王博陽(yáng)　劉會(huì)艷

摘? ?要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)教學(xué)中要注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合。為改進(jìn)教學(xué)方式，教師可以利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)?！搬斸敗毕到y(tǒng)為實(shí)施線上數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供了便利，將GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，提升了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)效率?！胺幢壤瘮?shù)的圖像”的線上教學(xué)課例，為建構(gòu)高效的線上教學(xué)模式提供了借鑒。

關(guān)鍵詞：線上教學(xué)；釘釘；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；GeoGebra

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2022）32-0022-06

現(xiàn)階段，線上教學(xué)越來(lái)越普及，“釘釘”系統(tǒng)越來(lái)越被廣泛應(yīng)用，表現(xiàn)出了顯著優(yōu)勢(shì)。深入探究影響線上教學(xué)效果的因素，發(fā)揮線上教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，解決存在的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，提高教師線上教學(xué)能力和學(xué)生線上學(xué)習(xí)能力，是當(dāng)下迫切需要解決的問(wèn)題。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）強(qiáng)調(diào)教學(xué)中要注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合。教師可以利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)改進(jìn)教學(xué)方式，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)；利用數(shù)字化平臺(tái)、工具與資源指導(dǎo)學(xué)生做好時(shí)間管理，規(guī)劃學(xué)習(xí)任務(wù)，開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)，加強(qiáng)自我監(jiān)控、自我評(píng)價(jià)，提升自主學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)。如何將信息技術(shù)深度融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)？應(yīng)讓學(xué)生盡量經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究，注重“做中學(xué)”，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題、建構(gòu)知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)的過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生像專家一樣思考與行動(dòng)。隨著義務(wù)教育新課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)的有效實(shí)施，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入課堂成為關(guān)注熱點(diǎn)。

本文試圖構(gòu)建基于“釘釘”平臺(tái)的線上數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式，將GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，提升數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)效率。課題組以“反比例函數(shù)的圖像”的線上教學(xué)為例，提出了初中數(shù)學(xué)線上數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)策略，為建構(gòu)高效的線上教學(xué)模式提供借鑒。

一、基本情況

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課是冀教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第二十七章第2節(jié)“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)”第1課時(shí)。函數(shù)是非常重要的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生已經(jīng)有了學(xué)習(xí)反比例函數(shù)概念的基礎(chǔ)，本節(jié)課類比一次函數(shù)的研究方法，學(xué)習(xí)用描點(diǎn)法畫(huà)反比例函數(shù)的圖像，并歸納圖像的特征，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，為以后學(xué)習(xí)二次函數(shù)積累更多的經(jīng)驗(yàn)。

由此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：用描點(diǎn)法畫(huà)出反比例函數(shù)的圖像。

2.教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)以上分析和《課標(biāo)》要求確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

（1）經(jīng)歷畫(huà)出反比例函數(shù)圖像的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、歸納和概括的能力；

（2）能畫(huà)出反比例函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像和函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=k/x（k≠0）探索并歸納圖像的特征，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法；

（3）積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，以及直觀想象等核心素養(yǎng)。

3.學(xué)情分析

學(xué)生在八年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)和應(yīng)用，初步掌握了學(xué)習(xí)函數(shù)的基本方法。但從一次函數(shù)到反比例函數(shù)，圖像由“一條”到“兩支”，形態(tài)由“直”到“曲”，與坐標(biāo)軸由“相交”到“漸進(jìn)”，學(xué)生理解起來(lái)有一定困難。

所以本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：理解反比例函數(shù)的圖像是雙曲線。

4.媒體支持

本節(jié)課借助“釘釘”平臺(tái)，在線上進(jìn)行課堂授課。課前教師通過(guò)釘釘班級(jí)教學(xué)群，發(fā)送給學(xué)生資源包，包括GeoGebra軟件等，學(xué)生下載并安裝。

5.教學(xué)策略

為了提高課堂效率，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，教師設(shè)計(jì)了預(yù)習(xí)案，抓住學(xué)生作業(yè)中反饋的典型問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)地展開(kāi)討論，進(jìn)一步提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，由此拉開(kāi)本節(jié)課學(xué)習(xí)的序幕。

《課標(biāo)》提倡利用信息技術(shù)呈現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)中難以呈現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)。為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，本節(jié)課盡可能合理、有效地使用釘釘平臺(tái)、GeoGebra軟件、課件等設(shè)備，使課堂更加生動(dòng)靈活，更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生的實(shí)驗(yàn)探究和展示交流更加方便，提高教學(xué)效益。

在教學(xué)方法上采用“實(shí)驗(yàn)探究教學(xué)法”，讓學(xué)生在做中學(xué)，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。另外教師通過(guò)設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探索交流、操作實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證猜想從而得出結(jié)論，使學(xué)生真正學(xué)會(huì)思考。

二、教學(xué)過(guò)程

1.預(yù)習(xí)反饋

課前預(yù)習(xí)：畫(huà)函數(shù)y=6/x的圖像，（注意：用鉛筆畫(huà)圖，在圖像的旁邊標(biāo)上函數(shù)關(guān)系式）。反饋學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的五種典型畫(huà)法

