邵蓓瑜 章勤瓊 麻永侃

【摘? ?要】小學(xué)階段學(xué)習(xí)角的度量，需要從角的概念、比較角的大小和描述角的大小三個(gè)層面進(jìn)行。經(jīng)過前測(cè)了解學(xué)生對(duì)角內(nèi)涵的理解情況后，確定學(xué)生在學(xué)習(xí)角的度量時(shí)需要經(jīng)歷以下兩個(gè)過程：第一，關(guān)注角的內(nèi)涵，在角的大小比較中讓學(xué)生對(duì)角的理解走向深刻；第二，關(guān)注度量單位的產(chǎn)生，在描述角的大小中產(chǎn)生度量單位，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)度量本質(zhì)的感悟。由此，對(duì)“角的度量”單元進(jìn)行重新建構(gòu)，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)與教學(xué)活動(dòng)，規(guī)劃從現(xiàn)有學(xué)習(xí)水平到學(xué)習(xí)終點(diǎn)的學(xué)習(xí)路徑。

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)路徑；單元整體教學(xué)；角的度量；度量教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性?！保?］這說明對(duì)角的度量，首先需要讓學(xué)生直觀感知角有大小，知道角具備可測(cè)量屬性，其次才能進(jìn)行角的比較，并在描述角的大小過程中產(chǎn)生統(tǒng)一單位的需求。但在實(shí)際學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往還不知道“角的大小”，就已經(jīng)開始學(xué)習(xí)運(yùn)用量角器量角、畫角的技能。在“角的度量”單元中，設(shè)計(jì)怎樣的學(xué)習(xí)任務(wù)才能幫助學(xué)生理解角有大小，在度量的過程中理解度量的本質(zhì)呢？因此，本文從度量教學(xué)的認(rèn)知順序出發(fā)，根據(jù)學(xué)習(xí)路徑，對(duì)這一單元做了整體教學(xué)的思考。

一、確定學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）單元內(nèi)容概述

人教版教材關(guān)于“角的度量”單元的教學(xué)目標(biāo)如下：（1）認(rèn)識(shí)角的靜態(tài)概念，即從一點(diǎn)引發(fā)的兩條射線所組成的圖形；（2）角的度量，通過間接比較來認(rèn)識(shí)角的度量單位和用量角器量角的度數(shù)；（3）角的分類，認(rèn)識(shí)角的動(dòng)態(tài)概念，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)直角、銳角，知道平角和周角，并了解這幾種角的大小關(guān)系；（4）畫角，會(huì)畫特定度數(shù)的角。

北師大版教材關(guān)于“角的度量”單元的教學(xué)目標(biāo)如下：（1）動(dòng)態(tài)再認(rèn)識(shí)角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的操作活動(dòng)認(rèn)識(shí)平角和周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系，發(fā)展推理能力；（2）探索角的度量單位的產(chǎn)生過程，認(rèn)識(shí)角的度量單位；（3）會(huì)用量角器等工具量角和畫角。

對(duì)比兩個(gè)版本的教學(xué)目標(biāo)，可以看到該單元中角的度量部分都包含3個(gè)方面：（1）角的內(nèi)涵，只是人教版從靜態(tài)概念（從一點(diǎn)引發(fā)的兩條射線所組成的圖形）中理解，北師大版從動(dòng)態(tài)角（旋轉(zhuǎn)活動(dòng)角）中理解；（2）在間接比較中認(rèn)識(shí)角的度量單位；（3）會(huì)用量角工具量角和畫角。

（二）單元核心目標(biāo)

劉加霞教授指出：“生活中有6種常用的感官量：長度、質(zhì)量、容積、角度、面積、體積?！睂W(xué)生對(duì)于它們的學(xué)習(xí)以及理解，通常會(huì)經(jīng)歷以下5個(gè)階段：階段1，量的初步認(rèn)識(shí)；階段2，量的間接比較；階段3，認(rèn)識(shí)國際通用單位并能夠用其描述大??；階段4，國際通用單位體系的認(rèn)識(shí)與換算；階段5，利用公式求量的大小。［2］根據(jù)度量教學(xué)的一致性可知，角的度量包括以下3個(gè)階段：角的認(rèn)識(shí)；比較角的大小；認(rèn)識(shí)角的單位1°并能夠用單位1°描述角的大小。

