伍俊

離心率是橢圓和雙曲線的重要性質(zhì)，因而離心率的取值范圍問題主要考查橢圓和雙曲線的方程、幾何性質(zhì)及定義.此類問題對同學(xué)們的分析和邏輯思維能力有較高的要求.筆者著重研究了一道離心率的取值范圍問題，對其解法進行了總結(jié).下面談?wù)剛€人的一些看法，供大家參考.

例題：設(shè)橢圓 C：+= 1（a > b >0）的左焦點為F，直線 l： y =kx（k >0）與橢圓 C 交于 A，B 兩點.若 AF⊥ BF， ∠FAB ∈0， ，則橢圓 C 的離心率的取值范圍是??? .

該題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的方程、焦點，直線的斜率、方程、傾斜角.解答本題，需首先從已知 AF⊥ BF， ∠FAB ∈0， 條件入手，尋找解題的思路.

方法一：利用三角函數(shù)的有界性

在求解取值范圍問題、最值問題時，我們經(jīng)常要用到函數(shù)、三角函數(shù)的有界性.這就需要將問題與角度關(guān)聯(lián)起來，如根據(jù)三角函數(shù)的定義，根據(jù)直線的傾斜角和斜率公式，根據(jù)圓錐曲線與直線的參數(shù)方程等，來構(gòu)造三角函數(shù)關(guān)系式.將圓錐曲線的離心率用三角函數(shù)關(guān)系式表示出來，通過三角恒等變換化簡目標(biāo)式，便可運用三角函數(shù)的有界性來求得離心率的取值范圍.

解法1：設(shè)右焦點為 F1，因為 AF⊥ BF ，

則根據(jù)橢圓和直線 y =kx的對稱性易知四邊形 AFBF1是矩形，如圖所示.

我們根據(jù)橢圓和直線的對稱性，將 BF 轉(zhuǎn)化為 AF1 ，將 | AF | 與 | AF | 1 用角 θ 表示出來，再根據(jù)橢圓的定義和離心率公式求得e的表達式，并將其轉(zhuǎn)化為只含正弦函數(shù)的式子，便可根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得離心率e的取值范圍.

解法2

將點A的坐標(biāo)用角 θ 表示，根據(jù)曲線上的點的坐標(biāo)滿足曲線的方程，將點 A 代入橢圓方程，得出 cos 2 2θ ，再根據(jù) θ 的取值范圍求出 cos 2 2θ 的取值范圍，即可得到e的取值范圍.解答本題，主要利用了余弦函數(shù)的有界性.

解法3

此解法是將直線 AB 的方程 y = kx與圓的方程 x 2 + y2 = c 2 聯(lián)立，求出 x 2 、y2 后，將其代入橢圓方程求得 k2 ，便可根據(jù)直線的斜率公式，建立關(guān)于 θ 的三角函數(shù)式，根據(jù) θ 的取值范圍以及正切函數(shù)的有界性快速求得k的取值范圍，進而得到e的取值范圍.在解答圓錐曲線離心率問題時，要注意靈活運用圓錐曲線方程中a、b、c的關(guān)系來進行等量代換，以便得到關(guān)于a、c 的式子，求得e的取值或取值范圍.

解法4

將m、n用 θ 表示出來，就能求得e的表示式，然后利用對勾函數(shù)的性質(zhì)和正切函數(shù)的有界性即可求得e 的取值范圍.該思路較為簡單，但運用該思路解題的運算量較大.

解法5

該解法主要利用三角形的面積公式來建立關(guān)系式 SΔAFB = SΔAFF1 ，結(jié)合焦點三角形的面積公式將 1 e 2 - 1 用 sin 2θ 表示出來，便可根據(jù) sin 2θ 的有界性求出e的取值范圍.解法5與解法1類似，都是利用正弦函數(shù)的有界性使問題得解.

方法二：利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)

在求解圓錐曲線的離心率時，要重點討論橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì).常見的性質(zhì)有橢圓的范圍為-a≤ x ≤ a，- b ≤ y ≤ b，其對稱軸為坐標(biāo)軸，對稱中心為（0，0）， a、b、c的關(guān)系為：c 2 = a2 +b 2 ;雙曲線的范圍為 x ≥ a 或 x ≤ - a，y∈R，其對稱軸為坐標(biāo)軸，對稱中心為（0，0），a、 b、c的關(guān)系為：a2 = c 2 +b 2 等.根據(jù)這些幾何性質(zhì)以及圓錐曲線的圖形，便可建立關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，最后根據(jù)離心率公式 e = c a ，即可求得 e 的取值或取值范圍.

解法6

此解法主要是根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)以及∠FAB ∈ ? è ù ? 0， π 12 ，討論了極端情形，即當(dāng)∠AOx = π 6 時的情況，將 |OA| 2 的長度用 a、b 表示，再結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì) |OA| ≤ c 得到 6 3 ≤ e < 1 .

相比較而言，第二種方法較為簡單，但須仔細觀察圖形;第一種方法較為復(fù)雜，且解題過程中的運算量較大，但比較容易建立關(guān)系式.在解答圓錐曲線的離心率問題時，同學(xué)們要靈活運用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，建立角的關(guān)系式，根據(jù)三角函數(shù)的有界性來求得離心率的取值范圍.