亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        探究試題規(guī)律 發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美

        2022-05-30 10:48:04王尊甫
        關(guān)鍵詞:探究

        王尊甫

        [摘 要]探究試題背后隱秘的規(guī)律,并將相關(guān)結(jié)論進(jìn)行推廣,既可以為問(wèn)題探究提供范式,也可以提高學(xué)生的解題能力。

        [關(guān)鍵詞]試題;規(guī)律;探究;數(shù)學(xué)美

        [中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058(2022)11-0013-03

        羅素曾說(shuō)過(guò),如果正確地看數(shù)學(xué),它不但擁有真理,而且也具有至高的美。數(shù)學(xué)的美不僅包括外在的形式美和簡(jiǎn)潔美,還包括內(nèi)在的抽象美以及隱秘的理性美。

        許多圓錐曲線問(wèn)題中都有著隱秘的結(jié)論和規(guī)律。很多結(jié)論和規(guī)律可以進(jìn)一步引申和推廣,這也充分體現(xiàn)了圓錐曲線的拓展美和奇異美。

        一、試題呈現(xiàn)

        (2021年高考全國(guó)甲卷理科第20題)拋物線[C]的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)[O],焦點(diǎn)在[x]軸上,直線[l]:[x=1]交[C]于[P],[Q]兩點(diǎn),且[OP⊥OQ]。已知點(diǎn)[M(2, 0)],且⊙[M]與[l]相切。

        (1)求[C],⊙[M]的方程;

        (2)設(shè)[A1],[A2],[A3]是[C]上的三個(gè)點(diǎn),直線[A1A2],[A1A3]均與⊙[M]相切,判斷直線[A2A3]與⊙[M]的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由。

        解:(1)[C]:[y2=x],⊙[M]:[(x-2)2+y2=1];

        (2)設(shè)[A1(a2, a)],[A2(b2, b)],[A3(c2, c)]。

        當(dāng)[a=±1]或[a=±3],可證直線[A2A3]與⊙[M]相切。

        當(dāng)[a≠±1]且[a≠±3]時(shí),

        則直線[A1A2]:[y=1a+b(x-a2)+a],

        [A1A3]:[y=1a+c(x-a2)+a],

        [A2A3]:[y=1b+c(x-b2)+b]。

        因?yàn)橹本€[A1A2],[A1A3]均與⊙[M]相切,

        所以點(diǎn)[M(2, 0)]到[A1A2],[A1A3]兩直線的距離均相等,且距離為[1]。

        即[2+ab1+(a+b)2=2+ac1+(a+c)2=1],

        可知[b],[c]是方程[2+ax1+(a+x)2=1]的兩個(gè)不等根,

        即[b],[c]是方程[(a2-1)x2+2ax+3-a2=0]的兩個(gè)不等根,

        所以[b+c=-2aa2-1], [bc=3-a2a2-1]。

        則點(diǎn)[M(2, 0)]到直線[A2A3]的距離為

        [2+bc1+(b+c)2=1+a2a2-11+-2aa2-12=1+a2(1+a2)2=1],

        因此,直線[A2A3]與⊙[M]也相切。

        二、提出問(wèn)題

        培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題探究意識(shí)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面,它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)有著重要的意義,有助于提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力,有助于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力。

        問(wèn)題求解之后,筆者與學(xué)生進(jìn)行了交流。學(xué)生對(duì)解題思路轉(zhuǎn)化印象深刻,并驚訝于結(jié)果的奇異美。學(xué)生不約而同地提出了一個(gè)問(wèn)題:該圓是不是隨意設(shè)定的,其圓心位置和半徑有無(wú)必然的聯(lián)系?

