[摘? 要] “圖形的測量”是積累幾何活動經(jīng)驗、培養(yǎng)空間思維的主要載體。在“圖形的測量”板塊教學(xué)時，通過結(jié)合實例、動手操作、溝通聯(lián)系，以形助數(shù)讓圖形度量更直觀;通過對比、梳理、反思，以數(shù)釋形讓圖形計算走向深刻;通過以形表思、以數(shù)輔形、數(shù)形互通，把復(fù)雜問題簡單化，抽象問題直觀化，使知識的學(xué)習(xí)更加深刻明了。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合;圖形度量;圖形計算;問題解決

數(shù)形結(jié)合思想是新課程標(biāo)準(zhǔn)體現(xiàn)的一項重要的數(shù)學(xué)思想，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)至關(guān)重要。“圖形的測量”是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中積累幾何活動經(jīng)驗、培養(yǎng)空間觀念的主要載體。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！痹凇皥D形的測量”的教學(xué)過程中，挖掘其中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)容（圖1），能貫通學(xué)生心中數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，還能引導(dǎo)學(xué)生建立空間觀念，培養(yǎng)空間思維，提高問題解決能力。

一、以形助數(shù)，助推圖形度量板塊

加強對度量單位實際意義的理解，對“圖形的測量”板塊的教學(xué)起到?jīng)Q定性的作用。教學(xué)時，教師應(yīng)讓學(xué)生明白為什么要統(tǒng)一度量單位，經(jīng)歷度量單位產(chǎn)生的過程，以及度量單位間的區(qū)別與聯(lián)系。要想準(zhǔn)確區(qū)分這些度量單位并正確運用，教師應(yīng)嘗試以形助數(shù)，讓“度量單位”變直觀，構(gòu)建完整的度量單位的知識網(wǎng)，以便知識的靈活應(yīng)用（圖2）。

（一）結(jié)合實例，在直觀中感知度量

度量板塊教學(xué)時，教師要著眼于度量表象的建立。讓學(xué)生親密接觸度量的對象，引導(dǎo)學(xué)生對具體實例進行觀察、比較等感知活動，給學(xué)生豐富感知的機會。

例如“面積的認識”，身邊哪些物體有面？讓每個學(xué)生都找一找，會發(fā)現(xiàn)面無處不在，桌子、凳子、練習(xí)本、文具盒等，這些物體都有面，面是長在物體上的，這些物體如果畫下來就是一個平面圖形。再看一看、摸一摸這些面，會知道面是看得見、觸摸得到的。再比一比，會發(fā)現(xiàn)這些面有大有小，面的大小就是它們的面積。如此，學(xué)生對面的大小有了直觀的感知。

“面積”的學(xué)習(xí)，標(biāo)志著學(xué)生的認知領(lǐng)域從一維空間延伸到二維區(qū)域，這是學(xué)生認知系統(tǒng)一個質(zhì)的飛躍。通過摸一摸，直觀感知面是立體圖形的一部分，有曲面和平面之分;再通過比一比，認識到面是有大小的。結(jié)合具體實例，理解面積的含義，對面積的進一步學(xué)習(xí)有很好的促進作用。

（二）動手操作，在實踐中體驗度量

度量知識的即時掌握并不重要，重要的是在獲取知識的過程中學(xué)生活動經(jīng)驗的積累。度量知識的真正掌握需要教師給學(xué)生提供動手操作的機會，讓學(xué)生經(jīng)歷用不同的方式進行測量、感受、理解的過程。讓學(xué)生在操作中體驗，在體驗中掌握。在反復(fù)操作中體驗度量單位，加深對度量單位的理解，建立度量單位的概念，讓度量知識真正內(nèi)化。

例如“面積單位的認識”的教學(xué)，讓學(xué)生找一找，找身邊的1平方厘米、1平方分米、1平方米的平面;比一比，用學(xué)具驗證自己對這些面大小的估計是否準(zhǔn)確;量一量，用1平方厘米的小正方形度量橡皮的一個面;鋪一鋪，用1平方厘米的小正方形來密鋪1平方分米的正方形;站一站，在1平方米大小的正方形紙上站一站，看看能站幾個小朋友。再如容積單位“毫升的認識”的教學(xué)，可以這樣安排：讓學(xué)生猜一猜，1毫升的水大概有多少;量一量，用量筒量出1毫升水;數(shù)一數(shù)，1毫升水有幾滴;玩一玩，把1毫升水倒在手心來感受;比一比，在杯子中倒入10毫升水，與1毫升水比一比。

