王嵐

學(xué)習(xí)知識(shí)一定要活學(xué)活用，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)亦是如此，切記不能生搬硬套、墨守成規(guī).“看菜吃飯，量體裁衣”，說(shuō)的也是這個(gè)道理.我們一定要根據(jù)實(shí)際情況靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

例1 甲、乙兩人分別在六次射擊中的成績(jī)（單位：環(huán)）如右表所示：你知道在六次射擊中成績(jī)發(fā)揮比較穩(wěn)定的是哪一位嗎？

思路點(diǎn)撥：看過(guò)此題就知道是要比較穩(wěn)定性，有的同學(xué)立刻聯(lián)想到老師講過(guò)的規(guī)律，“方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越小，該組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定;方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大，該組數(shù)據(jù)就越不穩(wěn)定”，從而得出結(jié)論.這種做法有點(diǎn)墨守成規(guī)，計(jì)算起來(lái)比較麻煩.仔細(xì)觀察兩組數(shù)據(jù)就會(huì)發(fā)現(xiàn)：甲組數(shù)據(jù)的極差是：8 - 6 = 2，乙組數(shù)據(jù)的極差是：9 - 5 = 4，且甲組數(shù)據(jù)中有3對(duì)相同的數(shù)據(jù)，乙組數(shù)據(jù)中僅有2對(duì)相同的數(shù)據(jù). 另外甲組數(shù)據(jù)中有2個(gè)數(shù)等于平均數(shù)7，而乙組數(shù)據(jù)中沒(méi)有等于平均數(shù)的數(shù)據(jù). 據(jù)此斷定甲組數(shù)據(jù)波動(dòng)小，也就是說(shuō)甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，根本沒(méi)有必要計(jì)算方差.

例2? 如圖1，?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F. 求證：OE = OF.

馬小虎同學(xué)不假思索地做出如下證明：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA = OC.

∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO = ∠CFO = 90°.

∵∠1 = ∠2，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE = OF.

這種證法看似天衣無(wú)縫，其實(shí)卻有漏洞.通過(guò)證明△AOE與△COF全等，然后利用“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”來(lái)證明OE = OF，這個(gè)證明思路沒(méi)有問(wèn)題. 不過(guò)為什么會(huì)有“∠1 = ∠2”呢？他竟理直氣壯地回答：“∠1與∠2是對(duì)頂角，當(dāng)然相等.” ∠1與∠2真是對(duì)頂角嗎？假如∠1與∠2是對(duì)頂角，那么點(diǎn)E，O，F(xiàn)三點(diǎn)應(yīng)該在一條直線上.可是從已知條件中無(wú)法得出這個(gè)結(jié)論. 俗話說(shuō)，“條條大道通羅馬”. 由于證明E，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線既困難又麻煩，因此我們可以繞過(guò)這個(gè)“關(guān)卡”，避免證明E，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線. 下面提供三種思路.

思路點(diǎn)撥：方法一：從證明∠EAO = ∠FCO入手，證明△AOE≌△COF.

方法二：由OE，OF分別是△AOD與△BOC的高，聯(lián)想“全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等”，可以考慮證明△AOD≌△COB.

方法三：由高聯(lián)想面積，要證OE = OF，由于AD = BC，可以考慮證明△AOD與△BOC的面積相等.

由此看來(lái)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不要“鉆牛角尖”，要注意“避其鋒芒”，換一個(gè)角度，曲徑通幽，會(huì)達(dá)到“柳暗花明”的境界.

例3 如圖2，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = BC = 2，D是線段AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且DE⊥DF，則四邊形DECF的面積 = .

思路點(diǎn)撥：常規(guī)解法：如圖3，連接CD，證明△ADE≌△CDF（或△CDE≌△BDF），將S四邊形DECF轉(zhuǎn)化為S△ADC（或S△BDC），從而有S四邊形DECF = [12]S△ABC = [12] × [12] × 2 × 2 = 1.

特殊解法：正方形有如下性質(zhì)：兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形，如果其中一個(gè)正方形的頂點(diǎn)經(jīng)過(guò)另一個(gè)正方形的中心（兩條對(duì)角線的交點(diǎn)），那么這兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于其中一個(gè)正方形面積的[14]. 即如圖4，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A'B'C'O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等. 設(shè)OA'交AB于點(diǎn)E，OC'交BC于點(diǎn)F，則S四邊形BEOF = [14]S正方形ABCD = [14]S正方形A'B'C'O. 運(yùn)用正方形的這個(gè)性質(zhì)，就能根據(jù)圖4將圖2補(bǔ)成圖5，直接得出正確答案.

希望以上三例對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會(huì)有一定啟發(fā). 活學(xué)活用能讓思維更加靈活，同時(shí)還能讓我們感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)！

（作者單位：福建省石獅市石光中學(xué)）