馮春飛 陳紅霞
【摘? ?要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》指出,數(shù)的運算重點在于理解算理、掌握算法,數(shù)的認識與數(shù)的運算之間有密切的關(guān)聯(lián),要讓學(xué)生體會數(shù)的運算一致性。教學(xué)人教版教材三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)(筆算乘法)”時,教師在對整數(shù)乘法的整體分析和學(xué)情診斷的基礎(chǔ)上,通過聯(lián)結(jié)“位”與“值”,滲透運算一致性。具體表現(xiàn)為:體會表征“多元化”到“統(tǒng)一性”的圖式聯(lián)結(jié);經(jīng)歷筆算“個性化”到“規(guī)范化”的理法聯(lián)結(jié);打通方法“多樣性”到“普適性”的策略聯(lián)結(jié);感悟筆算“位表征”到“值表征”的程序聯(lián)結(jié)。
【關(guān)鍵詞】圖式聯(lián)結(jié);理法聯(lián)結(jié);策略聯(lián)結(jié);程序聯(lián)結(jié)
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》指出,在教學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的內(nèi)容時,要讓學(xué)生“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象,感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性,形成數(shù)感和符號意識;感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系,體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性”。整數(shù)乘法運算教學(xué)需體現(xiàn)運算的一致性,即計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘(這兩個計數(shù)單位可以一樣,也可以不一樣),從而得到新的計數(shù)單位;計數(shù)單位上的數(shù)與計數(shù)單位上的數(shù)相乘,得到新的計數(shù)單位上的新的數(shù)。如何在整數(shù)運算教學(xué)中滲透運算一致性?本文以人教版教材三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)(筆算乘法)”為例展開實踐與思考。
一、整數(shù)乘法教學(xué)內(nèi)容分析
整數(shù)乘法的筆算教學(xué)內(nèi)容包括“多位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”和“三位數(shù)乘兩位數(shù)”。前兩塊內(nèi)容側(cè)重筆算算理的探索,如“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué),學(xué)生需要經(jīng)歷將兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘法的學(xué)習(xí)活動。而“三位數(shù)乘兩位數(shù)”則側(cè)重算理和算法的遷移,發(fā)揮其作為小學(xué)階段整數(shù)乘法的終結(jié)作用,從而實現(xiàn)筆算模型的建構(gòu)、固化和擴展。筆算模型的建構(gòu)就是在這三塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中逐步形成的。其中兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算,是理解算理和構(gòu)建算法的關(guān)鍵。教師需要幫助學(xué)生從形式走向內(nèi)涵,透過筆算的“位”理解蘊含的“值”,為后續(xù)筆算模型建構(gòu)打好堅實基礎(chǔ)(如圖1)。
二、學(xué)情診斷
為了解學(xué)生的起點,抓準學(xué)生的難點,為教學(xué)提供依據(jù),筆者對本區(qū)300名三年級學(xué)生進行了前測。前測內(nèi)容為“用喜歡的方法計算14×12并寫出過程”。
(一)類歸方法,看“位值”聯(lián)結(jié)的起始點
根據(jù)前測統(tǒng)計,學(xué)生的計算方法呈多樣化,共有13種。其中6種方法較典型,共占前測學(xué)生數(shù)的92%。這6種方法分別為:①12拆成10和2的和再乘14,約占總?cè)藬?shù)的20.3%;②14拆成10和4的和再乘12,約占總?cè)藬?shù)的20.7%;③12拆成3乘4的積再乘14,約占總?cè)藬?shù)的9%;④12拆成2乘6的積再乘14,約占總?cè)藬?shù)的12.3%;⑤14拆成2乘7的積再乘12,約占總?cè)藬?shù)的14%;⑥嘗試筆算,約占總?cè)藬?shù)的15.7%。在學(xué)生心目中,這6種方法可以分成三類:一是把其中一個因數(shù)拆成10加幾,如方法①②,將問題轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘整十數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)進行計算;二是把其中一個因數(shù)拆成幾乘幾,如方法③④⑤,將問題轉(zhuǎn)化為多位數(shù)乘一位數(shù)進行計算;三是嘗試筆算。前兩類方法是在“兩位數(shù)乘一位數(shù)”計算方法基礎(chǔ)上的自然生長,而筆算實際上是第一類方法的豎式表征。在學(xué)生不理解豎式的算理時,會認為豎式是不同的計算方法。因此教師教學(xué)時要從學(xué)生的經(jīng)驗起點入手,幫助學(xué)生走向?qū)ωQ式的理解。
