第1章 數(shù)學(xué)與我們同行

領(lǐng)? ? 銜? ? 人：黃秀旺

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省南京市初中數(shù)學(xué)黃秀旺名師工作室

當(dāng)你閱讀本篇文章時(shí)，你已是一名初中生了，祝賀你！經(jīng)歷了小學(xué)六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，相信你對(duì)“數(shù)學(xué)”有許多話可說(shuō)，比如，數(shù)學(xué)有趣，數(shù)學(xué)好玩，當(dāng)然，你也可能說(shuō)數(shù)學(xué)很難。種種感受因人而異，實(shí)屬正常。那么，學(xué)數(shù)學(xué)有什么用？今天，我們就來(lái)聊一聊。

首先，請(qǐng)你寫(xiě)幾個(gè)偶數(shù)。你會(huì)很容易就寫(xiě)出2、4、6等。那么，你能把所有的偶數(shù)寫(xiě)出來(lái)嗎？有沒(méi)有什么辦法呢？

我們發(fā)現(xiàn)：2=2×1，4=2×2，6=2×3……也就是說(shuō)，任意一個(gè)偶數(shù)可以寫(xiě)成2與一個(gè)整數(shù)的積的形式。如果我們用字母n表示一個(gè)整數(shù)，那么，偶數(shù)就可以表示為2×n，省略“×”號(hào)，就是2n。這樣我們就可以用2n表示偶數(shù)，從而解決問(wèn)題。同樣，我們可以用2n+1表示奇數(shù)。

以上的討論，實(shí)際上告訴我們，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可以讓我們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。在上述例子中，引出字母n是關(guān)鍵。進(jìn)入初中后，我們會(huì)深刻地體會(huì)到用符號(hào)表達(dá)問(wèn)題、思考問(wèn)題的優(yōu)越性。

接下來(lái)，我再問(wèn)你，“兩個(gè)偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)嗎？”我們可以先寫(xiě)出兩個(gè)偶數(shù)，例如6和4，發(fā)現(xiàn)它們的和（或差）都是偶數(shù)。那我們是不是可以說(shuō)“兩個(gè)偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)”呢？顯然有失偏頗。因?yàn)槟阒慌e了一個(gè)例子。有的同學(xué)說(shuō)，那好辦，多舉一些例子，不妨舉1000個(gè)例子。最后，發(fā)現(xiàn)結(jié)果仍然都是偶數(shù)。這樣是不是就可以確定我們的發(fā)現(xiàn)（猜想）是正確的呢？很遺憾，還不能。因?yàn)榕紨?shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，你沒(méi)有把所有情形都列舉出來(lái)。

那怎么辦？這就彰顯數(shù)學(xué)的魅力了——用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題。

我們用2n、2m表示兩個(gè)偶數(shù)（n、m是整數(shù)），根據(jù)乘法分配律，2n+2m=2（n+m），2n-2m=2（n-m）。我們知道，兩個(gè)整數(shù)相加或相減，結(jié)果仍是整數(shù)，所以2（n+m）和2（n-m）是偶數(shù)。由于n、m是整數(shù)，所以2n、2m就可以表示任意的兩個(gè)偶數(shù)，雖不是具體的偶數(shù)，但具有一般性。

以上的討論實(shí)際上經(jīng)歷這樣的過(guò)程：舉出具體的例子去試一試→發(fā)現(xiàn)規(guī)律→提出猜想→證實(shí)猜想→確認(rèn)結(jié)論。這是一個(gè)完整的思考問(wèn)題的過(guò)程，進(jìn)入初中，我們經(jīng)常會(huì)經(jīng)歷這樣的過(guò)程。同學(xué)們可以自行嘗試按照這樣的過(guò)程思考一下：兩個(gè)奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)嗎？一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的呢？

最后一個(gè)問(wèn)題。母親節(jié)，小紅買(mǎi)了一束花，打算送給媽媽。這束花有2支百合、2支玫瑰、4支康乃馨。小紅共付了45元，但她看百合是5元1支，然后對(duì)售貨員說(shuō)：“你的賬算錯(cuò)了?！毙〖t說(shuō)的對(duì)嗎？

我們可以像剛才分析問(wèn)題的思路一樣，引入字母。1支玫瑰a元，2支玫瑰就是2a元，顯然2a是偶數(shù)。1支康乃馨b元，4支康乃馨是4b元，因?yàn)?b=2×2b，所以4b也是偶數(shù)。而2支百合為10元，所以這束花需要（10+2a+4b）元。我們知道，任意兩個(gè)偶數(shù)的和仍是偶數(shù)，所以10+2a+4b是偶數(shù)，這與“她共付了45元”矛盾，所以小紅說(shuō)的對(duì)。

其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題還可以這樣理解：1支玫瑰a元，1支康乃馨b元，按照題意，我們得到等式：2×5+2a+4b=45，即10+2a+4b=45。這個(gè)等式成立嗎？一位同學(xué)這樣想：如果a=1，則b=[334];如果a=2，則b=[314];如果a=3，則b=[294];如果a=4，則b=[274]……一直算下去，結(jié)果發(fā)現(xiàn)b的值都不是整數(shù)，所有情形都不符合實(shí)際情況，所以小紅說(shuō)的對(duì)。

回顧以上兩種思路，我們發(fā)現(xiàn)，第一種方法是引入字母，用一些式子表示花的價(jià)格并進(jìn)行分析與判斷;第二種方法也是引入字母，不僅用一些式子表示花的價(jià)格及總價(jià)，還列出了一個(gè)包含字母a、b的等式，列舉了所有可能的結(jié)果。這兩種方法中，字母、含字母的式子以及等式都是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言（當(dāng)然，文字及圖表也是）。因此，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述與表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，就可以把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后用數(shù)學(xué)的知識(shí)加以解決。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，我們可以逐漸體會(huì)到數(shù)學(xué)語(yǔ)言構(gòu)建了數(shù)學(xué)通往現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。

同學(xué)們，通過(guò)剛剛對(duì)偶數(shù)相關(guān)問(wèn)題的討論，有沒(méi)有意識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義？即用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。希望通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，我們的眼光、思維與表達(dá)都能充滿數(shù)學(xué)味兒。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室）