思考：同一個(gè)函數(shù)，同學(xué)們卻畫(huà)出了不同的圖像，請(qǐng)談?wù)勀愕目捶ā?/p>

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生有畫(huà)函數(shù)圖像的基礎(chǔ)，因此設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)，既培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，又提高了課堂效率。呈現(xiàn)學(xué)生作品這一生成性資源，有利于激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生的思考，方便學(xué)生比較辨析。

活動(dòng)要求：（1）學(xué)生獨(dú)立思考，觀察這些圖像，判斷正誤并說(shuō)明理由；（2）小組合作交流；（3）選出小組代表展示，其他同學(xué)認(rèn)真聆聽(tīng)，并準(zhǔn)備發(fā)表見(jiàn)解。

設(shè)計(jì)意圖：獨(dú)立思考使學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)；小組合作培養(yǎng)了學(xué)生的合作意識(shí)。

展示交流：學(xué)生有以下發(fā)現(xiàn)：

第一種圖像少了一支，列表時(shí)沒(méi)有考慮x＜0的情況；第二、三種圖像與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)了，表達(dá)式y(tǒng)=6/x中，x在分母上，不能取0，從而y也不能為0，所以圖像與兩坐標(biāo)軸都沒(méi)有交點(diǎn)；第四種和第五種對(duì)比，第四種變化趨勢(shì)不對(duì)，比如，當(dāng)x＞0時(shí)，x越大，y越小.

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過(guò)討論、交流、展示，學(xué)生明晰了畫(huà)圖像時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng)。

反思：畫(huà)反比例函數(shù)時(shí)應(yīng)注意：

（1）自變量的取值范圍；（2）圖像的變化趨勢(shì)；（3）圖像的形態(tài)。

設(shè)計(jì)意圖：在分析圖像的過(guò)程中，學(xué)生深入感受了函數(shù)三種表示方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。

2.操作實(shí)驗(yàn)

借助軟件探究反比例函數(shù)y=6/X的圖像。

針對(duì)這個(gè)軟件，課前對(duì)學(xué)生做了培訓(xùn)，他們已經(jīng)能較為熟練地使用。

操作1.學(xué)生正確列表，在軟件上準(zhǔn)確描點(diǎn)

（為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，教師又讓學(xué)生取合適的自變量完善列表。）

（1）列表：

（2）以表中各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在GeoGebra代數(shù)區(qū)中依次輸入。

學(xué)生在完成列表描點(diǎn)之后思考：相鄰兩點(diǎn)之間怎樣連線？線段還是曲線？

學(xué)生有如下思考：

①如果是線段，圖像就是一次函數(shù)了。

②嘗試在兩點(diǎn)之間再多取一個(gè)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)這個(gè)點(diǎn)不在第一種的線段上，從而猜想圖像是曲線。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突，激發(fā)學(xué)生探究的欲望。

為了得到函數(shù)的準(zhǔn)確圖像，必須準(zhǔn)確描點(diǎn)。學(xué)生在紙上描點(diǎn)，速度慢且不精確。描坐標(biāo)為非整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，用GeoGebra軟件描點(diǎn)，快速又準(zhǔn)確，只需輸入點(diǎn)的坐標(biāo)即可出現(xiàn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

操作2：拖動(dòng)滑條逐漸進(jìn)行加密，觀察函數(shù)的圖像

教師點(diǎn)撥：為了能更清楚地看出圖像的形狀和變化趨勢(shì)，可以描出更多的點(diǎn)，此時(shí)學(xué)生動(dòng)手操作軟件，拖動(dòng)滑條a增加點(diǎn)的個(gè)數(shù)，之后選取小組代表進(jìn)行展示交流，如圖2、圖3等，展示交流過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)y=6/x的圖像是曲線且無(wú)限靠近坐標(biāo)軸。

定義：反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的圖像由分別位于兩個(gè)象限內(nèi)的兩條曲線組成，這樣的曲線叫做雙曲線。

設(shè)計(jì)意圖：用GeoGebra軟件很好地突破描點(diǎn)法畫(huà)圖像的難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了原有教學(xué)手段達(dá)不到的效果。在原有描點(diǎn)的基礎(chǔ)上將點(diǎn)增多，從而形成了反比例函數(shù)的圖像，直觀形象地呈現(xiàn)了圖像的形狀和變化趨勢(shì)。

3.鞏固新知

在直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出反比例函數(shù)y=-6/x的圖像，并拍照分享展示。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生已經(jīng)感知了反比例函數(shù)圖像，再畫(huà)圖像時(shí)，學(xué)生考慮問(wèn)題會(huì)更全面。

4.對(duì)比歸納

比較反比例函數(shù)y=6/x與y=-6/x的圖像，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生歸納它們的共同特征：圖像都是由兩條曲線組成，分別位于兩個(gè)不同的象限，即都是雙曲線。同時(shí)，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k>0時(shí)，它的圖像位于第一、三象限；當(dāng)k<0時(shí)，它的圖像位于第二、四象限。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比k值一正一負(fù)兩個(gè)圖像，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和概括能力，加深學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)圖像是雙曲線的理解。

5.驗(yàn)證猜想

（1）學(xué)生在軟件的代數(shù)區(qū)輸入表達(dá)式，分別畫(huà)出反比例函數(shù)y=6/x、y=3/x、y=1/x的圖像.觀察三個(gè)函數(shù)圖像位置，如圖4.