        筆者引導(dǎo)學(xué)生利用GeoGebra軟件輔助研究。學(xué)生對(duì)⊙[M]的圓心和半徑分別進(jìn)行了調(diào)整,發(fā)現(xiàn)直線[A2A3]與⊙[M]不再相切,這表明⊙[M]:[(x-2)2+y2=14]的設(shè)定是基于某種隱秘的規(guī)律,它與拋物線肯定存在著某種聯(lián)系。

        三、問(wèn)題探究

        基于學(xué)生的能力基礎(chǔ),筆者將⊙[M]設(shè)定為圓心在拋物線軸上的圓,并提出問(wèn)題:

        設(shè)拋物線[C]:[y2=2px(p>0)],已知⊙[M]:[(x-x0)2+y2=R2(R>0)],設(shè)[A1],[A2],[A3]是[C]上的三個(gè)點(diǎn)。若⊙[M]是[△A1A2A3]的內(nèi)切圓,試分析[x0]與[R]應(yīng)滿足的關(guān)系。

        我們不妨先借助圖像的對(duì)稱性,由特殊位置入手探究。

        當(dāng)[A1]為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),則必有[A2],[A3]關(guān)于[x]軸對(duì)稱。

        不妨設(shè)直線[A1A2]的方程為[x=my],

        與拋物線[C]:[y2=2px(p>0)]方程聯(lián)立得[y2=2pmy]。

        因?yàn)椤裑M]是[△A1A2A3]的內(nèi)切圓,所以點(diǎn)[M]到直線[A1A2],[A2A3]的距離均為[R],

        即[R=x01+m2=2pm2-x0],

        整理得[x0=R22p+R]。

        下面證明當(dāng)⊙[M]的半徑為[R],圓心為[R22p+R, 0]時(shí),⊙[M]是拋物線的內(nèi)接三角形[△A1A2A3]的內(nèi)切圓。

        設(shè)[A1a22p, a],[A2b22p, b],[A3c22p, c],

        則直線[A1A2]:[y=2pa+bx+aba+b],

        [A1A3]:[y=2pa+cx+aca+c],

        [A2A3]:[y=2pb+cx+bcb+c]。

        當(dāng)直線[A1A2],[A1A3]均與⊙[M]相切時(shí),

        點(diǎn)[MR22p+R, 0]到兩直線的距離均相等,且距離為[R]。

        即[R2+2pR+ab4p2+(a+b)2=R2+2pR+ac4p2+(a+c)2=R],

        可知[b],[c]是方程[R2+2pR+ax4p2+(a+x)2=R]的兩個(gè)不等根,

        即[b],[c]是方程[(a2-R2)x2+4pRax+R4+4pR3-a2R2=0]的兩個(gè)不等根,

        所以[b+c=-4pRaa2-R2], [bc=R4+4pR3-a2R2a2-R2]。

        則點(diǎn)[MR22p+R, 0]到直線[A2A3]的距離為[R2+2pR+bc4p2+(b+c)2=R2+2pR+R4+4pR3-a2R2a2-R24p2+4pRaa2-R22=R(a2+R2)(a2+R2)2=R]。

        于是,直線[A2A3]與⊙[M]也相切。

        綜上,[x0]與[R]應(yīng)滿足[x0=R22p+R]。

        基于此,可得到以下結(jié)論。

        結(jié)論1 設(shè)拋物線[C]:[y2=2px(p>0)],已知[⊙M]:[(x-x0)2+y2=R2(R>0)],設(shè)[A1],[A2],[A3]是[C]上的三個(gè)點(diǎn),若⊙[M]是[△A1A2A3]的內(nèi)切圓,則必有[x0=R22p+R]。

        四、揭示本源

        從以上探究過(guò)程可以發(fā)現(xiàn),只要⊙[M]是拋物線[C]某一內(nèi)接三角形[MNP]的內(nèi)切圓,那么就必定滿足:設(shè)[A1],[A2],[A3]是[C]上的三個(gè)點(diǎn),直線[A1A2],[A1A3]均與⊙[M]相切,那么直線[A2A3]與⊙[M]必定也相切。

        結(jié)論2 已知拋物線[C]:[y2=2px(p>0)],動(dòng)點(diǎn)[A(x1, y1)]在拋物線上,由點(diǎn)[A]引拋物線某內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓的切線分別交拋物線于點(diǎn)[B],[C],則直線[BC]必與該圓相切。