長度單位、面積單位、體積單位等這些度量單位都是比較抽象的概念，所以教師在教學(xué)時更要提供多種實踐的機會，設(shè)置豐富的體驗活動。在動手操作的過程中，深度體驗度量，讓學(xué)生在多維的體驗活動中建立度量單位的表象，形成對度量單位的建模。

（三）加強聯(lián)系，在溝通中頓悟度量

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要從知識間的聯(lián)系去思考問題，度量的學(xué)習(xí)更不能孤立地進行。不同度量單位間的進率有差異，而且它們的教學(xué)零散地分布在不同的年級，所以學(xué)生對度量單位的掌握也是碎片化的，這樣的學(xué)習(xí)對學(xué)生造成很大困擾。因此，教師要從整體上進行溝通聯(lián)系，構(gòu)建度量單位的知識網(wǎng)，讓知識變得更直觀、更有序。

例如在理解體積單位之后，可以進行長度、面積、體積單位之間的溝通整理教學(xué)，讓學(xué)生用手分別比畫出1厘米、1平方厘米、1立方厘米的大小。在比畫的過程中，引導(dǎo)學(xué)生去感受：三者所表示的形狀不同，意義也不同，1厘米是一條線，只需從一個方向進行比畫;1平方厘米是一個面，要比畫長和寬兩個方向;而1立方厘米是一個體，要比畫長寬高三個方向。然后復(fù)習(xí)長度單位間、面積單位間、體積單位間的進率，進而發(fā)現(xiàn)：兩個面積單位間的進率就等于相對應(yīng)的長度單位間進率的平方，兩個體積單位的進率就等于相對應(yīng)的長度單位間進率的立方。

數(shù)學(xué)知識是層層深入、不斷推進的過程，度量教學(xué)借助形來描述度量單位，找到它們的聯(lián)系與區(qū)別。從一維到二維再到三維，讓度量由線及面，面動成體，由體成系，在溝通中理解度量，掌握各度量單位之間的進率，能獲得理想的教學(xué)效果。

二、以數(shù)釋形，助推圖形計算板塊

圖形具有形象直觀的優(yōu)點，所以不管是立體圖形的表面積和體積的計算，還是平面圖形的周長和面積的學(xué)習(xí)，在初學(xué)時都會給學(xué)生一種假象，讓他們覺得這些知識很簡單，易學(xué)，但等到知識一綜合，就會發(fā)現(xiàn)情況不妙了，周長與面積混淆了，表面積跟體積的內(nèi)容又沒那么清晰了。光靠直觀的表象不能很好地解釋圖形里面蘊藏的本質(zhì)，很難讓知識深刻。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察各圖形的特點，溝通圖形之間的聯(lián)系，發(fā)掘里面的隱含信息，從“形”中抽象出“數(shù)”，以數(shù)釋形，讓直觀走向深刻（圖3）。這樣才能真正理解圖形計算，明白圖形計算的本質(zhì)，讓圖形的計算落地生根。

（一）在對比中明理，讓算理更清晰

在圖形計算的教學(xué)中，不能讓學(xué)生直接進行計算公式的死記硬背。知識的混淆，究其原因，都是因為學(xué)生對概念的本質(zhì)、方法的本質(zhì)理解不清晰、不深刻。應(yīng)加強對比教學(xué)，凸顯其本質(zhì)特征。平面圖形之間、立體圖形之間都不是孤立存在的，這些知識相互關(guān)聯(lián)，有聯(lián)系又有區(qū)別。需要教師創(chuàng)設(shè)條件，組織學(xué)生在觀察中找到聯(lián)系，在不斷地對比中，總結(jié)方法，構(gòu)建知識框架，梳理出知識脈絡(luò)。

“平行四邊形的面積”的教學(xué)，都是把“新知”平行四邊形轉(zhuǎn)化成“舊知”長方形（如圖4），左邊圖形是把平行四邊形“推拉”成長方形，右邊圖形是把平行四邊形“割補”成長方形，為什么一個不可以計算出平行四邊形的面積，一個卻可以？“推拉”“割補”后的圖形與原來的比較，什么沒變，什么變了？“推拉”之后，周長不變，面積變了，所以平行四邊形的周長=長方形的周長=（鄰邊+底）×2;“割補”之后，面積不變，周長變了，所以平行四邊形的面積=長方形的面積=底×高。

