王偉朋

(天津市耀華嘉誠國際中學(xué) 天津 300050)

1 GeoGebra軟件概述

(1)什么是GeoGebra軟件

GeoGebra是一款將幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)和微積分匯集在一個(gè)易于使用的軟件包中的軟件.相比其他軟件，如Matlab，Mathematica等專業(yè)軟件，GeoGebra界面簡潔直觀，操作簡單，不需要使用者有編程基礎(chǔ).

(2)GeoGebra軟件在高中物理教學(xué)中應(yīng)用的優(yōu)勢

在高中物理教學(xué)中，經(jīng)常需要分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，有些運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，不便通過實(shí)驗(yàn)演示，導(dǎo)致學(xué)生對相關(guān)知識點(diǎn)理解困難.如果在物理教學(xué)過程中引入GeoGebra，可以充分發(fā)揮其在多功能幾何繪圖上的優(yōu)勢，直觀形象、生動(dòng)全面地演示抽象的物理知識，對教學(xué)效果會(huì)有很大的幫助和提升[1～3].

例如，2021年天津市和平區(qū)高三年級第一次模擬考試物理學(xué)科的最后一題第二問涉及帶電粒子在速度選擇器中不沿直線運(yùn)動(dòng)的偏轉(zhuǎn)情況這一知識點(diǎn)，但是，絕大多數(shù)高中學(xué)校沒有通過實(shí)驗(yàn)手段給學(xué)生演示這一物理現(xiàn)象的條件，如果僅采用常規(guī)教學(xué)手段，很難把粒子的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)過程講清楚，利用該軟件，不僅可以動(dòng)態(tài)演示帶電粒子在速度選擇器中的偏轉(zhuǎn)軌跡，還能夠調(diào)整相關(guān)參數(shù)，揭示帶電粒子以各種入射速度射入時(shí)的偏轉(zhuǎn)情況.

2 GeoGebra軟件在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用

2.1 問題的提出

圖1 速度選擇器

當(dāng)入射速度v>v0垂直射入該區(qū)域，Bqv>Eq，合力不為零，粒子在合力的作用下將向上發(fā)生偏轉(zhuǎn)；當(dāng)入射速度v

通過檢索以往的文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，《物理通報(bào)》2014年12月發(fā)表的一篇名為《關(guān)于速度選擇器在一般情況下的討論》的論文從理論角度詳細(xì)論證了一般情況下粒子射入速度選擇器的情況；《湖南中學(xué)物理》2019年第2期發(fā)表的一篇名為《旋輪線和螺旋線》的論文給出了幾幅靜態(tài)的軌跡圖，但從靜態(tài)圖片較難想象粒子動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生該軌跡的情況.

2.2 理論分析并確定關(guān)鍵變量的表達(dá)式

為了描述粒子的運(yùn)動(dòng)情況，首先要弄清粒子的速度隨時(shí)間的變化情況，進(jìn)而分析出位移隨時(shí)間的變化情況.

(1)確定帶電粒子橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)方向的速度隨時(shí)間變化的表達(dá)式

對如圖2兩個(gè)分速度產(chǎn)生的速度進(jìn)行合成，粒子在橫坐標(biāo)方向及縱坐標(biāo)方向的速度表達(dá)式可寫為

圖2 v=v0+Δv

vx=v0+Δvcosαvy=Δvsinα

(2)確定帶電粒子橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)方向的位移隨時(shí)間變化的表達(dá)式

圖3 Δv產(chǎn)生的勻速圓周運(yùn)動(dòng)

2.3 在GeoGebra中的動(dòng)態(tài)演示氕、氘、氚3種粒子射入速度選擇器時(shí)的偏轉(zhuǎn)情況

首先，在指令欄創(chuàng)建變量t,m,q,Δv,B.配置好速度選擇器的環(huán)境參數(shù)，如圖4所示.

圖4 時(shí)間變量t

根據(jù)分析，輸入帶電粒子的橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)的位移表達(dá)式、速度表達(dá)式，如圖5所示.其中xx，xy，vx，vy可以隨t的變化而變化.

