陳雨 梁宇

【摘要】本文立足小學數學教材“一標多本”、各版本教材各有獨特之處的現實，以及“式與方程”教學內容在小學數學教學內容中的獨特地位，對小學數學人教版教材和北師大版教材“式與方程”中的例題，從編排結構、選材背景、呈現方式三個不同的角度展開比較研究，以此豐富教師對“式與方程”教學內容的認識，為教師提高課堂教學效益提供參考。

【關鍵詞】小學數學式與方程 例題 比較研究

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）22-0053-04

“式與方程”既是小學生數學學習的重要內容之一，也是小學生數學學習的一個重要轉折點：這是小學生第一次接觸代數領域的知識，并將由此開啟數學學習從具體思維向抽象思維的過渡。因此，“式與方程”的教學內容應該引起小學數學教師的重視，在進入課堂實施教學之前務必做好充分的準備。

教材是重要的課程資源。當前，全國各地小學數學教材呈現“一標多本”格局。每個版本教材依照課程標準的要求彰顯學科本質，同時在編寫上各有其獨到之處?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》在內容標準部分，對“式與方程”明確了四點要求：在具體情境中能用字母表示數;結合簡單的實際情境，了解等量關系，并能用字母表示;能用方程表示簡單情境中的等量關系（如3x+2=5，2x-x=3），了解方程的作用;了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程。鑒于“式與方程”內容的重要性，為豐富教師對“式與方程”的認識，本文將聚焦“式與方程”中的例題，從例題的編排結構、選材背景、呈現方式三個不同的角度，對人教版（人民教育出版社出版的簡稱）教材和北師大版（北京師范大學出版社出版的簡稱）教材進行比較研究。

一、例題的編排結構比較

“式與方程”的內容在人教版和北師大版小學數學教材中的編排情況既有相同也有差異，具體表現在編排冊次和內容特點兩個方面，如表1所示。

（一）從編排冊次及單元歸類看，兩個版本教材的編排明顯不同

整體上看，人教版教材和北師大版教材關于“式與方程”的例題內容，所呈現的知識點基本相同，只是編排在了不同的冊次，且單元歸類不同。人教版教材的編排相對集中，統一安排在五年級上冊的第五單元，并將單元命名為“簡易方程”，例題中涉及的知識點主要包括用字母表示數、理解方程的意義、了解等式的性質、解方程、用方程解決實際問題等，內容系統、全面，知識難度層層遞進，符合學生的認知規(guī)律，容易被學生接受;北師大版教材將“式與方程”分成了兩個部分，分別安排在四年級下冊和五年級下冊，四年級下冊第五單元“認識方程”通過趣味性的兒歌激發(fā)學生對a只青蛙嘴、眼、腿數量的思考，編排的知識點包括用字母表示數、通過天平引出等量關系、用方程表示等量關系等，五年級下冊第七單元“用方程解決問題”主要是將解方程和實際問題相結合。

（二）從內容特點看，兩個版本教材編排的例題內容各有千秋、同中有異

首先，兩個版本的教材都重視知識點“用字母表示數”。用字母表示數是“式與方程”整個內容的基礎，學生能夠靈活運用字母表示數才可以思路清晰地解決實際生活中的方程問題，因此，兩個版本都將知識點“（用）字母表示數”獨立編排在了第一節(jié)。人教版教材較重視學生學習的實際情況，考慮到了學生在日常生活中已經接觸了字母知識，所以教材直接用含有字母的式子展開教學，引導學生在具體的生活情境中用字母表示數、結合所學運算定律和具體的生活情境用含有字母的式子表示簡單的數量關系。北師大版教材更加重視提供生動、有趣的學習情境，引導學生結合具體情境，通過找規(guī)律探索例題中a只青蛙嘴、眼、腿的數量，體會用字母表示數的必要性和優(yōu)越性，促進學生對用字母表示數的理解。

其次，兩個版本的教材都強調以等式的性質為依據，直觀地呈現方程。等式的性質是解決方程問題的重要途徑，兩個版本的教材都是通過引導學生觀察天平左右兩邊物體的重量關系，幫助學生直觀地認識方程兩邊同時加上或減去同一個數、乘同一個數或除以同一個不為0的數，方程仍然相等。人教版教材更加注重引導學生從整體上理解方程的意義和等量關系，逐步感悟方程的實質及其中所蘊含的等價思想、建模思想，突顯利用等式性質解方程的優(yōu)勢。如：解方程x-a=b，可以在等式兩邊同時加上一個a，即x-a+a=b+a，再用x=a+b表示結果，清晰地表現出用方程解題的便捷。北師大版教材更加注重結合學生的經驗，采用多種方式幫助學生抽象等式的性質，使學生更深刻地理解方程的概念和本質。