平面圖形、立體圖形相互之間都是有著內(nèi)在聯(lián)系的，所以需要找到其中的連接點，不斷地對比學(xué)習(xí)。包括新知與舊知的對比學(xué)習(xí)，易錯點的對比學(xué)習(xí)，在對比學(xué)習(xí)中清晰概念，理解計算。

（二）在梳理中構(gòu)建，讓方法聯(lián)成網(wǎng)

圖形計算的相關(guān)知識點分散在各個年級、各章節(jié)的教材中。教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對圖形的特征進行觀察探究，讓學(xué)生感受圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別，并經(jīng)歷推導(dǎo)轉(zhuǎn)化的過程。以加強學(xué)生對圖形計算方法形成深刻體驗，在理解的基礎(chǔ)上進行計算方法的梳理、歸納、總結(jié)。還要貫通知識的前后聯(lián)系，注重知識之間的內(nèi)在關(guān)系，溝通它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，完善認知結(jié)構(gòu)。在形的學(xué)習(xí)中抽象出數(shù)的規(guī)律，以數(shù)釋形。

從學(xué)生獨立整理的作品反饋中（圖5為其中之一），可以看出學(xué)生能對這些在不同時間段學(xué)習(xí)的平面圖形知識有序梳理，并進行溝通、聯(lián)系。由此可見平面圖形、立體圖形的學(xué)習(xí)，都需要通過一條主線將各知識點串起來，使之“豎成線”“橫成片”，形成知識網(wǎng)絡(luò)體系，構(gòu)成完整的知識體系。

（三）在反思中內(nèi)化，讓能力得升華

波利亞曾說：問題的解決只是數(shù)學(xué)研究工作的一半，更重要的是解題后的反思與回顧。任何知識都需要一個內(nèi)化的過程，通過反思，能夠更深層次地理解知識，在不斷地反思中對圖形重新認識和理解，從而探尋出圖形計算的本質(zhì)。

例如梯形面積的計算的教學(xué)，有了三角形面積計算的基礎(chǔ)，可讓學(xué)生將兩個完全一樣的梯形拼成一個大平行四邊形，再把大平行四邊形的面積除以2就是其中一個梯形的面積，所以梯形的面積=大平行四邊形的面積÷2=（上底+下底）×高÷2。公式的得到可以說是水到渠成，可在解決問題時，經(jīng)常會有學(xué)生忘記除以2，所以在得出結(jié)論后，教師還要追問，以引發(fā)學(xué)生反思：“為什么要除以2？”“（上底+下底）×高計算的是什么？”“先算出上底加下底的和又是為什么？”在不斷追問中，回顧和思考剛才的學(xué)習(xí)過程，讓梯形面積的計算方法在反思中鞏固。有了這樣的討論和理解，后面當(dāng)已知梯形的面積，計算梯形的高或上下底時，都要用梯形的面積先乘2，學(xué)生也能很快反應(yīng)出“梯形面積乘2”這是算大平行四邊形的面積，再用這個面積除以底等于高，除以高等于底。有了這樣的經(jīng)驗六年級學(xué)習(xí)圓錐的體積、計算圓錐的高，也就有基本的思維模式了。

任何學(xué)習(xí)都需要不斷回顧與反思，圖形的學(xué)習(xí)更甚，反思有助于圖形與算式的溝通，對圖形的理解更加深刻。反思更是為后面的學(xué)習(xí)提供更多的思維方式，有了這樣的思考習(xí)慣，圖形的學(xué)習(xí)會變得更加深刻。

三、數(shù)形互譯，助推解決問題板塊

數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來解決問題的思想方法，通過數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化，把數(shù)與形統(tǒng)一起來。數(shù)形結(jié)合能使許多數(shù)學(xué)問題變得簡單、直觀。數(shù)形互譯能使“圖形的測量”板塊的教學(xué)問題解決變得簡單有趣，從而吸引學(xué)生主動參與解決問題的過程。

（一）以形表思，讓抽象問題直觀化

笛卡爾曾說：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了。因此，用這種方式來表達事物是非常有益的?！睂τ诩兾淖值念}目，借用圖形將關(guān)鍵信息表達出來，有助于更加有效地思考問題、分析問題，尋求解決問題的方法。