由此可知，“角的度量”這一單元的核心目標(biāo)為：（1）角的內(nèi)涵，指的是學(xué)生能夠直觀知道角有大小，直接和間接比較角的大小。（2）在描述角的大小中產(chǎn)生度量單位。因此，“角的度量”單元的核心目標(biāo)分為兩個(gè)方面：角的大小比較中理解角的內(nèi)涵和描述角的大小中產(chǎn)生度量單位。［3］

（三）核心目標(biāo)具體化

1. 角的大小比較中理解角的內(nèi)涵

角的度量首先要讓學(xué)生知道角有大小，然而角的大小非常抽象。理解角的內(nèi)涵有三個(gè)層次：（1）直觀感知角有大小，比如活動(dòng)角開口變大，就是角變大了。（2）直接比較角的大小，比如借助移動(dòng)重合（讓頂點(diǎn)對(duì)頂點(diǎn)，邊對(duì)邊，看另一邊）比較角的大小。（3）間接比較，選擇一個(gè)合適的小角作為工具來度量。

2. 描述角的大小中產(chǎn)生度量單位

要具體描述一個(gè)角的大小或兩個(gè)角相差多少，都需要尋找一個(gè)合適的小角作為工具來度量，看目標(biāo)角中包含了多少個(gè)小角，通過“數(shù)+單位”來描述角的大小。因此，描述角的大小認(rèn)知有兩個(gè)階段：（1）用非標(biāo)準(zhǔn)角描述；（2）用標(biāo)準(zhǔn)1°描述。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，借鑒范希爾幾何水平理論，以角的概念、直接比較、間接比較來評(píng)估學(xué)生對(duì)角的內(nèi)涵的理解水平（如表1），對(duì)四年級(jí)1個(gè)班42名學(xué)生進(jìn)行前測(cè)。

（一）角的概念理解情況

在測(cè)試題1的訪談中發(fā)現(xiàn)，有79%的學(xué)生屬于視覺水平。他們用圖形的整體輪廓“角是尖的、斜的，用銳角、直角、鈍角的樣子”作為依據(jù)判斷角。有12%的學(xué)生介于視覺水平和分析水平之間，此類學(xué)生雖然能用角的構(gòu)成要素—— 一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊來判斷①～③號(hào)圖形，但還是會(huì)受到視覺影響而無法判斷④號(hào)圖形。僅9%的學(xué)生達(dá)到分析水平，能用角的構(gòu)成要素—— 一個(gè)頂點(diǎn)兩條邊來進(jìn)行判斷。因此，要達(dá)到用角的概念來判斷角的目標(biāo)，首先要讓學(xué)生理解角的內(nèi)涵。

（二）角的大小理解情況

角的內(nèi)涵測(cè)試題2中，有32.6%的學(xué)生處于視覺水平，能剝離畫的邊的長短和朝向等無關(guān)因素的學(xué)生占全班的67.4%（如表2）。通過訪談發(fā)現(xiàn)，這67.4%的學(xué)生中，有15.2%的學(xué)生是用量角器進(jìn)行測(cè)量的，有8.7%的學(xué)生是通過眼睛看出來的，這些學(xué)生通過視覺來直接比較出結(jié)果。有26.1%的學(xué)生用三角尺中的最小角作為單位來間接比較出結(jié)果，有17.4%的學(xué)生能直接根據(jù)題目中的小角描同一個(gè)角，這些學(xué)生能真正突破畫的邊的長短和方向帶來的干擾。由此可知，全班只有43.5%的學(xué)生具有間接比較的經(jīng)驗(yàn)，56.5%的學(xué)生需要補(bǔ)充角的大小比較的經(jīng)驗(yàn)。