最后，兩個版本的教材都關注用方程表示簡單情境中的等量關系和用方程解決問題。列方程解決實際問題通常包括三個關鍵的步驟：一是根據題意找出等量關系;二是根據等量關系列出方程;三是通過計算求出方程的解，找到問題解決的正確答案。在列方程解決實際問題時，學生可以通過以上三個步驟清楚地理解實際問題中每個量之間的關系，認識到方程可以快速解決問題，從而感受到方程的便捷。人教版教材編排知識點“列方程解決實際問題”時，充分借助了實物直觀、幾何直觀，發(fā)揮數形結合的優(yōu)勢，將知識點抽離，適當分散了難點，提高了教學效率，對學生加強了數學應用意識的培養(yǎng)。北師大版教材編排知識點“列方程解決實際問題”時，更加重視從學生已有的知識和經驗出發(fā)，使學生實現自主理解，掌握相關解題技能，并借助不同的直觀模型幫助學生分析問題、解決問題，從而發(fā)展學生的模型意識和數學思維。

二、例題的選材背景比較

例題的背景選擇應適合學生的認知發(fā)展水平，情境創(chuàng)設應注重聯系現實生活，激發(fā)學生的學習興趣。本文將“式與方程”例題的背景來源分為三類，即真實情境、虛設情境和純數學情境。所謂真實情境，指的是結合現實生活引導學生進行學習的情境;所謂虛設情境，指的是貼近現實生活、相對理想化的虛構場景;所謂純數學情境，指的是用純粹的數字、符號等相對抽象的數學語言所創(chuàng)設的學習情境。兩個版本教材中例題的選材背景分布情況，如圖1所示。

由表1、圖1可知，人教版教材中例題的數量較多，知識點較細，且三種情境均有涉及，并在“用字母表示數”“解方程”“實際問題與方程”三處安排了較多的例題，適合大部分學生的學習需求;北師大版教材中例題的數量相對較少，基本每個知識點安排1個例題，雖然每個例題都設計了多彩的插圖，沒有出現純數學情境，學生的數學學習更富于趣味性，但是因為例題的數量較少致使內容的跳躍性較大，部分學生的思維能力可能會跟不上。展開來說，兩個版本教材在選材背景上的異同主要體現在三個方面。

首先，兩個版本教材中的例題均有真實情境，且人教版教材中真實情境例題的數量更多。真實情境例題通過引導學生用數學的眼光觀察現實世界，加深學生對生活的體悟。例如，人教版五年級上冊第五單元第一節(jié)“用字母表示數”中的例2，創(chuàng)設的真實情境是“在月球上，人能舉起物體的質量是地球上的6倍”，該情境中既包含了方程思想中的數量關系，又蘊含了一些對學生來說相對新穎的科學知識，可以使學生對現實生活產生更為深刻而獨特的感受。

其次，兩個版本教材中的例題均有虛設情境，且北師大版教材中一半的例題都采用了虛設情境。虛設情境通常以趣味性見長。例如，北師大版教材四年級下冊第五單元例2中的虛設情境是“原來這只鵝的質量相當于2只鴨子和1只雞的質量”，并用圖片展示了這種情境下天平保持平衡狀態(tài)的樣子，為學生學習等量關系做好了鋪墊。編者用日常生活中隨處可見的雞鴨鵝作“道具”并把它們分別放在天平的兩邊展開相應的數學學習，雖然未必合乎生活常理，但情境設置富于趣味。更重要的是，這樣的虛設情境以實物的方式直觀呈現，更有利于強化學生對數量關系的直觀感受。

最后，北師大版教材中沒有安排純數學情境的例題，人教版教材中有3道例題涉及純數學情境。顯然，純數學情境的抽象程度相對較高，對學生的數學認知水平的要求也相對較高。例如，人教版五年級上冊第五單元例3的第1小題，通過用字母表示四年級下冊第三單元已學的運算定律，讓學生逐漸走近“式與方程”。

三、例題的呈現方式比較

兩個版本教材例題的呈現方式有所不同，具體表現在知識的引入、問題的設置和插圖的設計三個方面。

（一）兩個版本教材例題中知識點“用字母表示數”的引入都采用了由個別到一般的思路

人教版教材中的例1用列表的方式表示了當小紅1歲、2歲、3歲……時爸爸的年齡，并提出問題“你能用一個式子簡明地表示出任何一年爸爸的年齡嗎？”啟發(fā)學生進行思考和嘗試。接下來，教師可以將學生的不同方法板書出來進行比較，使學生從中感受“用字母表示數”的優(yōu)越性。

北師大版教材中的例1用兒歌的形式數出1只、2只、3只……青蛙的腿數，然后設計問題1，讓學生“用a表示青蛙的只數，用字母表示淘氣說的兒歌”，使學生對有趣的兒歌進行深度思考，體會“字母表示數”的必要性。

（二）兩個版本教材例題中的問題設置在數量上基本相同，但設計意圖有所不同

兩個版本教材例題中的問題設置在數量上基本相同，如人教版教材中每個例題包含了2—3個問題，北師大版教材中每個例題包含了3—4個問題。但兩個版本教材例題中問題的設計意圖明顯不同。