例如：一個圓柱的高是10厘米，如果高減少3厘米，那么表面積比原來減少94.2平方厘米。原來圓柱的表面積是多少平方厘米？教師講解時通過畫圖（圖6），學(xué)生很容易明白：94.2平方厘米就是減少部分的側(cè)面積。所以底面周長為94.2÷3=31.4（厘米），底面半徑為31.4÷3.14÷2=5（厘米），表面積為31.4×10+3.14×5×5×2=471（平方厘米）。再如推導(dǎo)圓柱體積公式時，教師把圓柱切拼成一個近似的長方體，切拼前和切拼后，體積不變。那表面積呢？增加了，增加了多少？通過圖形的幫助（圖7），學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)增加的部分是兩個底面半徑乘高，也就是2rh。這樣把文字信息轉(zhuǎn)化成圖形的形式，可以讓思考有了拐杖，有了具體的表象，以形表思，讓解題思路一目了然，讓抽象問題直觀化。

（二）以數(shù)輔形，讓幾何問題代數(shù)化

圖形的知識可以通過數(shù)和計算幫助理解，還可以由算式探究圖形蘊含的規(guī)律，增進學(xué)生對圖形的理解。在教學(xué)中，通過觀察、找規(guī)律、歸納等方法，可以尋找出解決問題的數(shù)量關(guān)系式，使幾何問題代數(shù)化。以數(shù)輔形，用代數(shù)的方法使問題能更順利地得到解決。

例如計算多邊形的內(nèi)角和，可從一個頂點出發(fā)畫對角線把多邊形分成若干個三角形，分成了幾個三角形，就是幾個180°，由此可以求出多邊形的內(nèi)角和。再通過畫圖，找到其中的規(guī)律，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)三角形個數(shù)跟邊數(shù)之間是有關(guān)系的，多邊形內(nèi)角和=（多邊形的邊數(shù)-2）×180°，為問題的解答找到了更簡便的方法。如圖8，已知正方形OABC的面積是10平方厘米，求圓的面積。按常規(guī)思路，求圓的面積，我們需要知道圓的半徑?？墒莾H從小學(xué)的知識儲備，不能算出半徑的長度。但已知正方形的面積是10平方厘米，從圖可以看出正方形的邊OA、OC都是圓的半徑，所以半徑的平方就等于10平方厘米。圓的面積等于半徑的平方乘圓周率，也就不需要算半徑是多少，圓的面積就等于10×3.14=31.4平方厘米。

可見根據(jù)已知的圖形信息和圖形本身的特點，尋找其中的關(guān)聯(lián)，將圖形問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題，實現(xiàn)由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，讓問題解決更加快捷、準(zhǔn)確。

（三）數(shù)形互通，讓方法技能靈動化

數(shù)形結(jié)合能使隱藏的數(shù)量關(guān)系變得直觀，能將淺顯的圖形問題變得深刻，在解決問題時應(yīng)不斷嘗試，學(xué)會將數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言進行轉(zhuǎn)換。

如圖9，密閉容器中的水，若倒過來，水面的高度是多少？從圖中，可以知道現(xiàn)在水的高度是23厘米，由等底的圓柱和圓錐組成，其中圓錐的高為18厘米，所以計算得出圓柱的高為23-18=5（厘米）。若倒過來，那么圓柱部分形狀不變，可是圓錐部分將變成一個跟現(xiàn)在等底的圓柱。因為等底等體積的圓柱與圓錐，它們的高是3倍的關(guān)系，所以新圓柱的高為18÷3=6（厘米），所以水的高度為5+6=11（厘米）。

數(shù)形結(jié)合能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得直觀，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，因此，在問題解決教學(xué)中，應(yīng)使學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，并培養(yǎng)他們數(shù)形結(jié)合的思想，提升他們解決問題的能力。

綜上所述，在“圖形的測量”板塊教學(xué)時，通過數(shù)形結(jié)合思想，在數(shù)與形之間搭建腳手架，讓數(shù)形結(jié)合成為“圖形的測量”教學(xué)的助推器。幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解圖形的本質(zhì)，積極探討數(shù)與形之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系，讓數(shù)直觀，讓形入微。教師需要不斷提高自身的素養(yǎng)，研究相關(guān)的理論，做教學(xué)的有心人，挖掘數(shù)形結(jié)合點，設(shè)計科學(xué)有效的教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生建立空間思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

作者簡介：金姻脂（1983—），本科學(xué)歷，一級教師，溫嶺市名師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。