高睿

把若干元素按照一定的規(guī)則分配給若干人或?qū)ο蟮膯栴}，就是分配問題.分配問題的命題形式多樣，解法獨(dú)特.下面重點(diǎn)談一談兩類分配問題的解法.

一、相同元素的分配問題

把相同的 n 個(gè)元素分配給 m 個(gè)不同的對(duì)象，若n > m ，且每個(gè)對(duì)象至少分得1個(gè)元素，則需采用隔板法求解，即將 m -1個(gè)隔板插入 n -1個(gè)間隙中（ n 個(gè)元素之間可形成 n -1個(gè)間隙），則共有 C種分法;若n < m ，且每個(gè)對(duì)象至多分得1個(gè)元素，則需從 m 個(gè)對(duì)象中選取 n 個(gè)，每個(gè)對(duì)象得1個(gè)元素，共有 C m（n）種分法.

例1.將10個(gè)相同的球放進(jìn)7個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)球，一共有幾種放法？

解析：由于球多，盒子少，且球是無差別的，因此本題本質(zhì)上是一個(gè)分配問題，可以用隔板法求解.

第一步，將10個(gè)球排成1排，其中間可形成9個(gè)空隙;第二步，在9個(gè)空隙中任意插入6個(gè)隔板，這樣就將10個(gè)球分成7部分，如圖所示（圖中圓圈代表相同的10個(gè)球，V代表空隙，虛線代表隔板，該圖表示在從左到右的7個(gè)盒子中依次放入1，2，1，1，1，1，3個(gè)球，這是其中1種放法），故共有 C 9（6）=84種放法.

例2.將5個(gè)相同的球放進(jìn)7個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子只能放1個(gè)球，則一共有幾種放法？

解析：將5個(gè)相同的球放進(jìn)7個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子只能放1個(gè)球，相當(dāng)于在7個(gè)盒子中選擇5個(gè)盒子，將5個(gè)球放進(jìn)去，且每個(gè)盒子放1個(gè)球.

因?yàn)楦鱾€(gè)盒子均有所不同，所以只要選出5個(gè)盒子，在每個(gè)盒子中放入1個(gè)球即可，一共有 C 7（5）= 21種放法.

解答相同元素的分配問題時(shí)，要明晰元素 n 與分配對(duì)象 m 的個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系，n < m 和 n > m 屬于2種不同的情形.

二、不同元素的分配問題

不同元素的分配問題分為不同元素的定向分配問題和不同元素的不定向分配問題.對(duì)于不同元素的定向分配問題，只需分步討論元素的選取方法數(shù)和定向分配給對(duì)象的方法數(shù)，即可根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理解題;對(duì)于不定向分配問題，需先選定分配的對(duì)象，再安排元素的分法，在解題時(shí)要避免重復(fù)計(jì)數(shù).

例3.將6本不同的書分配給甲、乙、丙3個(gè)人，要求甲1本，乙2本，丙3本，則一共有多少種分法.

解析：題目中的分配對(duì)象很明確，本題屬于定向分配問題.將書分配完，需分3步進(jìn)行，首先從6本書中選出1本分給甲，有 C16種方法，然后從剩下的5本書中選出2本分給乙，有 C25種方法，再將剩下的3本分給丙，有 C33種方法，所以共有 C16 C25 C33 =60種分法.

例4.將6本不同的書分配給甲、乙、丙3個(gè)人，每人2本，則一共有多少種分法.

解析：題目中的分配對(duì)象不明確，本題屬于不定向分配問題.將書分配完，需分3步進(jìn)行，先從6本書中選出2本分給甲，有 C26種方法，然后從剩下的4本書中選出2本分給乙，有 C24種方法，再將剩下的3本分給丙，有 C22種方法，共有 C26 C24 C22 =90種方法.

例5.將6本不同的書分配給甲、乙、丙3個(gè)人，一人1本，一人2本，一人3本，則一共有多少種分法.

解析：到底是誰得1本、2本、是3本，我們不確定，需先將書成3份，再分配給3人.第一步，從6本書中任選出1本給甲、乙、丙中的一人，有 C13C16種方法;第二步，從剩下的5本書中選出2本分給剩下的2人中的1人，有 C12C25種方法;最后，將剩余的3本書發(fā)給最后1人，有1種方法.因此一共有 C13C16C12C25 =360種分法.

例6.將6本不同的書分配給甲、乙、丙3個(gè)人，1人4本，另2人各1本，則一共有多少種分法.

解析：首先從3人中選1人得4本書，有 C13種選法，接著從6本書中任選出4本書，有 C46種方法，則一共有 C13 C46 =45種方法，再將剩余的2本書分給2人，有2種方法，所以一共有 C13 C46 ×2=90種方法.

例3中的分配對(duì)象和書本數(shù)確定，屬于定方向分配問題，例4、例5、例6中只確定了書本數(shù)，分配對(duì)象卻不確定，因而屬于不定向分配問題.在解題時(shí)，需注意兩種分配問題的區(qū)別，前者對(duì)分配對(duì)象有要求，后者對(duì)分配對(duì)象沒有要求.

相同元素的分配問題與不同元素的分配問題之間的區(qū)別在于元素是否相同，若元素相同，則不需考慮元素之間的差異，選定對(duì)象即可進(jìn)行分配;若元素不相同，需考慮元素之間的差異，要根據(jù)題目要求選擇元素，再選定分配對(duì)象，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.