(二)以圖釋意,看“位值”聯(lián)結(jié)的關(guān)聯(lián)性
從三類方法的意義、算式和過程的關(guān)聯(lián)性統(tǒng)計情況來看,方法①~⑤是轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的知識方法加以解決,學(xué)生理解起來基本沒有困難。85%以上的學(xué)生可以用圖式對方法③④⑤的算理進行表征;70%以上的學(xué)生可以用圖式對方法①②的算理進行表征(如表1)。通過訪談圖式表征錯誤的學(xué)生,發(fā)現(xiàn)他們大部分能夠理解算理,只是對用正確的圖式來表征算理感到困難。而學(xué)生對筆算算理的理解程度很低,盡管有40人嘗試筆算并能夠?qū)懗稣_的豎式,但其中有37人不能用圖式表示豎式意義,也說不清楚每一步的意義。這說明學(xué)生列豎式計算只是停留在程序性的模仿階段,尚未做到真正理解。
(三)個性記錄,看“位值”聯(lián)結(jié)的著力處
學(xué)生呈現(xiàn)的各式各樣的“原創(chuàng)式”筆算中,第一類可稱為“錯例”,如圖2中的3個豎式,都表現(xiàn)出學(xué)生對位值思想的不理解,主要的困難在于第二步乘的過程,根源是對算理理解的缺失。圖3中兩個學(xué)生的筆算結(jié)果都正確,第一個豎式?jīng)]有完整記錄計算過程,第二個豎式記錄第二步乘得的結(jié)果是140個一。這兩類個性化的筆算占比很高,分別占使用筆算人數(shù)的38.3%和4.2%,說明教學(xué)筆算第二步的意義時需重點著力,要幫助學(xué)生透過位值中“位”的表象,建立“值”的理解。由此可見,教學(xué)的重點應(yīng)該放在對第二步計算的意義理解和過程表征上。
綜上所述,本內(nèi)容的教學(xué)關(guān)鍵在對第二個因數(shù)十位上的數(shù)字與第一個因數(shù)相乘時的算理理解、算法表征和方法歸納上,而其核心在于第二層的計算不僅有計數(shù)單位的個數(shù)相乘,還涉及不同計數(shù)單位相乘產(chǎn)生新的計數(shù)單位,兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算經(jīng)驗不足以支撐學(xué)生對這個關(guān)鍵點的跨越。教師教學(xué)時應(yīng)從學(xué)生不同的學(xué)習(xí)起點和經(jīng)驗基礎(chǔ)創(chuàng)生出的算法多樣化和表征多元化出發(fā),做好多個層面由淺入深的聯(lián)結(jié)教學(xué),才能由表及里地把握“位值”原理,實現(xiàn)理法融通。
三、“位值”聯(lián)結(jié)的教學(xué)實踐
(一)說理:體會表征“多元化”到“統(tǒng)一性”的圖式聯(lián)結(jié)
立足學(xué)生起點,學(xué)生真正的困難不是對筆算算理的理解,而是每一步計算過程及意義無法與豎式表征一一對應(yīng),因此聯(lián)結(jié)“位值”的第一步就是建立豎式表征與圖式表征、橫式表征的聯(lián)結(jié)。
【教學(xué)片段1】
教師出示問題情境:“每套冰墩墩有12個,買14套共有多少個冰墩墩?”讓學(xué)生列式并嘗試用自己的方法計算。教師組織教學(xué)反饋,出示如圖4的學(xué)生作品,并實施以下三步教學(xué)。1.理解方法。請學(xué)生分別介紹每一個作品的計算方法。2.建立聯(lián)系。請兩位學(xué)生和教師合作介紹,教師比畫②號作品中筆算過程的某一步,一個學(xué)生指著①號作品中的點子圖進行解釋,另一個學(xué)生指出③號作品中橫式的某一步,說出這一步的意思,教師板書每一步豎式的計算過程。3.總結(jié)方法。比較三個作品,雖然表達的方式不同,但是表示的意義相同,都是先算10個14是多少、2個14是多少,再把兩部分加起來。
學(xué)生通過聯(lián)結(jié)點子圖、橫式和豎式這三種表征方式,理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算算理。整個學(xué)習(xí)過程先讓學(xué)生個別說理,再師生聯(lián)動式說理,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達每種表征方式背后的內(nèi)涵,幫助學(xué)生厘清筆算豎式每一步的意義,建立點子圖、橫式、豎式之間內(nèi)在意義“一致性”的圖式聯(lián)結(jié)。
(二)優(yōu)化:經(jīng)歷筆算“個性化”到“規(guī)范化”的理法聯(lián)結(jié)
學(xué)生理解算理并不代表能夠準確地用豎式計算,也不代表已掌握算法,因此需要幫助學(xué)生實現(xiàn)算理與算法的聯(lián)結(jié)。通常,學(xué)生個性化的豎式表征暴露了對筆算算法不同程度的理解偏差,用好學(xué)生的這些個性化資源,可以有效實現(xiàn)理法融通。
【教學(xué)片段2】