（2）學(xué)生在軟件的代數(shù)區(qū)輸入表達(dá)式，分別畫(huà)出反比例函數(shù)y=-10/x、y=-4/x、y=-1/x的圖像.觀察三個(gè)函數(shù)的圖像位置，如圖5.

設(shè)計(jì)意圖：快速畫(huà)出3個(gè)k>0的圖像，3個(gè)k<0的圖像，證實(shí)學(xué)生的猜想，便于發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，為下節(jié)課深入探究反比例函數(shù)的性質(zhì)做好鋪墊。

6.應(yīng)用檢測(cè)

（1）下列直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=-3/x的圖像大致是（ ）

（2）若反比例函數(shù)y=a-2/x（a是常數(shù)）的圖像在第一、三象限，那么a的取值范圍是（ ）

A．a(chǎn)<0? ?B．a(chǎn)>0? ?C．a(chǎn)<2? ?D．a(chǎn)>2

設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用檢測(cè)鞏固了所學(xué)知識(shí)和方法，進(jìn)一步提升了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，有助于評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。用問(wèn)卷星發(fā)布檢測(cè)題，學(xué)生完成試題，可以快速得到每個(gè)試題的正答率，方便進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)。

7.反思總結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生從以下兩個(gè)方面談一談本節(jié)課的收獲和體會(huì)：本節(jié)課你在知識(shí)上有哪些收獲？在獲得知識(shí)的過(guò)程中有何體會(huì)？

設(shè)計(jì)意圖：有利于學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系，清楚知識(shí)間聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣。

8.布置作業(yè)

為了實(shí)現(xiàn)減負(fù)、提質(zhì)、增效，設(shè)置分層作業(yè)，教師可通過(guò)釘釘家校本收集作業(yè)，并通過(guò)批注、語(yǔ)音等多種方式點(diǎn)評(píng)作業(yè)。

【鞏固性作業(yè)】

（1）下列函數(shù)圖像是雙曲線的是（）

A．y=2x-5? ?B．y=-x/3? C．y=3/x? ? D．y=x²

（2）在下圖中，反比例函數(shù)的圖像大致是（ ）

（3）直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出反比例函數(shù)y=2/x和y=-2/x的圖像，分別指出它們位于哪兩個(gè)象限，并試著說(shuō)說(shuō)y隨x的變化情況。

設(shè)計(jì)意圖：鞏固性作業(yè)，面向全體學(xué)生，既鞏固所學(xué)知識(shí)和技能，又著力培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和思考能力，從而達(dá)本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)。

【拓展性作業(yè)】

（4）已知反比例函數(shù)y=-8/x.

①設(shè)點(diǎn)A為函數(shù)圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)A1與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)A1在函數(shù)y=-8/x的圖像上嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②作AB垂直于軸于點(diǎn)B，AC垂直于軸于點(diǎn)C，試求矩形OBAC的面積.

設(shè)計(jì)意圖：拓展性作業(yè)，面向大部分學(xué)生，讓他們?cè)诶斫夥幢壤瘮?shù)圖像的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，建立知識(shí)間的邏輯關(guān)系，真正讓深度學(xué)習(xí)落到實(shí)處，最終形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【探究性作業(yè)】

（5）在完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)后，對(duì)于反比例函數(shù)y=k²/x.

小明：函數(shù)的圖像是雙曲線且位于一、三象限；

小亮：y的值隨x的值的增大而減??；

小麗：將反比例函數(shù)y=k²/x的圖像沿軸向上平移1個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y=k²/x+1的圖像.

你認(rèn)為以上三位同學(xué)的說(shuō)法對(duì)嗎？請(qǐng)談?wù)勀愕目捶ā?/p>

設(shè)計(jì)意圖：探究性作業(yè)，面向?qū)W有余力的學(xué)生，促進(jìn)探究活動(dòng)中數(shù)學(xué)思維策略的凝練。

利用GeoGebra軟件有效突破了畫(huà)圖像的難點(diǎn)，能將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)；能促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，規(guī)劃學(xué)習(xí)任務(wù)。利用數(shù)字化平臺(tái)、工具與資源開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)，能幫助學(xué)生加強(qiáng)自我監(jiān)控、自我評(píng)價(jià)，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，改變學(xué)生傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式，滿足學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求，落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，這種教學(xué)方式可以作為落實(shí)新方案和新課程的一種新途徑。

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍.課程改革呼喚數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［J］.江蘇教育（中學(xué)數(shù)學(xué)），2017，（4）.

［2］章建躍.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的育人價(jià)值［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2016，（4）.