王逸駿

[摘 要]“用倒推的策略解決問題”的教學(xué)目標是讓學(xué)生能用自己的話解釋倒推的過程，能在評論與討論中找到方法，形成交流合作的能力以及逆向思維。文章以斯根普的理解模型為理論依據(jù)，得到了促進倒推策略教學(xué)的優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑，并給出相應(yīng)的教學(xué)建議。

[關(guān)鍵詞]倒推;解決問題;學(xué)習(xí)路徑;逆向思維

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）17-0008-04

一、引言

“解決問題的策略”（又稱“還原問題”）是蘇教版教材的重要內(nèi)容之一。此內(nèi)容的設(shè)置旨在讓學(xué)生初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識和其他知識解決簡單的數(shù)學(xué)問題，發(fā)展應(yīng)用意識和實踐能力;獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。

“倒推”是解決問題時經(jīng)常用到的一種策略。在用“倒推”策略解決問題時，學(xué)生要進行分析、選擇、判斷、對比、優(yōu)化等一系列復(fù)雜的思維活動?！暗雇啤辈呗?，通俗地講就是“倒過來想”，即從事情的結(jié)果倒過去想它在開始的時候是怎樣的，教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和發(fā)散性思維，提高其解決問題的能力。為了讓學(xué)生能夠真正掌握“倒推”的策略，必須探索出利于學(xué)生理解的學(xué)習(xí)路徑，筆者把研究問題定為：教師預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)路徑是怎樣的？經(jīng)過實踐檢驗并優(yōu)化過的學(xué)習(xí)路徑是怎樣的？如何驗證學(xué)習(xí)的路徑是否得到了優(yōu)化？

二、研究設(shè)計

1.研究對象

根據(jù)學(xué)生的期末考試成績和前測數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)蘇州市S小學(xué)六年級甲、乙兩個平行班的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平上沒有顯著的差異。兩次教學(xué)均由W教師承擔，教齡4年。

2.研究流程

研究的主要步驟如圖1所示：

主要采用課堂觀察法、問卷調(diào)查法、訪談法、行動研究法來收集數(shù)據(jù)。來自教師的數(shù)據(jù)包括教學(xué)設(shè)計、教學(xué)錄像、教學(xué)反思日志、課前和課后測試單。

3.對學(xué)生的后測

（1）理論模型

本文以斯根普的理解模型為理論依據(jù)，把學(xué)生的理解分為以下三種類型（如表1），以這三類理解為標準判斷學(xué)生對倒推策略的理解情況。

（2）后測材料

用盡可能多的方法（可用文字、算式、畫圖等）表示解決以下問題的過程。

問題1 有一位老人說：“把我的年齡加上12，再除以4，接著減去15，最后乘10，恰好是100歲。”求這位老人的年齡。

問題2 學(xué)校運來36棵樹苗，樂樂與歡歡兩人爭著去栽，樂樂先拿了若干樹苗，歡歡看到樂樂拿得太多，就搶了10棵，樂樂不肯，又從歡歡那里搶回來6棵，這時樂樂拿的棵數(shù)是歡歡的2倍。問：最初樂樂拿了多少棵樹苗？

問題3 糧庫內(nèi)有一批面粉，第一次運出總數(shù)的一半多3噸，第二次運出剩下的一半少7噸，還剩4噸。問：糧庫內(nèi)原有面粉多少噸？

問題4 糧庫里有120噸面粉，第一次運出總數(shù)的一半多2噸，第二次運出剩下的一半少7噸，現(xiàn)在還有多少噸面粉？

問題5 結(jié)合問題3和問題4，說說在什么情況下需要用倒推的策略來解決問題。

（3）計分標準

根據(jù)學(xué)生的回答，參照表1的理解類型，對學(xué)生的理解進行分類并計分（如表2）。

三、結(jié)果與分析

1.學(xué)習(xí)路徑A

（1）學(xué)習(xí)路經(jīng)A的呈現(xiàn)

W教師獨立備課，并在甲班上課。根據(jù)課堂實錄，歸納出第一次設(shè)計與實施的學(xué)習(xí)路徑A（如圖2）。

首先，從前測已知學(xué)生對于簡單的一步還原問題掌握得還是非常到位的，正確率高達94.59%，但是對于較復(fù)雜的類似于“幾分之幾多幾”的多步還原問題，學(xué)生的正確率卻只有62.16%。因此以簡單的一步還原問題作為任務(wù)1，旨在讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過直觀表征的方式理解題中信息，進而用倒著想的方法解決問題，最后能夠?qū)⒗斫獾膬?nèi)容抽象為算式。

其次，出示任務(wù)2，旨在讓學(xué)生在復(fù)雜情境中獨立整理題目中的信息，用倒著想的方法解決問題，能夠列出算式。

最后，出示任務(wù)3，旨在讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過列表的方式整理信息，并用倒著想的方法解決問題，能夠列出算式。

（2）教學(xué)效果

教學(xué)結(jié)束后，對甲班學(xué)生進行后測，學(xué)生不同理解類型的平均得分如表3所示。

工具性理解得分為0.324，說明部分學(xué)生對于還原問題還停留在表象階段，記住的僅僅是加變減、乘變除以及運算順序需要相反的規(guī)則，但不理解這一規(guī)則背后的意義。

