甘肅省秦安縣第二中學(xué) 羅文軍 741600

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)，是高考考查的主干內(nèi)容，本文對(duì)2021 年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷、全國(guó)Ⅱ卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷中的圓錐曲線試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和命題規(guī)律分析，對(duì)部分試題進(jìn)行賞析，并提出2022高考圓錐曲線試題備考策略.

1 2021 年高考全國(guó)卷數(shù)學(xué)圓錐曲線試題特征統(tǒng)計(jì)

2021年高考全國(guó)卷數(shù)學(xué)圓錐曲線試題特征統(tǒng)計(jì)

__類別 題型 題號(hào) 分值 考查的知識(shí)內(nèi)容 考查的關(guān)鍵能力 考查的學(xué)科素養(yǎng)試卷考查的核心素養(yǎng)___全國(guó)Ⅱ卷理科選擇題_填空______題11 13______________________________邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力____運(yùn)算求解能力____理性思維、數(shù)學(xué)探索____理性思維____數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題21 55_____________________________________________________________________________________1邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力理性思維、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模全國(guó)Ⅱ卷文科選擇題_填空______題11 14______解答題20 2 5 5______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1 5新高考Ⅰ卷單項(xiàng)選__擇題填空題14解答題單項(xiàng)選__擇題填空題21 2 5 5 1 3新高考Ⅱ卷13邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力____運(yùn)算求解能力____邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力____邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力____邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力運(yùn)算求解能力邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力____理性思維、數(shù)學(xué)探索理性思維理性思維、數(shù)學(xué)探索理性思維、數(shù)學(xué)探索理性思維、數(shù)學(xué)探索____理性思維、數(shù)學(xué)探索理性思維理性思維、數(shù)學(xué)探索解答題20 2 5 5 1 2橢圓的定義和幾何性質(zhì)、最值問(wèn)題______________________________________________雙曲線的幾何性質(zhì)___________________________________________拋物線的定義和幾何性質(zhì)、圓的幾何性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、圓錐曲__________________________________________________________________________________________________________________________線的最值橢圓的定義和幾何性質(zhì)、最值問(wèn)題____________________________________雙曲線的幾何性質(zhì)_________________________________拋物線的方程和圓錐曲線最值問(wèn)題、向量橢圓的定義、最值問(wèn)題、基本不等式____________________________________拋物線的幾何性質(zhì)雙曲線的定義和方程、圓錐曲線的定值問(wèn)題拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的離心率和漸近線____________________________________________橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、橢圓的弦長(zhǎng)公式、直線與圓相切、充分必要條件邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力理性思維、數(shù)學(xué)探索數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理__數(shù)學(xué)運(yùn)算__數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理__數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理__數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理__數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象

2 2021 年高考全國(guó)卷圓錐曲線試題命題規(guī)律分析

從上表可以看出，圓錐曲線的題型都是兩道小題一道大題的形式，分值分布都為22 分.從考查的知識(shí)點(diǎn)來(lái)看，小題主要考查圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)，大題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的最值和定值問(wèn)題，考查的都是高中數(shù)學(xué)圓錐曲線部分的必備知識(shí)，體現(xiàn)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中要求的高考試題命制的基礎(chǔ)性；部分圓錐曲線解答題和函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、圓、充分必要條件等知識(shí)交匯考查，創(chuàng)新了高考數(shù)學(xué)圓錐曲線試題的結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了高考試題注重在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn)，體現(xiàn)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中要求的高考試題命制的綜合性和創(chuàng)新性.從考查的關(guān)鍵能力來(lái)看，主要考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.從考查的高考學(xué)科素養(yǎng)來(lái)看，主要考查理性思維和數(shù)學(xué)探索的學(xué)科素養(yǎng).從考查的核心素養(yǎng)來(lái)看，主要考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).特別地，將圓錐曲線知識(shí)與其他高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)綜合在一起考查，增加了試題的難度，考查了考生靈活運(yùn)用和整合高中數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.從圓錐曲線在解答題中呈現(xiàn)的順序來(lái)看，普遍在20 題或者21 題，屬于解答題中靠后的位置，這些圓錐曲線解答題第二問(wèn)普遍難度較大，具有很好的區(qū)分度和選拔功能.結(jié)合具體試卷，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)全國(guó)Ⅰ卷理科與文科圓錐曲線填空題相同，理科和文科圓錐曲線解答題相同.全國(guó)Ⅱ卷理科和文科沒(méi)有相同的圓錐曲線試題.

