何銘

摘要：小專題課“一次函數(shù)與平行四邊形”，考慮教學(xué)背景圍繞數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).突出以數(shù)助形、以形助數(shù)的方法，為日后復(fù)雜的函數(shù)與幾何綜合題作鋪墊，注重學(xué)生的參與體驗(yàn)，提高學(xué)生思維水平.

關(guān)鍵詞：小專題課;數(shù)形結(jié)合;一次函數(shù)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）26-0044-03

筆者在廣州市天河區(qū)的教研活動(dòng)中進(jìn)行了一節(jié)公開課，課題為“一次函數(shù)與平行四邊形”，是“一次函數(shù)”章節(jié)的拓展專題課.經(jīng)歷了備課、磨課、上課及課后交流討論，在函數(shù)與幾何的數(shù)形結(jié)合思想方法方面、章節(jié)拓展專題內(nèi)容設(shè)置方面都受益良多.

1教學(xué)背景及目標(biāo)分析

課題“一次函數(shù)與平行四邊形”可探討的內(nèi)容很多，如：一次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題、一次函數(shù)與平行四邊形的面積問題或者是其他一次函數(shù)與平行四邊形的綜合題.

學(xué)生剛完成“一次函數(shù)”的新課學(xué)習(xí)，初步接觸函數(shù)與幾何的綜合題.而且當(dāng)前一次函數(shù)與幾何圖形的綜合題中涉及的技巧、方法和思想對(duì)日后解題都是適用的，學(xué)生需要的是函數(shù)與幾何中數(shù)形結(jié)合的方法和思想.

2教學(xué)重點(diǎn)

在坐標(biāo)系中用代數(shù)符號(hào)語言表達(dá)圖形位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的方法及用幾何性質(zhì)求解代數(shù)問題的方法，也就是以數(shù)助形、以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合方法.

3教學(xué)目標(biāo)

（1）會(huì)在坐標(biāo)系中表示線段的等量關(guān)系、平行關(guān)系，會(huì)通過圖形性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）通過問題解法的探討過程，體會(huì)用代數(shù)符號(hào)語言表達(dá)圖形位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的方法，用圖形性質(zhì)求解代數(shù)問題的方法;

（3）感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

4教學(xué)難點(diǎn)

掌握在坐標(biāo)系中用代數(shù)符號(hào)語言表達(dá)圖形位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的方法及用幾何性質(zhì)求解代數(shù)問題的方法，教師在教學(xué)過程中要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)維度上的轉(zhuǎn)化.

綜上所述，本課的定位是函數(shù)與幾何綜合運(yùn)用的開篇課程，是解決各類函數(shù)綜合題的基礎(chǔ).教師應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合的方法、轉(zhuǎn)換思考問題的角度，通過函數(shù)與幾何的聯(lián)系幫助學(xué)生提升認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為日后處理更復(fù)雜的函數(shù)綜合題積累經(jīng)驗(yàn)、方法、思想.

5教學(xué)過程設(shè)計(jì)

5.1基礎(chǔ)知識(shí)

引入1：兩點(diǎn)間的距離：A2，3、B-1，-1，則AB=__________.

引入2：坐標(biāo)系中直線的平行關(guān)系：

（1）A3，2、B3，-2，則AB平行于y軸;

（2）C-1，-1、D4，-1，則CD平行于x軸;

（3）直線l₁：y=k₁x+b₁（k₁≠0）與直線l₂：y=k₂x+b₂（k₂≠0），當(dāng)滿足什么條件時(shí)，l1與l2互相平行.

活動(dòng)1：學(xué)生在學(xué)案上完成問題1、問題2.

問題1：有些同學(xué)在學(xué)案上畫了圖，得到的答案是什么？

問題2：有些同學(xué)沒有畫圖就得到了正確答案，是根據(jù)什么得出答案？

【設(shè)計(jì)意圖】作為本課的引入環(huán)節(jié)，以從點(diǎn)的坐標(biāo)、直線解析式得到線段數(shù)量關(guān)系和直線位置關(guān)系的問題為切入點(diǎn)，復(fù)習(xí)坐標(biāo)系中數(shù)形結(jié)合的重要工具，另外在學(xué)案上附圖，讓學(xué)生在畫圖中感受數(shù)與形的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化.