圖5 位移與速度表達(dá)式

在指令欄中輸入A=(xx,xy)，如圖6所示，即可根據(jù)坐標(biāo)位置創(chuàng)建出一個(gè)點(diǎn)，用來表示帶電粒子的位置.令Δv=v0，v=v0+v0=2v0，為了在屏幕上顯示出軌跡，選擇描點(diǎn)A，在右側(cè)設(shè)置面板，找到常規(guī)選項(xiàng)卡，把“顯示軌跡”前的勾選中.打開時(shí)間t的動(dòng)畫功能，t變量的值會(huì)從零開始逐漸增大.之前定義的xx，xy，vx，vy的值會(huì)隨t的變化而變化.此時(shí)，由于點(diǎn)A的坐標(biāo)是由xx和xy定義的，所以可以看到點(diǎn)A開始在屏幕中運(yùn)動(dòng)起來.為了顯示出粒子任意時(shí)刻的實(shí)際速度及兩個(gè)分速度，根據(jù)vx，vy的值以及點(diǎn)A的實(shí)時(shí)坐標(biāo)，用坐標(biāo)定義出3個(gè)速度向量，然后利用向量加法，通過計(jì)算結(jié)果和圖形效果驗(yàn)證出實(shí)際速度和兩個(gè)分速度符合平行四邊形定則.

圖6 坐標(biāo)法定位粒子位置

可以從動(dòng)畫如圖7所示，直觀看出，軌跡是一個(gè)以速度v0水平向右滾動(dòng)的圓上的一點(diǎn)在空間上留下的軌跡.

圖7 粒子以v= v0+v0入射的運(yùn)動(dòng)軌跡

2.4 使用GeoGebra軟件結(jié)合例題動(dòng)態(tài)演示偏轉(zhuǎn)情況

在2021年天津市和平區(qū)高三一模物理學(xué)科的壓軸題里有類似情景：如圖8所示為用質(zhì)譜儀測定帶電粒子比荷的裝置示意圖.

圖8 質(zhì)譜儀

針對這一問題，可以按如下思路解決.

當(dāng)氕核以v=v0+1.6v0的初速度水平射入速度選擇器.Δv>0時(shí)，粒子向上偏轉(zhuǎn)，粒子在如圖9所示位置時(shí)，Δv=1.6v0與v0方向相反，合速度大小為

圖9 氕核以v=v0+1.6v0入射的運(yùn)動(dòng)軌跡

v0-1.6v0=-0.6v0

方向水平向左，此時(shí)在豎直方向的位移最大，大小與勻速圓周運(yùn)動(dòng)分運(yùn)動(dòng)的圓的直徑相同.

當(dāng)氕核以v=v0+0.4v0的初速度水平射入速度選擇器，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10所示.

圖10 氕核以v=v0+0.4v0入射的運(yùn)動(dòng)軌跡

當(dāng)氕核以v=v0-v0(v=0)的初速度水平射入速度選擇器.Δv<0時(shí)，粒子向下偏轉(zhuǎn)，如圖11所示.

圖11 氕核以v=v0-v0入射的運(yùn)動(dòng)軌跡

更換荷質(zhì)比更小的氘核，以v=v0-v0的初速度水平射入速度選擇器，可以明顯看出滾動(dòng)的“輪子”直徑變大了，滾動(dòng)一圈所需要的時(shí)間長了一倍，周期增大了一倍，如圖12所示.

圖12 氘核以v=v0-v0入射的運(yùn)動(dòng)軌跡

經(jīng)過觀察以上圖像，可以直觀方便的總結(jié)出以下結(jié)論.

第一，粒子在豎直方向的最大位移為圓的直徑2r.

第二，粒子的分速度v0和Δv的速度方向相同時(shí)，粒子速度有最大值；粒子的分速度v0和Δv的方向相反時(shí)，粒子速度有最小值.

本題的第二問中3種粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，一個(gè)周期內(nèi)水平方向移動(dòng)的位移分別為

其中L1∶L2∶L3=1∶2∶3，為了讓3種粒子都能通過，L為L1,L2,L3的最小公倍數(shù)時(shí)所需要的板長最短，即

L=6L1

又因

得

3 結(jié)束語

采用計(jì)算機(jī)輔助手段生動(dòng)、直觀、動(dòng)態(tài)、全面的演示抽象、晦澀的知識點(diǎn)是符合時(shí)代特征和學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律的[4].本文利用帶電粒子在正交電磁場中運(yùn)動(dòng)的合成與分解的知識，充分發(fā)揮GeoGebra軟件的坐標(biāo)法定位、向量加法、變量動(dòng)畫等功能，進(jìn)行了參數(shù)可調(diào)的動(dòng)態(tài)繪圖，把抽象問題動(dòng)態(tài)演示出來，對學(xué)生更好地理解相關(guān)知識點(diǎn)起到了積極地作用.