        如果推廣到橢圓和雙曲線,也有類似的結(jié)論。

        結(jié)論3 已知橢圓[C]:[x2a2+y2b2=1(a>b>0)],動(dòng)點(diǎn)[A(x1, y1)]在橢圓上,由點(diǎn)[A]引橢圓某內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓的切線分別交橢圓于點(diǎn)[B],[C],則直線[BC]必與該圓相切。

        [例題]已知橢圓[C]:[x24+y2=1],點(diǎn)[A],[M],[N]在橢圓上,且點(diǎn)[A]是橢圓的左頂點(diǎn),點(diǎn)[M],[N]關(guān)于[x]軸對(duì)稱。若圓[E]:[x2+y2=r2(r>0)]是[△AMN]的內(nèi)切圓。

        (1)求[r];

        (2)點(diǎn)[P(x0, y0)]是橢圓上任意一點(diǎn),由點(diǎn)[P]引圓[E]的兩條切線分別交橢圓于點(diǎn)[S],[T],則直線[ST]必與圓[E]也相切。

        解析:(1)由題意知,點(diǎn)[A(-2, 0)],設(shè)[M(r, yM)],則[r2+4yM2=4],

        且原點(diǎn)[O]到直線[AM]的距離為[r],因此有[yM2+r=r4-r2],

        兩式聯(lián)立得[r=23]。

        (2)點(diǎn)[P(x0, y0)]是橢圓上任意一點(diǎn),故[x204+y20=1],設(shè)[S(x1, y1)],[T(x2, y2)]。

        當(dāng)直線[PS],[PT]斜率均存在時(shí),設(shè)直線[PS]:[y=k1(x-x0)+y0],直線[PT]:[y=k2(x-x0)+y0]。

        因?yàn)橹本€[PS],[PT]均與圓[E]:[x2+y2=49]相切,故原點(diǎn)到兩條直線的距離均為[23]。

        于是有[y0-kx01+k2=23],即[(9x20-4)k2-18x0y0k+9y20-4=0],

        則[k1],[k2]為該方程的兩個(gè)不等根,因此[k1+k2=18x0y09x20-4], [k1k2=9y20-49x20-4]。

        將直線[PS]與橢圓[C]:[x24+y2=1]聯(lián)立,

        得[(1+4k21)x2+8k1(y0-k1x0)x+4(y0-k1x0)2-4=0],

        于是[x0+x1=8k1(k1x0-y0)1+4k21],解得[x1=(4k21-1)x0-8k1y01+4k21],

        代入直線[PS]方程得[y1=-2k1x0-(4k21-1)y01+4k12];

        同理,可得[x2=(4k22-1)x0-8k2y01+4k22],[y2=-2k2x0-(4k22-1)y01+4k22],

        因此,直線[MN]的斜率[kMN=y1-y2x1-x2=-14×x1+x2y1+y2],將上式代入可得[kMN=-x02y0]。

        于是,直線[MN]的方程為[y=-x02y0(x-x1)+y1]。

        原點(diǎn)到直線[MN]的距離為[d=x0x1+2y0y1x20+4y20=x0x1+2y0y12],

        將[x1=(4k21-1)x0-8k1y01+4k21],[y1=-2k1x0-(4k21-1)y01+4k21],

        以及[(9x20-4)k21-18x0y0k1+9y20-4=0]代入,

        可得[d=-(1+2k21)(x20+4y20)+83k21+832(1+4k21)=163k21+432(1+4k21)=23]。

        因此,直線[ST]與圓[E]也相切。

        本題的第(1)問(wèn)以橢圓中的特殊位置開(kāi)啟思路,以圖形的對(duì)稱性為切入點(diǎn),形成簡(jiǎn)潔的求解思路。第(2)問(wèn)則將特殊位置推廣至一般位置,以探究引發(fā)學(xué)生深度思考,進(jìn)而揭示其中隱秘的規(guī)律。

        如果繼續(xù)深入探究,可得到:

        若圓[O]:[x2+y2=r2(r>0)]是橢圓[C]:[x2a2+y2b2=1(a>b>0)]的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓,則必有[r=aba+b]。

        結(jié)論4 已知雙曲線[C]:[x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)],動(dòng)點(diǎn)[A(x1, y1)]在雙曲線上,由點(diǎn)[A]引雙曲線某內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓的切線分別交雙曲線于點(diǎn)[B],[C],則直線[BC]必與該圓相切。

        五、總結(jié)反思

        在數(shù)學(xué)教學(xué)中,融入數(shù)學(xué)美,運(yùn)用數(shù)學(xué)美的感染力,可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和積極性,啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,促進(jìn)學(xué)生理解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,形成知識(shí)的有序結(jié)構(gòu)和解題方法體系,還可以激發(fā)學(xué)生對(duì)真和美的追求,陶冶學(xué)生的思想情操,培養(yǎng)學(xué)生的進(jìn)取精神。教師應(yīng)充分挖掘美育素材,抓住有利時(shí)機(jī)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力。

        在本文中,筆者從一道高考題出發(fā),經(jīng)過(guò)大膽的猜想與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笞C,最終得到了題目背后隱秘的規(guī)律,感悟到圓錐曲線結(jié)論中的奇異美與統(tǒng)一美,這正是數(shù)學(xué)探究的魅力。

        教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的發(fā)展規(guī)律和認(rèn)知能力,幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)經(jīng)問(wèn)題的合情推理步入深度的數(shù)學(xué)探究,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在這個(gè)過(guò)程中,我們可以清晰地看到,學(xué)生在以“美”為感性追求的活動(dòng)中逐步形成了對(duì)“真”的理性追求。

        [? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

        [1]? 波利亞.怎樣解題[M].涂弘,馮承天,譯.上海:上海科技教育出版社,2002.

        (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

        猜你喜歡
        探究
        ETC發(fā)行方數(shù)據(jù)分析與挖掘的應(yīng)用探究
        開(kāi)放探究,創(chuàng)新應(yīng)用
        一道探究題的解法及應(yīng)用
        一道IMO預(yù)選題的探究
        探究下神峪村“由亂到治”之路
        探究式學(xué)習(xí)在國(guó)外
        一道IMO預(yù)選題的探究及思考
        P=Fvcosα應(yīng)用探究
        對(duì)一個(gè)猜想的探究
        中國(guó)商論(2016年33期)2016-03-01 01:59:34
        在线免费午夜视频一区二区| 国产成人午夜高潮毛片| 亚洲国产成人久久综合| 粉嫩少妇内射浓精videos| 高跟丝袜一区二区三区| 美女被黑人巨大入侵的的视频| 久久精品国产99国产精品亚洲 | a级国产乱理伦片在线播放| 国产免费AV片在线看| 女同性恋一区二区三区四区| 久久九九精品国产av| 看黄a大片日本真人视频直播| 亚洲AV无码精品蜜桃| 久久这里都是精品一区| 亚洲精品综合一区二区| 欧洲美女黑人粗性暴交视频| 免费无码av一区二区三区| 曰本女人与公拘交酡免费视频| 免费人成视频欧美| 亚洲一区二区三区精品视频| 国产产区一二三产区区别在线| 久久精品无码鲁网中文电影 | 成人a级视频在线播放| 国语对白嫖老妇胖老太| 99国产免费热播视频| 一个人看的在线播放视频| 完整版免费av片| 99精品国产高清一区二区麻豆| 日韩无码电影| 国产精品久久国产三级国| 伊人中文字幕亚洲精品乱码 | 亚洲中文中文字幕乱码| 亚洲日韩国产av无码无码精品| 亚洲免费观看在线视频| 亚洲高清在线观看免费视频| 手机在线免费av资源网| 亚洲精品美女久久久久99| 伊人99re| 中文字幕丰满人妻有码专区| 中国杭州少妇xxxx做受| 亚洲av无码成人黄网站在线观看|