任靖

[摘? 要] 文章從2022年新高考全國Ⅰ卷第8題的多種解法出發(fā)，回歸教材進行變式，探究球內(nèi)接正四棱錐體積的范圍，并且進一步探究球內(nèi)接正四棱柱與正四棱臺的體積的變化特征.

[關(guān)鍵詞] 內(nèi)接幾何體;外接球;體積

[?]試題呈現(xiàn)與問題初探

2022年新高考全國Ⅰ卷第8題：

已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上. 若該球的體積為36π，且3≤l≤3，則該正四棱錐體積的取值范圍是（? ）

上述四種解法思路主要是設(shè)邊長為未知量或夾角為未知量，通過勾股定理及相應(yīng)的公式表示出球內(nèi)接正四面體的體積與側(cè)棱長的關(guān)系，再通過求導(dǎo)或均值不等式得到體積的范圍. 解題思路殊途同歸，可以觀察到這道高考題給我們的啟示，即當外接球的半徑確定時，可以用正四棱錐的側(cè)棱長表示正四棱錐的體積;反過來，當正四棱錐的側(cè)棱長和體積確定時，可以表示其外接球的半徑么？

[?]回歸教材與問題再探

人教A版必修第二冊第169頁的第4題如下：

如圖2所示，一塊邊長為10 cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分.將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，把容器的容積V（單位：cm3）表示為x（單位：cm）的函數(shù).

通過教材中的這道題可知，在已知正四棱錐側(cè)面的底邊和高的情況下，可以在側(cè)面的等腰三角形中通過勾股定理算出側(cè)棱長，此時正四棱錐的體積就能表示出來了. 聯(lián)系2022年的這道高考題，我們可否將外接球的半徑表示出來呢？于是將題目改編如下，并進行解答：

變式1：如圖2所示，一塊邊長為10 cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分.裁下陰影部分后，用剩下的四個全等的等腰三角形組成一個正四棱錐，若正四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面邊長為x（單位：cm），且2≤x≤8，則該球的表面積的范圍為________.

解：如圖3可知，組成的正四棱錐滿足BC=AB=AD=DC=x，取BC的中點M，則PM=5，過P作PQ⊥平面ABCD且交于點Q，則Q為正方形ABCD的中心，球心O在直線PQ上，設(shè)球的半徑為R.

通過這道根據(jù)教材改編的題目可知，當正四棱錐的側(cè)棱長確定時，可以表示出其外接球的半徑，給定側(cè)棱長的范圍后也可以求出其外接球半徑的范圍. 那其他幾何體是否也有類似的情況呢？接下來探究正四棱柱與正四棱臺兩種情況.

[?]觸類旁通與相關(guān)探究

與球內(nèi)接正四棱錐相比，由于球內(nèi)接正四棱柱的對稱性，體積表示起來會更加簡單.

變式2：已知正四棱柱的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上，若該球體的半徑為3，且2≤l≤4，則該四棱錐體積的取值范圍是_______.

解：如圖4所示，球心O在正四棱柱上下底面中心的連線PQ的中點上，則PQ=l，OQ=OP=，AO=R=3，則AQ==.

令f（x）=-+18l，則f′（x）=-l2+18，l∈[2，4]. 由導(dǎo)函數(shù)的圖像可知，當l=2時（V）=24，當l=2時（V）=32. 所以該正四棱柱體積的取值范圍為[32，24].

由于正四棱臺有上底邊長、下底邊長和側(cè)棱長等多個量，在已知球體半徑的前提下，接下來的探究中，以知道正四棱臺的高的情況進行討論.

變式3：已知正四棱臺的高為4，所有的頂點都在同一球面上，若該球的半徑為3，則該正四棱臺體積的取值范圍是__________.

解：由圖5可知，正四棱臺ABCD-ABCD外接球的球心O在上底面與下底面的中心連線OO上，且OO=4，外接球的半徑R=OB=OB=3.

我們知道，棱柱、棱臺、棱錐這三個幾何體在高與下底面的面積都相等的情況下，三者的體積從左往右是遞減的. 而當正四棱臺的高與其外接球的半徑是一個定值時，可以想象這個正四棱臺在球體內(nèi)進行著上下移動，其上底面與下底面的面積在變化，那么這個正四棱臺的體積又是如何變化的呢？通過變式，即當正四棱臺的上底面和下底面的面積都在變化時，可以得到一個結(jié)論：當正四棱臺運動（指上底面和下底面的面積在變化）到接近正四棱錐時體積最小，當正四棱臺運動到接近正四棱柱時體積最大. 證明如下：

如圖5所示，設(shè)正四棱臺ABCD-ABCD的高為h，其外接球的半徑為R，正四棱臺外接球的球心為O，上底面的中心為O，下底面的中心為O，球心O在上底面與下底面的中心連線OO上.

>0，即當正四棱臺的上底面的中心與球心的距離OO越接近時，t越接近最大值，體積也越大;當OO越遠離時，t越接近最小值，體積也越小. 即當正四棱臺的高與外接球半徑為定值時，正四棱臺運動到接近正四棱柱時體積越大，運動到接近正四棱錐時體積越小.

[?]結(jié)束語

球內(nèi)接幾何體的體積問題需要學(xué)生具備較好的空間想象能力與直觀想象素養(yǎng)，分析并找到圖形中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵. 這不僅要求學(xué)生能夠通過數(shù)量關(guān)系去刻畫，更需要學(xué)生回歸教材，足夠了解課本中的基礎(chǔ)知識，如線面垂直關(guān)系、幾何體的結(jié)構(gòu)特征、幾何體表面積和體積的計算、不等式或?qū)Ш瘮?shù)的應(yīng)用，只有足夠熟悉才能將知識點串聯(lián)起來，水到渠成并更加自然地解決問題.

外接球的問題遠遠不止這一種，對于一個問題的解決我們可以思考多種方法和思路，對于一個問題我們可以探究多種相似的問題，這樣才更容易理解問題的來龍去脈，更容易理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，更容易培養(yǎng)出數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣與眼光，這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).