人教版教材例題中設置的問題注重引導學生基于思考解決問題并進行小結。例如，人教版教材中的例4以倒果汁為背景，在例1至例3學習的基礎上，直接給出已知條件和3個問題。問題1要求學生“用含有字母的式子表示大杯果汁還剩多少千克”，目的在于引導學生理解題目的含義，嘗試獨立表示出題目中的數量關系——對于這個問題，學生一般都會感到相對容易。問題2要求學生代入數據得出兩級運算的值，使學生從中感受數學知識的實用價值——這對學生來說難度不大。到了問題3“想一想：式子中的字母可以表示哪些數？”，開始引導學生找出字母的取值范圍，難度明顯升級——學生可以在獨立思考的基礎上進行小組討論，然后全班交流，得出結論并進行小結。

北師大版教材每道例題中的問題依照循序漸進的原則，至少設計了3個意圖，即嘗試、體會、總結。例如，北師大版教材四年級下冊第五單元例3為了讓學生體會方程的重要性，激發(fā)學習興趣，總共設置了4個問題。問題1要求學生“說一說上面各圖中的等量關系”，而上面三幅圖其實代表了三種方程的類型：第一幅圖用加法表示等量關系，第二幅圖用乘法表示等量關系，第三幅圖用兩步計算表示等量關系。分層次設置情境的目的在于幫助學生由簡到繁地理解方程中的等量關系，發(fā)展學生的條理化思維。問題2和問題3引入了用字母表示未知數、結合具體情境表示等量關系的方程思想——學生通過自主思考后，可以將用文字描述的等量關系轉換成用含有字母的等式表示等量關系，從中體會方程的特點。問題4“上面的等式有什么共同點？與同伴進行交流”，以引導學生進行小結的方式，進一步加深學生對等式的理解，引導學生從前三個問題的等式中抽象出方程的特征，得出“像上面這樣含有未知數的等式叫方程”的結論。

（三）兩個版本教材例題中的插圖設計

兩個版本教材中的例題在插圖的設計上都有色彩鮮明、聯系實際生活的特點，能激發(fā)學生的學習興趣，但插圖的類型和數量呈現出不同的特點。根據功能的不同，我們將插圖分為裝飾型插圖、表征型插圖、解釋型插圖三個類型，其中：裝飾型插圖是用來美化課本，吸引學生注意力和學習興趣的插圖，對學生的數學學習沒有實質性的幫助;表征型插圖是指有助于學生學習概念性知識和事實性知識的插圖;解釋型插圖是指將難以理解的知識用通俗易懂的方式展現出來的插圖。三種類型的插圖數量在兩個版本教材例題中的分布情況如表2所示。

由表2可知，與人教版教材例題中的插圖情況相比，北師大版教材例題中的插圖不僅數量多且插圖類型豐富，插圖設計符合小學生的身心特點，能夠帶給學生更強烈的直觀感受。

裝飾性插圖雖然于數學學習沒有直接幫助，但對促進學生積極參與數學學習是有所幫助的。北師大版教材例題中使用了一個裝飾型插圖，用以拓展數學史上未知數的起源。雖然人教版教材例題中的插圖數量也不少，但未使用裝飾型插圖。

兩個版本教材例題中都使用了大量表征型插圖。例如，北師大版教材四年級下冊第五單元例4用8個天平插圖分別表示天平左右兩邊的相等關系，使學生更容易理解方程中的等量關系。

解釋型插圖以人教版教材例題為多。例如，人教版五年級上冊例7，小仙子用“等式就像平衡的天平，也具有同樣的性質”這句簡潔的話，便將平衡的天平同等式建立了直觀的聯系，使抽象的等式具象化，達到了促進學生理解的目的。

眾所周知，數學知識比較抽象，而小學生的具象思維活躍、抽象思維并不發(fā)達，導致他們很容易對數學產生理解困難。教材將知識點的學習搭配上生動活潑的插圖，更容易被小學生接納和理解，也更有利于提高小學生對數學的學習興趣。

綜上所述，人教版教材和北師大版教材“式與方程”例題在選材背景上都注重結合生活實際，插圖的設計都豐富多彩。人教版“式與方程”例題的編排相對嚴謹，知識點的覆蓋面較為全面且知識點之間的過渡環(huán)環(huán)相扣，適合大部分學生的認知水平;而北師大版教材例題的編排存在知識跨度較大、部分例題需要結合習題對知識點進行補充的現象，留給了學生更多自主思考與探索的空間。教師在組織“式與方程”教學的過程中，可以基于兩個版本教材不同的特點，結合本班學生的實際情況，選擇合適的教學內容和內容呈現方式，將知識點系統地呈現給學生，給學生打牢該內容學習的基礎。

參考文獻

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[3]陳智玲，梁宇.小學數學教材中“長度單位”的比較：以北師大版與人教版教材為例[J].廣西教育，2021（5）：26-27.

作者簡介：陳雨（1996— ），四川成都人，在讀碩士研究生，研究方向為小學數學教學;梁宇（1978— ），廣西賀州人，教授、碩士研究生導師，研究方向為小學數學教育及教師發(fā)展。

（責編 白聰敏）