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        由一道四點(diǎn)共圓問題引發(fā)的思考

        2022-05-30 10:48:04劉暉
        關(guān)鍵詞:共圓弦長關(guān)系式

        劉暉

        四點(diǎn)共圓問題的常見命題形式是:(1)根據(jù)已知條件,判斷四點(diǎn)是否共圓;(2)根據(jù)已知條件,證明四點(diǎn)共圓.這類問題的運(yùn)算量較大,求解過程較為繁瑣,通常需靈活運(yùn)用直線的方程、直線的斜率,圓的定義、圓的方程、圓的性質(zhì)、弦長公式,一元二次方程的韋達(dá)定理、判別式等來求解.本文結(jié)合2021年湖南師大附中5 月聯(lián)考的第22題,談一談四點(diǎn)共圓問題的解法.

        題目:

        第一個(gè)小問題較為簡單,只需設(shè)出直線的方程,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,構(gòu)造一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理和判別式進(jìn)行求解即可.這里主要討論第二個(gè)小問題的解法.需先畫出如圖所示的圖形,以便明確點(diǎn)、直線、橢圓的位置及其關(guān)系,再結(jié)合題意來尋找解題的思路.

        思路一:利用圓的相交弦定理

        我們知道,有關(guān)圓的性質(zhì)、定理很多,其中用得較多的有垂徑定理、相交弦定理.相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.解答四點(diǎn)共圓問題時(shí),可根據(jù)題意找到兩條相交弦,分別求得其線段的長,根據(jù)相交弦定理建立關(guān)系式,即可判斷四點(diǎn)是否共圓.

        解法1

        解答本題,需根據(jù)圓的相交弦定理得到關(guān)系式 AN2 = CN?ND ,建立關(guān)于k的關(guān)系式,再根據(jù)方程的性質(zhì)求得 y0 的值.在求得兩條相交弦的弦長時(shí),需用到弦長公式和兩點(diǎn)間的距離公式.

        解法2

        解答本題主要運(yùn)用了圓的相交弦定理,得到關(guān)系式 NC ? ND = NA ? NB,然后根據(jù)直線的方程和韋達(dá)定理表示出該式,建立關(guān)于 λ和k 的方程,便可獲解.相對(duì)解法1而言,解法2的計(jì)算量有所減少.

        解法3

        過點(diǎn) (x0,y0) 、傾斜角為 α 的直線的參數(shù)方程為 {x = x0 + t cos α, y = y0 + tsin α,其中t表示直線 l 上以定點(diǎn)M0 (x0,y0) 為起點(diǎn),任意一點(diǎn)M(x,y)為終點(diǎn)的有向線段∣M0M∣的長. 若直線 l 上兩點(diǎn)A、B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA、tB,則A、 B兩點(diǎn)之間的距離為 |AB| = |tA - tB|. 在解答四點(diǎn)共圓問題時(shí),可將四點(diǎn)連接起來,用直線的參數(shù)方程的幾何意義來表示圓的相交弦長,便可根據(jù)圓的相交弦定理建立關(guān)系式,求得問題的答案.

        思路二:構(gòu)建圓系方程

        圓系方程是一種特殊的方程.在解析幾何中,符合某些特定條件的圓構(gòu)成一個(gè)圓系,一個(gè)圓系有共同的方程稱為圓系方程.例如,經(jīng)過直線 Ax + By + C = 0與圓 x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的交點(diǎn)的圓系方程可表示為 x 2 + y2 + Dx + Ey + F + λ(Ax + By + C)=0. 在解答四點(diǎn)共圓的問題時(shí),可根據(jù)題意找到圓的共同點(diǎn),據(jù)此建立圓系方程,進(jìn)而判斷四點(diǎn)是否共圓.

        解:

        解答本題,需根據(jù)直線AB與CD有交點(diǎn)建立二元二次方程,根據(jù) A、B、C、D 四點(diǎn)共圓建立圓系方程,得到關(guān)于k、λ 的方程,求得 y0的取值范圍. 這種解法的特點(diǎn)在于思路新奇,計(jì)算量比較小.

        由此可見,解答四點(diǎn)共圓問題,需從圓的方程、性質(zhì)入手,構(gòu)建圓系方程,利用圓的相交弦定理來求解. 值得注意的是,四點(diǎn)共圓問題的難度較大,運(yùn)算量也較大,同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要謹(jǐn)慎計(jì)算,避免出錯(cuò).

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