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        回歸基礎,探求一次函數(shù)表達式

        2022-05-27 02:34:43李進
        初中生世界·九年級 2022年4期
        關鍵詞:過點表達式夾角

        李進

        笛卡爾發(fā)明了坐標系,將函數(shù)與圖像結合起來,讓函數(shù)更加有趣,也更加有用和易用。一次函數(shù)是函數(shù)學習的基礎,也是必考的知識點,如何求一次函數(shù)表達式是解決函數(shù)問題的基礎。

        一、由圖像求函數(shù)表達式

        例1 如圖1,直線所對應的一次函數(shù)表達式是 。

        【方法一】我們通過圖像容易發(fā)現(xiàn),函數(shù)過(0,-1)、(2,0)、(4,1)等整數(shù)點,任取兩個點的坐標,用待定系數(shù)法即可求解。待定系數(shù)法是求函數(shù)表達式常用的方法,這里不再細說。

        【方法二】利用k的幾何意義求解一次函數(shù)表達式。如圖2,一次函數(shù)圖像與x軸的夾角∠ABC的正切值為[12],即為k的值,求得一次函數(shù)表達式為y=[1/2]x-1。

        【點評】對比待定系數(shù)法,方法二的做法明顯降低了計算量,有利于節(jié)省考試時間,提高計算的正確率。需要注意的是,當發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)圖像中y隨x增大而增大時,k等于直線與x軸夾角的正切值,而如果一次函數(shù)圖像中y隨x增大而減小時,k等于直線與x軸夾角的正切值的相反數(shù)(如圖3),求得一次函數(shù)表達式為y=[-1/2]x+1。

        【方法三】類似求二次函數(shù)表達式時的交點式。若一次函數(shù)圖像過(a,b),可以設y=k(x-a)+b,再找另外一個點坐標代入求出k,即可求出一次函數(shù)表達式為y=[1/2](x-4)+1=[1/2]x-1。

        【點評】這種方法計算量小,易在選擇題或填空題中快速求出一次函數(shù)表達式。

        二、由定義求函數(shù)表達式

        例2 已知y-2與3x-4成正比例,且當x=2時,y=3。求出y與x之間的函數(shù)表達式。

        【解析】根據(jù)正比例的定義,可以設y-2=k(3x-4),然后把x=2,y=3代入,求出k值為[1/2],再整理即可,得函數(shù)表達式為y=[3/2]x。

        【點評】本題綜合考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式。

        三、由運動求函數(shù)表達式

        例3 如圖4,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點A、B,將直線AB繞點B按順時針方向旋轉45°,交x軸于點C,則直線BC的函數(shù)表達式是 。

        【解析】根據(jù)已知條件得到A([1/2],0),B(0,-1),求得OA=[1/2],OB=1。過點A作AF⊥AB交BC于點F,過點F作FE⊥x軸于點E,如圖5,得到AB=AF。根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=OB=1,EF=OA=[1/2],求得F([3/2],[-1/2])。設直線BC的函數(shù)表達式為y=kx+b,代入點B和點F的坐標,解方程組得函數(shù)表達式為y=[1/3]x-1。

        【點評】本題考查了一次函數(shù)圖像與幾何變換,待定系數(shù)法求函數(shù)表達式,全等三角形的判定和性質(zhì),正確地作出輔助線是解題的關鍵。

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