周佳泉

2022年4月，最新修訂的《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）新鮮出爐?！墩n標（2022年版）》以習近平新時代中國特色社會主義思想為指導，全面貫徹黨的教育方針，遵循教育教學規(guī)律，落實立德樹人根本任務，發(fā)展素質教育。它是中國教育改革向深水區(qū)持續(xù)推進的最新成果，是保障中國義務教育工作持續(xù)、有效開展的基石。

《課標（2022年版）》的主要變化之一，是優(yōu)化了課程設置。落實黨中央、國務院“雙減”政策要求，在保持義務教育階段九年9522總課時數不變的基礎上，調整優(yōu)化課程設置，設計體現結構化特征的課程內容。當前，雖未見到體現“結構化”課程設置的最新教材，卻可以通過新《課標（2022年版）》文本的仔細閱讀窺見一斑?，F以“數與代數”領域為例，試述己見：

一、理解數概念和數運算本質的一致性

《課標（2022年版）》更加強調數概念和數運算本質的一致性。由此，把過去孤立的整數、小數、分數（百分數）的認識及其運算方法高度整合，成為具有共同內涵的“數群”，打通了整數、小數、分數（百分數）概念及其運算之間的“隔斷”，既降低了學生學習的難度，又提高了學生學習的整體效率。具體體現在以下三個方面：

（一）突出建立“計數單位”的重要作用

《課標（2022年版）》明確指出：數的認識與數的運算具有密切的聯系，既要注重各自的特征，也要關注二者的聯系。也就是說：數的認識是數的運算的重要基礎，數的運算是在數的認識的基礎上進行的;同時，通過數的運算又加深了對數的深刻認識。

因此，理解數的產生及演進過程是數的認識學習進階中極其重要的一環(huán)。量是刻畫客觀世界的手段，數是對量的抽象，任何一種數的產生都源自生產、生活的實際需求。在數產生之初，都要有一個大家公認的“標準”——即計數單位。例如：在遠古時代，人們狩獵時對獵物數量的刻畫，是以不分大小但完整的個體作為單位來計量，于是產生了“一（個）”的計數標準——也就是最初的整數的計數單位。隨著數量的增加，以“一（個）”為計數標準的數不能滿足需要時，又把原來的10個“一（個）”合并“凝結”成更大的計數單位“十”。并以此類推，創(chuàng)造了更大的計數單位“百”“千”“萬”……反向思考：當原來的以“一（個）”為計數標準的數在刻畫客觀事物的數量時顯得太過“粗獷”、不夠精微時，又把“一（個）”拆分成更小的計數單位“十分之一（0.1）”“百分之一（0.01）”……在不需要以“十”累進或以“十”拆分的情況下，又產生了任意等分的計數標準“二分之一”“三分之一”……以這些計數單位為“準則”、為“樣板”，大千世界的萬事萬物之數量，就可以囊而括之。

可見，計數單位是“數”之“根脈”，各種系列數的產生，均由計數單位開始。

（二）凸顯各種數的計數原理本質一致

各種系列數的“群落”，無一不是計數單位個數累加的結果。幾個“一”就是“幾”，幾個“十”就是“幾十”，幾個“百”就是“幾百”……小數、分數的計數方法與原理概莫能外。這樣，我們用“0～9”十個數字與“一（個）”“十”“百”“千”等計數單位組合，就能表示無窮無盡的整數。整數與小數點、分數線的組合，使原來的整數系在微觀尺度上向著精細化的方向不斷演進，并使得原來相鄰兩個整數之間的“縫隙”變得無限“廣闊”，使得“數”在刻畫客觀世界的時候幾乎無所不能，體現出了“盡精微，致廣大”的神威。

無獨有偶，在圖形與幾何領域也同樣存在相似的結構——長度是長度單位的累加，面積是面積單位的累加，體積是體積單位的累加，乃至角度是角度單位的累加。這種結構化的思維方式，通過高度匹配的課程載體——教材呈現給學生，學生的學習效率無疑會大大提升，并有力促進學生的內部學習活動向高階思維的層次邁進。

（三）理解各種數“運算”的法則本質相似

各種數的運算，歸根到底其實就是相同計數單位個數的累加或拆分。相同計數單位個數不均等地累加或拆分，就是加法與減法;均等地累加或拆分，就是乘法或除法。

無論何種運算，它們都遵循一個基本原則——只有相同計數單位的個數才能直接相加減。學生在低年級的整數加減法中，借助直觀操作表象就能很好地理解——“1個十”的“1”與“2個一”的“2”不能直接相加，因為如果直接相加，得到的既不是“3個十”也不是“3個一”，減法亦然。同理，小數加減法也是如此。分數加減法的理解相對更隱蔽一些，但是通過直觀圖形也能很好理解“分數單位不同不能直接相加減”（如圖1、圖2）。