5.2例題探討

例1如圖1，已知直線AB：y=2x+6分別交x軸、y軸于點(diǎn)A-3，0、B0，6，點(diǎn)P-2，m是直線AB上的點(diǎn).

（1）直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）直線CD：y=2x+n交x軸于點(diǎn)C-1，0，交y軸于點(diǎn)D.證明：四邊形ACDP是平行四邊形;

（3）在（2）的條件下，直線AB上有一點(diǎn)Q，使得四邊形ADCQ是平行四邊形，求Q的坐標(biāo).

思考①：判定平行四邊形有哪幾種方法？

思考②：這些方法中的幾何關(guān)系在坐標(biāo)系中如何通過代數(shù)語言表示？

思考③：如何畫出點(diǎn)Q？點(diǎn)Q的位置要滿足哪些條件？如何求點(diǎn)Q的坐標(biāo)？

活動(dòng)2：集體討論求出點(diǎn)P坐標(biāo)、直線CD解析式以及點(diǎn)D坐標(biāo).

問題3：如何求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？

問題4：要證明四邊形ACDP是平行四邊形，已經(jīng)知道A、C、P的坐標(biāo)，還要求點(diǎn)D坐標(biāo)，求點(diǎn)D坐標(biāo)要先求出什么？如何求直線CD解析式？

【設(shè)計(jì)意圖】題目出現(xiàn)的點(diǎn)、線較多，對(duì)剛學(xué)一次函數(shù)的學(xué)生而言圖形不簡單，此時(shí)由老師帶著學(xué)生讀題有助于學(xué)生理解題意，并直接明了地解決點(diǎn)P坐標(biāo)、直線CD解析式以及點(diǎn)D坐標(biāo).第（2）問中需要用到以上內(nèi)容，由老師帶著解決問題，能更直接進(jìn)入到第（2）、（3）問中本課的重點(diǎn)內(nèi)容.

活動(dòng)3：學(xué)生進(jìn)行思考①，回顧平行四邊形的判定方法.

問題5：已經(jīng)知道四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)了，我們要判定四邊形ACDP是平行四邊形，先看思考①，判定平行四邊形有哪幾種方法？

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)了問題串來引導(dǎo)學(xué)生逐步分化題目解決問題，先進(jìn)行思考①可以讓學(xué)生回顧平行四邊形的5種判定方法，也讓之后的解題和小組討論有了方向.

問題6：平行四邊形的判定，以前是在幾何題里面處理線段相等、直線平行、角相等的幾何關(guān)系，在坐標(biāo)系中與函數(shù)結(jié)合在一起，如何用坐標(biāo)系的語言來表達(dá)幾何關(guān)系？

活動(dòng)4：學(xué)生進(jìn)行思考②，小組討論把5種判定都表示出來.

經(jīng)過討論后，小組代表展示結(jié)果，不同小組補(bǔ)充其他方法.

問題7：不同的方法是用了不同的工具，以不同的角度看待問題，都值得學(xué)習(xí).這些方法有的簡單有的復(fù)雜，哪些比較復(fù)雜？為什么會(huì)復(fù)雜？

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)思考②引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換視角，用代數(shù)語言去表達(dá)幾何關(guān)系.通過小組討論集思廣益，在全班討論及展示不同幾何關(guān)系在坐標(biāo)系中的表示方法，以及相同幾何關(guān)系在坐標(biāo)系中不同的表示方法.這個(gè)環(huán)節(jié)能達(dá)到本課的重要目的：開拓學(xué)生視野，多角度了解函數(shù)與幾何綜合題可以用到的工具、方法，之后遇到類似問題時(shí)可以舉一反三.

教師總結(jié)第（2）問的特點(diǎn)是以數(shù)助形：在坐標(biāo)系根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征和兩點(diǎn)間距離得到直線位置關(guān)系和線段數(shù)量關(guān)系進(jìn)而得到圖形性質(zhì).

問題8：第（2）問已有4個(gè)點(diǎn)證明圖形是平行四邊形，第（3）問要找出第4個(gè)點(diǎn)，使得它是平行四邊形.怎么畫出點(diǎn)Q？它受哪些條件限制？之后根據(jù)什么求出坐標(biāo)？

活動(dòng)5：學(xué)生在圖中畫出點(diǎn)Q，進(jìn)行思考③，并小組討論交流不同的方法.