3 典型試題賞析

例1 （全國(guó)Ⅰ卷理科，5）已知F1,F2是雙曲線C 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P 為C 上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|，則C 的離心率為（ ）.

分析:根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出|PF1|,|PF2|，結(jié)合余弦定理可得答案.

解:因?yàn)閨PF1|=3|PF2|，由雙曲線的定義可 得 |PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a，所 以|PF2|=a，|PF1|=3a；因?yàn)椤螰1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2×3a·a·cos 60°,

A.1 B.2 C.4 D.8

分析:設(shè)P(x0,y0)，由B( 0,b) ，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PB|，分類討論求出|PB|的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，求解.

評(píng)注：本題體現(xiàn)了圓錐曲線與函數(shù)的交匯.以上兩種解法都是代數(shù)法求圓錐曲線的范圍問(wèn)題.解法1 利用了橢圓的幾何性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，解法2 利用參數(shù)方程法，把問(wèn)題化歸為不等式恒成立問(wèn)題，再結(jié)合二次函數(shù)的值域求解.

例3（全國(guó)Ⅱ理科21)已知拋物線C：x2=2py(p＞0) 的 焦 點(diǎn) 為F，且F與 圓M:x2+(y+4)2=1 上點(diǎn)的距離的最小值為4.（1）求p；（2）若點(diǎn)P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.

分析：（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于p的等式，即可解出p的值；（2）設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x0,y0)，利用導(dǎo)數(shù)求出直線PA、PB，進(jìn)一步可求得直線AB的方程，將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出|AB|以及點(diǎn)P到直線AB的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得△PAB面積的最大值.

例4 （新高考Ⅰ卷，21）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1(-,0)，F(xiàn)2(,0)，點(diǎn)M滿足|MF1|-|MF2|=2 ，記M的軌跡為C（.1）求C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=上，過(guò)T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

評(píng)析：第（1）問(wèn)考查了利用雙曲線的定義求軌跡，第（2）問(wèn)考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求解，即使運(yùn)算能力達(dá)不到，按常規(guī)套路去做也可以得到一半以上的分?jǐn)?shù)，著力考查了考生利用幾何圖形進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算的能力，考查了綜合思維能力，考查了考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.以上解法1 運(yùn)算量較大，解法2 運(yùn)用了參數(shù)方程法，運(yùn)算量較少.本題可以看成源自人教A 版選修4-4 課本《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》直線的參數(shù)方程第38頁(yè)例4.

試題評(píng)價(jià)：這道試題第（1）問(wèn)考查了橢圓的幾何性質(zhì)和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，第（2）問(wèn)將直線、橢圓、圓和充分必要條件有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中要求的高考數(shù)學(xué)試題命制的基礎(chǔ)性和綜合性，突出考查了數(shù)形結(jié)合思想和方程思想，考查了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中要求的邏輯思維能力和運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力，著力考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).從試題的設(shè)計(jì)上來(lái)看，試題在考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，也考查了考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力以及綜合思維能力，試題第（2）問(wèn)解法靈活多樣，有利于不同學(xué)習(xí)程度的學(xué)生作答，具有很好的區(qū)分度和選拔功能.

評(píng)注：證必要性時(shí)，把點(diǎn)M,N,F三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，設(shè)出直線MN的方程，根據(jù)直線與半圓相切則圓心到直線距離等于圓的半徑，解出m2的值，再運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，整體代換后可得出弦長(zhǎng)|MN|= 3 ；證充分性時(shí)，根據(jù)直線與半圓相切和弦長(zhǎng)公式可解出m的值，得出直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)F.

4 2022年高考圓錐曲線備考策略

另一面，教師要引導(dǎo)學(xué)生做近三年高考真題，把近三年的高考圓錐曲線真題按不同考點(diǎn)：橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的幾何性質(zhì)、拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的幾何性質(zhì)和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系分類整理，做成專題供學(xué)生練習(xí)使用.在圓錐曲線的復(fù)習(xí)中，也要滲透一定的數(shù)學(xué)文化，例如黃金分割橢圓和黃金分割雙曲線、阿基米德三角形、蒙日?qǐng)A、圓錐曲線中的蝴蝶定理和舒騰的橢圓規(guī)問(wèn)題.