關(guān)系性理解得分為0.432，而形式性理解得分為0.243，主要原因有以下三點：

①形式性理解對于學(xué)生而言認知難度較高;

②部分學(xué)生解題時需要借助線段圖整理信息，但在復(fù)雜情境中無法將線段圖直接轉(zhuǎn)換成算式;

③W教師在課堂上過分強調(diào)用畫圖的方式整理信息，忽視了對學(xué)生倒著想的方法的引導(dǎo)和思維的訓(xùn)練。

（3）問題分析

①不會直觀表征。學(xué)生是通過線段圖來整理信息，進而列出算式的，而真正的直觀理解應(yīng)該是看圖即可知道結(jié)果，不需要再次進行計算。

②難以抽象成算式。教師著重于信息的整理，對于倒著想的方法的引導(dǎo)比較少，進而使得學(xué)生抽象理解不到位，抽象成算式的能力較弱。

③分率問題對倒推造成干擾。任務(wù)1導(dǎo)致大部分學(xué)生陷入了“單位1”是否已知的怪圈，因為學(xué)生看到分數(shù)就自然而然想到了分數(shù)應(yīng)用題，不會從倒推的角度去思考問題。

④時間分配不合理。任務(wù)1耗時過長，以至于后面的任務(wù)2匆忙，任務(wù)3來不及出示。

（4）改進建議

①替換任務(wù)1。教師發(fā)展指導(dǎo)者L在教學(xué)研討中提出：任務(wù)1容易對學(xué)生造成干擾，使學(xué)生陷入解決分率問題的怪圈，并不適合放在課始，應(yīng)當改為從整數(shù)出發(fā)的還原問題，并在學(xué)生提出用線段圖或者流程圖以后，補充列表的方法。這樣一來，3種整理信息的方法都在任務(wù)1中有所體現(xiàn)，且從整數(shù)出發(fā)，學(xué)生不會將其與分率問題混淆，倒推的味道更濃，學(xué)生也更容易從倒著想的方法出發(fā)解題。

②增加對比練習(xí)。教師發(fā)展指導(dǎo)者Q在教學(xué)研討中提出：還原問題的特點是已知現(xiàn)在的情況，探索原來的情況。但是現(xiàn)實中，還原問題不過是諸多現(xiàn)實問題中的一個種類，所以在教學(xué)新知后，需要出示兩道對比練習(xí)題，讓學(xué)生體會遇到什么類型的問題適合用倒推的策略去解決。

2.改進后的學(xué)習(xí)路徑B

（1）學(xué)習(xí)路徑B的呈現(xiàn)

經(jīng)過對學(xué)習(xí)路徑A的課后反思與討論，W教師重新修改教學(xué)設(shè)計，在乙班實施了學(xué)習(xí)路徑B（如圖3）。

（2）教學(xué)效果

教學(xué)結(jié)束后，W教師對學(xué)生實施了后測，結(jié)果如表4所示。

比較表3和表4可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的工具性理解的得分明顯下降，形式性理解的得分顯著上升，關(guān)系性理解的得分基本持平，這與教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生倒著想并用自己的話解釋倒推的過程這一設(shè)計是密不可分的。此外，形式性理解的提升還與教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生進行對比練習(xí)，進而總結(jié)出還原問題的一般規(guī)律有關(guān)。總體來說，學(xué)生在還原問題的理解上取得了一定的進步，說明這一學(xué)習(xí)路徑的優(yōu)化確實可行。

四、結(jié)論與建議

1.結(jié)論

W教師預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)路徑A中的任務(wù)1太過注重教授學(xué)生用畫圖的策略去整理信息，而忽視了對學(xué)生運用倒推策略的引導(dǎo)。在經(jīng)過教師發(fā)展指導(dǎo)者L和Q的干預(yù)后，W教師重新進行任務(wù)單的設(shè)計。從不涉及分率的問題出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生用倒著想的方法去解決問題，讓學(xué)生自由交流解決問題的具體過程，自然生成線段圖、流程圖、列表的信息整理方法，最后利用兩道對比練習(xí)題（任務(wù)4）引導(dǎo)學(xué)生思考在什么樣的情況下適合用倒推的策略解決問題。

對比甲、乙兩個班學(xué)生的后測數(shù)據(jù)可知，優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑后，學(xué)生工具性理解的得分明顯下降，而形式性理解的得分顯著上升。

2.建議

（1）弱化整理信息的策略教學(xué)

倒推策略和逆向思維的培養(yǎng)是本節(jié)課的教學(xué)重點和教學(xué)目標，但還有一個重要的過程性策略，那便是畫圖整理題中的信息。不少教師在教學(xué)時往往會本末倒置，習(xí)慣性依托畫圖來解釋解決問題的過程，忽視了對于學(xué)生倒推策略和逆向思維的培養(yǎng)。因此，教師在教學(xué)該內(nèi)容時要弱化整理信息的策略教學(xué)。

（2）任務(wù)設(shè)計的指向性要明確

如果任務(wù)設(shè)計從含有分率的還原問題出發(fā)，那么學(xué)生在思考如何解決問題時就容易從解決分率問題的角度入手，這樣一來便不利于教學(xué)的開展。因此，教師在設(shè)計任務(wù)時指向性要明確，要有意識地引導(dǎo)學(xué)生從倒推的角度思考解決問題的方法。

（責編 金 鈴）