在討論遇到瓶頸后，老師提示學(xué)生點(diǎn)Q的畫法揭示了點(diǎn)Q的求法.經(jīng)過討論后，小組代表展示討論結(jié)果，不同小組補(bǔ)充不同的方法.

【設(shè)計(jì)意圖】第（3）問要求要根據(jù)圖形幾何性質(zhì)求解點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)置思考③讓學(xué)生先畫圖，感受點(diǎn)要滿足的條件，再根據(jù)要滿足的條件求解問題.小組討論、分享匯報(bào)可以在課堂上展示各種解法，不同解法帶來的多個(gè)思考角度可以拓寬學(xué)生思路，不同解法之間的比較可以提升學(xué)生思維.

教師總結(jié)第（3）問的特點(diǎn)是以形助數(shù)：在坐標(biāo)系根據(jù)圖形性質(zhì)的直線位置關(guān)系和線段數(shù)量關(guān)系得到坐標(biāo)特征和兩點(diǎn)間距離進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo).從數(shù)到形、從形到數(shù)，本課就是數(shù)與形之間互相轉(zhuǎn)換、互相結(jié)合.

【設(shè)計(jì)意圖】本課著重于數(shù)形結(jié)合的方法，因此第（2）問和第（3）問都盡可能展示不同的方法，以求學(xué)生多了解接觸數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化、結(jié)合的方法.在每一問結(jié)束時(shí)分別總結(jié)以數(shù)助形和以形助數(shù)的方法，在兩問結(jié)束時(shí)把兩者聯(lián)系起來實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間互相轉(zhuǎn)化、結(jié)合，這樣能對(duì)本課的主題有所提升，也能讓學(xué)生更加深刻地感受到數(shù)形結(jié)合的思想，感受數(shù)學(xué)美.

6教學(xué)反思

6.1小專題課中的思維訓(xùn)練

在磨課的過程中，一開始設(shè)計(jì)了例題之后還有跟進(jìn)練習(xí)，看上去整節(jié)課沒那么單薄但實(shí)施的效果反而不好.原因是小專題課是思維訓(xùn)練課，重視的是思維提升而不是技巧訓(xùn)練.與其做重復(fù)的訓(xùn)練，倒不如在課堂上讓學(xué)生感受數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系，感受不同角度不同方法間的聯(lián)系與區(qū)別，感受不同解法下幾何代數(shù)的輕重不同.為了增強(qiáng)學(xué)生的感受體驗(yàn)讓學(xué)生思維得到訓(xùn)練，本課從引入環(huán)節(jié)就慢下來，讓學(xué)生在充足的時(shí)間里感受基礎(chǔ)知識(shí)中數(shù)形的結(jié)合，后面的例題以問題串的方式揭示解題思路引導(dǎo)學(xué)生思考，更是在第（2）、（3）問都設(shè)置了小組討論、分享匯報(bào)的環(huán)節(jié)，在思想碰撞中提升思維水平.

6.2小專題課間的上下關(guān)聯(lián)

小專題課一般是以解決某一類問題為主題來設(shè)計(jì)，但本課沒有突出解決問題的類型而是圍繞著函數(shù)與幾何圖形綜合題的數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行.考慮到學(xué)生初步接觸該題型，本學(xué)期之后也會(huì)遇到一次函數(shù)各類的綜合題，到初三還有二次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合題，有一節(jié)總領(lǐng)方法思想的專題課是很有必要的，以便學(xué)生日后遇到問題時(shí)能想到涉及的工具、解題的方法.也就是說小專題課主題的設(shè)置上要想到不同學(xué)段間的上下關(guān)聯(lián)，對(duì)小專題課的目標(biāo)、定位有所規(guī)劃.

小專題課目前已不只是運(yùn)用于中考復(fù)習(xí)階段，初中三年應(yīng)利用小專題課幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，串聯(lián)知識(shí)間的數(shù)學(xué)思想方法，以幫助學(xué)生提高思維水平、提升認(rèn)知結(jié)構(gòu).

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李璟]