乘法和除法是加減法的“升級版”，無非就是把相同加數的個數按“組”來累加或拆分。雖然，小數和分數乘除法的理解要更困難一些，但其根本仍然是建立在相同計數單位個數的累加或拆分基礎之上的。

二、具體應用中體會數量關系的一般性

世界是變化的，萬事萬物，方生方滅。常見數量關系的歸納總結，讓我們把復雜的事物變化關系用最簡潔明了的方式表達出來。

（一）數量關系具有簡潔性

結合學生的生活經驗，以富有挑戰(zhàn)性的現實生活情境為載體，引導學生逐步抽象出加法模型，用于表現“總量等于各分量之和”的各種情況;用乘法模型表現“與個數有關”和“與物理量有關”的兩大類現象。

（二）數量關系具有一般性

在實際的問題情境中，學生通過解決問題可以深刻地體會到：無論是以何種數的形式來計量的數量，求“幾個部分量的總和”或是“已知總和求其中一個部分量”都用加法模型。尤其是類似的問題：湖里原來有26只天鵝，先飛走了7只，又飛走了14只，一共飛走了多少只天鵝？就是把兩次飛走的天鵝數量看作兩個部分，求這兩個部分的總和用加法。再如購物問題：無論購買何種商品，也無論商品的單價與數量多少，求總價都是把若干個單價相加，都是用單價×數量來解決。

通過這樣的學習體驗，學生能夠初步體會同一系列數量在類似的情境中的關系都是相同的。換言之，只要是這一類數量，只要是相同的問題情境，解決問題的“程序”都是一樣的。

（三）數量關系具有互通性

加法模型與乘法模型既可以結合起來表達更加復雜的情況，也可以在某些具體情境下互換互通。例如：以“加法模型”為主干、以“乘法模型”為分支，就直觀地表達了“相遇問題”的一般數量關系——“甲車路程+乙車路程=總路程”。再如：以“乘法模型”為主干、以“加法模型”為分支，就能簡潔地表達“漲價問題”的數量關系“現在單價×數量=總價”，其中用“原價+漲價部分”表達“現在單價”。以上是兩種基本模型的結合。

而兩種模型的互換，則體現著學習者對同一數學問題中數量“聚焦”的差異。如：對“乘法分配律”的理解——每張課桌80元，每把椅子40元。買20套課桌椅一共需要多少元？既可以用加法模型表達為“課桌總價+椅子總價=全部總價”，也可以用乘法模型表達為“每套課桌椅單價×數量=總價”，乘法分配律的理解就順理成章了。

三、未知轉化為已知策略運用的進階性

《課標（2022年版）》中多次強調通過“將未知轉化為已知”的學習策略，以此助力學生形成初步的推理意識。通過類比遷移，把“相似”的知識加以對照，找出相似的學習“路徑”，就能做到化“新”為“舊”，化“難”為“易”，讓學生的數學知識越學越“少”，真正做到結構化地學習。

例如在學習小數加減法中，可以借助“元角分”知識，把小數加減法轉化為整數加減法計算再還原，在此基礎上再借助計數器聯想整數加減法的算理理解小數加減法的算理。同理，在異分母分數加減法中，讓學生借助直觀圖形（前文圖1、圖2）理解統(tǒng)一分數單位的必要性，從而把異分母分數加減法轉化為同分母分數加減法來計算。在小數乘法中，是用假設的方法把小數乘法轉化為整數乘法計算，再利用積的變化規(guī)律進行“還原”。

在“圖形測量”中，也有這樣的學習“路徑”。面積計算的通則是“每行的面積單位個數×行數=面積單位總數”，體積的計算則是“每層的體積單位個數×層數=體積單位總數”。

在“未知轉化為已知”策略的學習進階中，都遵循這樣的基本規(guī)律：先學習掌握“原型”，再在低階“變型”情境中簡單類比，最后在高階“變型”情境中遷移應用。這對激發(fā)學生在后續(xù)學習中的想象力與創(chuàng)造性，具有極其重要的價值。

結構化的課程內容，是促進學生結構化思維形成的重要途徑。每一位小學數學老師，都應該積極行動起來，把數學書教得越來越“薄”的同時，把學生的數學品質養(yǎng)得越來越“厚”。