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        模型動詞:摸、拋、轉(zhuǎn)

        2022-05-30 10:48:04周華軍
        初中生世界·九年級 2022年11期
        關(guān)鍵詞:樹狀六邊形奇數(shù)

        周華軍

        概率是歷年中考的必考內(nèi)容??v觀中考概率題,求不確定事件發(fā)生的概率模型,可以概括為三個動作:摸(球、簽)、拋 (骰子、硬幣)、轉(zhuǎn)(轉(zhuǎn)盤)。

        一次“摸、拋、轉(zhuǎn)”,公式直接求

        對于一次“摸、拋、轉(zhuǎn)”,它們發(fā)生的可能性都相等,總體來說比較簡單,只要根據(jù)概率的意義,在一次試驗(yàn)中,找準(zhǔn)兩點(diǎn)(①全部情況的總數(shù)n,②符合條件的事件A包含其中的m種結(jié)果),然后根據(jù)事件A發(fā)生的概率為P(A)=m/n,直接得出答案。

        例1 如圖1,一個質(zhì)地均勻的正五邊形轉(zhuǎn)盤,指針的位置固定,當(dāng)轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動停止后,觀察指針指向區(qū)域內(nèi)的數(shù)(若指針正好指向分界線,則重新轉(zhuǎn)一次),這個數(shù)是一個奇數(shù)的概率是_______。

        【解析】由圖可知,指針指向的區(qū)域有5種等可能結(jié)果,其中指向的區(qū)域內(nèi)的數(shù)是奇數(shù)的結(jié)果有3種,所以這個數(shù)是一個奇數(shù)的概率是3/5。故答案為3/5。

        例2 不透明的盒中裝有三張卡片,編號分別為1、2、3。三張卡片質(zhì)地均勻,大小、形狀完全相同,搖勻后從中隨機(jī)抽取一張卡片記下編號,然后放回盒中再搖勻,再從盒中隨機(jī)取出一張卡片,則兩次所取卡片的編號之積為奇數(shù)的概率為_______。

        【解析】列表如下。

        由表可知共有9種等可能的結(jié)果,其中兩次所取卡片的編號之積為奇數(shù)的結(jié)果有4種,所以兩次所取卡片的編號之積為奇數(shù)的概率為4/9。故答案為4/9。

        例3 假定按同一種方式拋兩枚均勻硬幣,如果第一枚出現(xiàn)正面朝上,第二枚出現(xiàn)反面朝上,就記為(正,反),如此類推,出現(xiàn)(正,正)的概率是()。

        A.1B.3/4C.1/2D.1/4

        【解析】列表如下。

        由表知共有4種等可能的結(jié)果,其中出現(xiàn)(正,正)的結(jié)果有1種,所以出現(xiàn)(正,正)的概率為[14]。故選D。

        例4 如圖2,兩個相同的可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A和B,轉(zhuǎn)盤A被三等分,分別標(biāo)有數(shù)字2、0、-1;轉(zhuǎn)盤B被四等分,分別標(biāo)有數(shù)字3、2、-2、-3。如果同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A、B,轉(zhuǎn)盤停止時,兩個指針指向轉(zhuǎn)盤A、B上的對應(yīng)數(shù)字分別為x、y(當(dāng)指針指在兩個扇形的交線時,需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤),那么點(diǎn)(x,y)落在直角坐標(biāo)系第二象限的概率是。

        【解析】列表如下。

        由表可知,共有12種等可能的結(jié)果,其中點(diǎn)(x,y)落在直角坐標(biāo)系第二象限的結(jié)果有2種,所以點(diǎn)(x,y)落在直角坐標(biāo)系第二象限的概率是2/12=1/6。

        【點(diǎn)評】我們需要注意區(qū)分的是,“摸”的類型有兩種,有放回和無放回;“拋”“轉(zhuǎn)”的類型只有一種,第一次出現(xiàn)的,第二次還有可能出現(xiàn),相當(dāng)于“摸”類型中的有放回。

        三次“摸、拋、轉(zhuǎn)”,樹狀圖助列舉

        例5 有兩部不同的電影A、B,甲、乙、丙3人分別從中選擇一部觀看。求甲、乙、丙3人選擇同一部電影的概率。

        【解析】題目里是“選”而不是“摸”,但它的意思等同于“摸”。我們變換一下說法就是“有紅、黑2個球,甲、乙、丙3人依次從中摸出一個球記下顏色后放回。求甲、乙、丙3人摸出同一種顏色球的概率。”

        共有8種等可能的結(jié)果,其中甲、乙、丙3人選擇同一部電影的結(jié)果有2種,由此利用概率公式得P(甲、乙、丙3人選擇同一部電影)=2/8=1/4。

        【點(diǎn)評】樹狀圖法一般是先選擇一個元素,再和其他元素分別組合,依次列出,像樹的枝丫一樣,最末端的枝丫個數(shù)就是總的可能的結(jié)果n。

        例6 隨機(jī)拋擲一枚硬幣三次,求至少有一次反面向上的概率。

        【解析】列表法適合兩步完成的事件,樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件。先畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果,再找出至少有一次反面向上的結(jié)果,即可求出概率。

        由圖可知,所有等可能的結(jié)果有8種,其中至少有一次反面向上的結(jié)果有7種,則P(至少有一次反面向上)=7/8。

        【點(diǎn)評】“拋擲一枚硬幣三次”與“一次拋擲三枚均勻的硬幣”,二者的情境本質(zhì)上是相同的。同樣的,換一下情境但本質(zhì)不變,我們變?yōu)椤癆、B、C三人玩?zhèn)骰ㄓ螒颍螒蛞?guī)則是:第一次由A將花隨機(jī)地傳給B、C兩人中的某一人,以后的每一次傳花都是由上次的得花者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人。求第三次傳花后,花回到A手中的概率?!?/p>

        轉(zhuǎn)

        例7 如圖3是一個指針可以自由轉(zhuǎn)動的正六邊形轉(zhuǎn)盤,其中三個正三角形涂有陰影,隨機(jī)轉(zhuǎn)動指針三次,求指針均落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率。

        【解析】正六邊形轉(zhuǎn)盤被等分成6塊,三塊陰影,三塊白色,各占一半,因此等同于“正六邊形轉(zhuǎn)盤被等分成2塊,一塊陰影,一塊白色”,也就相當(dāng)于一枚硬幣的正反兩面。因?yàn)檎呅伪环殖上嗟鹊?部分,其中陰影部分占一半,所以樹狀圖同例6,所有等可能的結(jié)果有8種,其中指針均落在陰影區(qū)域內(nèi)的結(jié)果有1種,所以指針均落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為P(指針均落在陰影區(qū)域內(nèi))=[18]。

        【點(diǎn)評】深度思考,發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì),學(xué)會轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵。

        (作者單位:江蘇省東臺市弶港鎮(zhèn)中學(xué))

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