)用，兩者都體現(xiàn)了分式的價值。

在學習分式方程時，我們自然會聯(lián)想到整式方程。通過類比，我們可以發(fā)現(xiàn)，分式方程比整式方程多了一個含有未知數(shù)的分母，所以，分式方程必須要檢驗，避免分母為0時式子無意義。另外，分式方程的解法步驟中，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，與整式方程的解法步驟唯一不同的是去分母。整式方程去分母是方程兩邊同時乘各分母的最小公倍數(shù)，而分式方程是方程兩邊同時乘各分母的最簡公分母。一旦去分母成功，分式方程就變成了整式方程。因此最簡公分母中必定含有未知數(shù)，所以，這個最簡公分母的值可能為0，這是分式方程會產(chǎn)生增根的本質(zhì)原因。如果求出的未知數(shù)的值使最簡公分母為0，那么這個未知數(shù)的值就是原方程的增根，否則就是原方程的根。

利用分式方程解決實際問題，跟前面所學的用一元一次方程、二元一次方程組等各類方程來解決實際問題一樣，都是根據(jù)題目中的等量關(guān)系，設(shè)法把實際問題抽象、建模成數(shù)學中的方程問題，然后利用方程的知識進行求解。由于分式方程的特殊性，求出來的解需要先檢驗是不是原分式方程的解，再檢驗是不是實際問題的解。

從上面的研究我們可以看出，分式來源于分數(shù)，也可以看成來源于整式;分式的基本性質(zhì)來源于分數(shù)的基本性質(zhì);分式的加減、乘除、乘方運算來源于分數(shù)的相應(yīng)運算;分式方程是分式的運用和應(yīng)用，但在解決問題時還是要回歸整式方程。這樣全面、整體的認識，會讓我們覺得分式的學習非常自然和簡單?？梢?，學好數(shù)學，一要抓住新舊知識的聯(lián)系，從舊知走向新知;二要學會用數(shù)學的思想方法來思考，學會類比、轉(zhuǎn)化等重要的思想方法;三要用整體的視角來進一步構(gòu)建新的知識體系，從更高視角認識每一個知識板塊。只有這樣，我們的數(shù)學學習才會更加生動有趣。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）