教師出示圖3的兩種個性化筆算,組織學(xué)生討論:“根據(jù)上一個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí),你想給這兩名同學(xué)提什么建議?”學(xué)生通過展示作品,交流不同的豎式表征。教師讓學(xué)生先理解豎式的算理,再體驗豎式記錄的必要性,最后反思之前的表征方式,形成從“沒有過程”到“兩乘一加”,從“寫出0”到“省去0”的變化。
在教學(xué)反饋過程中,教師幫助學(xué)生進行經(jīng)驗和認知的自我修正,從而明確豎式需要體現(xiàn)計算的過程性,記錄的合理性、結(jié)構(gòu)性。表征從差異走向規(guī)范的過程也是學(xué)生對“位值”漸漸清晰的過程。
(三)類比:打通方法“多樣性”到“普適性”的策略聯(lián)結(jié)
學(xué)生經(jīng)歷前兩層的聯(lián)結(jié)后,教師以關(guān)聯(lián)和整體的視角,結(jié)合學(xué)生對算理理解的逐漸深入,來完成豎式的解構(gòu)和建構(gòu),促進算理與算法的融合,奠定了對“位”與“值”理解的基礎(chǔ)。接下來,教師需要組織學(xué)生站在審視方法的角度,從多樣的方法中理解筆算作為通法的“位值”原理。
【教學(xué)片段3】
教師出示圖5的兩種方法,并提出學(xué)習(xí)任務(wù)。1.邊圈邊說?!斑@兩種方法能看懂嗎?”讓學(xué)生在點子圖上邊圈邊說。2.比較異同?!斑@兩種方法有沒有相同的地方?有沒有不同的地方?”3.其他方法。“通過這兩種方法的學(xué)習(xí),你還能想到其他的方法嗎?”4.方法分類。“給所有的方法分分類,說說為什么這樣分?!?.方法普適?!敖鉀Q13×11,你會用什么方法?為什么?”
教師從學(xué)生眾多的方法中選擇兩個均為拆 14 的方法作為學(xué)習(xí)材料,讓學(xué)生在“圈”和“說”中明確算理,在“比”和“猜”中討論策略。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),雖然方法看上去各不相同,但思考的策略都是轉(zhuǎn)化問題:一類利用乘法結(jié)合律轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù);另一類先利用乘法分配律轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)分別乘整十數(shù)和一位數(shù),再相加。在方法分類和比較的過程中,教師著重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘整十數(shù)時,計算的是(□□×□)個十,本質(zhì)還是轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù),從而帶領(lǐng)學(xué)生從多樣化走向普適性。
(四)關(guān)聯(lián):感悟筆算“位表征”到“值表征”的程序聯(lián)結(jié)
在經(jīng)歷了前三個層次的學(xué)習(xí)過程后,學(xué)生對算理算法和思考策略都有了一定的理解,此時教師讓學(xué)生試做31×11,引導(dǎo)學(xué)生體會不同的轉(zhuǎn)化策略有其適用性,筆算是解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)的通法,同時在對比中將通法的“位值”可視化,助推學(xué)生真正走向?qū)Α拔恢怠钡纳疃壤斫?,把程序式的算法抽象成穩(wěn)固的模型,形成普適性的計算程序。
【教學(xué)片段4】
教師出示31×11后,讓學(xué)生自主試做。組織如下教學(xué):1.用點子圖表示筆算。讓學(xué)生在點子圖上畫出筆算每一步的意思。2.反思方法?!霸趺创蠹叶加霉P算的方法?說說通過這道題你發(fā)現(xiàn)了什么?!?.建構(gòu)模型。讓學(xué)生看著筆算31×11的計算過程,對“為什么第二層計算31×1個十,最高位在百位上”展開討論。
將位值原理和程序化規(guī)則以點子圖的方式可視化,能幫助學(xué)生聯(lián)通“位”與“值”,厘清本質(zhì)內(nèi)涵,促進基于意義理解的程序建模。
數(shù)的運算教學(xué)要以數(shù)的認識為基礎(chǔ),突出計數(shù)單位的意義,無論整數(shù)乘法,還是小數(shù)、分數(shù)乘法,都具有一致性。教師需要整體設(shè)計,在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中解構(gòu)外在的形,建構(gòu)內(nèi)在的理,由表及里地實施聯(lián)結(jié)教學(xué)。
參考文獻:
[1]鞏子坤,史寧中,張丹. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準修訂的新視角:數(shù)的概念與運算的一致性[J].課程·教材·教法,2022,42(6).
[2]包靜娟.創(chuàng)設(shè)聯(lián)結(jié)? ?破解“黑洞”:以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2020(9).
[3]章勤瓊,杜依銘.運算教學(xué)中如何做到“法理兼顧”:略談運算教學(xué)的三個要點[J].福建教育,2022(10).
(1.浙江省杭州市拱墅區(qū)教育研究院? ?310015)
2.浙江省杭州市育才登云小學(xué)? ?310015)