通過對(duì)學(xué)生角的內(nèi)涵理解水平的前測(cè)，從“角的概念”測(cè)查中發(fā)現(xiàn)約79%的學(xué)生不會(huì)用構(gòu)成要素分析角，從“角的大小”測(cè)查中發(fā)現(xiàn)約57%的學(xué)生缺乏間接比較的經(jīng)驗(yàn)。因此，本單元教學(xué)需要重視對(duì)角的內(nèi)涵的學(xué)習(xí)，增加比較角的大小的練習(xí)。

三、分析學(xué)習(xí)路徑

基于以上分析，對(duì)“角的度量”單元的學(xué)習(xí)路徑做了相應(yīng)的調(diào)整與優(yōu)化。

首先，理解線段、射線與直線等角的構(gòu)成要素的合理性。借助畫圖體會(huì)概念構(gòu)成要素“端點(diǎn)、無限長”表達(dá)的合理性。重點(diǎn)是對(duì)無限長與端點(diǎn)邏輯關(guān)系的理解。

其次，增加理解角的內(nèi)涵的內(nèi)容。原因有以下三點(diǎn)：（1）根據(jù)學(xué)情測(cè)查，約57%的學(xué)生缺乏間接比較經(jīng)驗(yàn)。僅靠人教版教材例2“從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫作角”的靜態(tài)含義，學(xué)生并沒有積累例3角的度量中所需要的間接比較經(jīng)驗(yàn)。（2）學(xué)生需要通過“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)、邊對(duì)邊、看另一邊”的直接比較方法感知等價(jià)角含義，理解角的內(nèi)涵，消除畫的邊的長短帶來的迷惑。（3）學(xué)習(xí)例2的靜態(tài)角概念，也無法幫助學(xué)生理解例3中“一個(gè)圓平均分成360份，其中的1份是1°”的規(guī)定是合理的。因此，《角》一課要達(dá)成以下三點(diǎn)目標(biāo)：（1）通過旋轉(zhuǎn)活動(dòng)角，讓學(xué)生直觀感知角的大小。（2）通過對(duì)角的直接比較，建立角的大小比較方法和使用等價(jià)角的概念，體會(huì)角的構(gòu)成要素是射線的合理性。（3）通過間接比較角的大小，增加活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和概念理解。

再次，經(jīng)歷角的度量單位的形成過程。（1）在無法直接比較時(shí)，需要選擇合適的小角作為一種工具來度量角的大小，并用“數(shù)+小角”的形式描述角的大小。讓學(xué)生經(jīng)歷完整的用非標(biāo)準(zhǔn)單位（小角）描述角的大小的過程，滲透度量意識(shí)才是有效的。（2）對(duì)小角量化結(jié)果10°的理解，從10°角的累加或細(xì)分中描述不同角的大小。建立角的度量單位1°。（3）用1°的角量角的大小，體會(huì)度量的本質(zhì)。

最后，通過量角器量角和畫角。

四、單元整體教學(xué)思考及核心課時(shí)任務(wù)設(shè)計(jì)

綜上所述，增加了“角的再認(rèn)識(shí)”和“認(rèn)識(shí)角的度量單位”兩個(gè)內(nèi)容，更符合度量認(rèn)知的順序和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。單元教學(xué)具體安排如表3。

從單元整體的視角出發(fā)，關(guān)于角的度量部分有兩節(jié)核心課：“角的再認(rèn)識(shí)”和“認(rèn)識(shí)角的度量單位”?，F(xiàn)對(duì)這兩個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)如下（見表4）。

參考文獻(xiàn)：

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［2］陽海林，章勤瓊，王圣昌.面積大小究竟是怎樣描述的？［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（9）.

［3］張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理：核心概念的理解與呈現(xiàn)［M］. 上海：上海教育出版社，2018.

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