易文飛， 卜強生

(國網(wǎng)江蘇省電力有限公司電力科學(xué)研究院，江蘇 南京 211103)

0 引言

潮流計算是電力系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)。利用潮流計算得到的潮流分布，可對電網(wǎng)運行控制與電網(wǎng)狀態(tài)進行在線分析與預(yù)測，因此電力系統(tǒng)要不斷發(fā)展就必然要求潮流計算技術(shù)不斷更新[1]。

隨著電力市場化改革的不斷推進、光伏與風(fēng)力發(fā)電等分布式電源(distributed generation，DG)的大規(guī)模并網(wǎng)，以DG為代表的下垂控制設(shè)備占比逐漸增高，電力系統(tǒng)發(fā)生了以下變化：(1) 配電網(wǎng)潮流由輻射型網(wǎng)絡(luò)變?yōu)槎嚯娫袋c型網(wǎng)絡(luò)、由單向潮流變?yōu)殡p向潮流；(2) 運行特性的改變具有不確定性；(3) 以下垂控制方式運行時頻率不再固定，相關(guān)線路參數(shù)隨頻率發(fā)生變化[2]。由此可見，DG接入雖給電網(wǎng)帶來供電新活力，為電力負(fù)荷高峰提供支持，但其運行特性的多變性導(dǎo)致數(shù)學(xué)模型變得更為復(fù)雜，給潮流計算工作帶來了挑戰(zhàn)。當(dāng)計算含有下垂控制特性設(shè)備的電網(wǎng)潮流時，現(xiàn)有研究都是先建立相應(yīng)設(shè)備的精確模型[3]；再考慮不同類型的設(shè)備在運行特性上的區(qū)別，將具有下垂控制特性的設(shè)備或節(jié)點處理成常規(guī)潮流計算中的節(jié)點類型，即PQ節(jié)點、PV節(jié)點、平衡節(jié)點；最后列寫潮流功率方程，選取合適的計算方法進行求解。

文中從電力系統(tǒng)中下垂控制的基本原理出發(fā)，首先分析了現(xiàn)有潮流計算對下垂控制節(jié)點的處理方法，然后從下垂控制模型、網(wǎng)絡(luò)方程構(gòu)建、元件參數(shù)頻率變化、計算方法4個維度進行分析和總結(jié)，指出了現(xiàn)有建模和求解方法存在的問題。最后，結(jié)合電力系統(tǒng)潮流計算新需求，提出在建模方面建立統(tǒng)一化計算模型，在求解算法方面可采用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法進行求解，但須結(jié)合實際場景進一步完善。

1 電力系統(tǒng)下垂控制及其潮流計算

1.1 電力系統(tǒng)中的下垂控制

下垂控制是電力系統(tǒng)中微型電源的一種控制方式[4]，通過模擬傳統(tǒng)同步發(fā)電機的外特性曲線(即有功-頻率和無功-電壓一次下垂曲線)，實現(xiàn)系統(tǒng)中各微型電源的功率平衡。

下垂控制方式運行下的設(shè)備只需要測量有功、無功、電壓幅值、電壓相角與頻率等運行參數(shù)，按照給定的下垂控制曲線調(diào)整有功、無功輸出，在無信息交互的情況下就可讓電網(wǎng)頻率穩(wěn)定在給定數(shù)值范圍內(nèi)，同時各裝置的電壓符合各自的要求，并且有功、無功出力平衡；新增下垂控制的設(shè)備也只需按照該微電網(wǎng)參數(shù)制定下垂控制曲線，即可加入該網(wǎng)絡(luò)運行。下垂控制是一種可以實現(xiàn)“即插即用”模式的控制方式[5—6]。

以正序網(wǎng)絡(luò)中的P-ω、Q-V型下垂控制方式為例，其控制方程為：

(1)

式中：ωi為節(jié)點i的運行角頻率值；Vi為節(jié)點i的電壓幅值；ωi0，Vi0分別為節(jié)點i空載運行時的角頻率與電壓幅值；mPi，nQi分別為節(jié)點i的P-ω、Q-V型下垂控制系數(shù)；PGi，QGi分別為節(jié)點i注入電網(wǎng)的有功與無功功率。

由式(1)可知，下垂控制設(shè)備注入節(jié)點i的有功、無功功率為：

(2)

P-ω、Q-V型下垂控制特性曲線與控制框圖分別見圖1、圖2。其中，f=ω/(2π)；U0，f0分別為空載運行時的電壓和頻率；Pin，Qin分別為輸入有功和無功功率；ωout，Uout分別為輸出角頻率和電壓。

圖1 P-ω和Q-V型下垂控制特性曲線Fig.1 P-ω and Q-V droop control characteristic curves

圖2 P-ω和Q-V型下垂控制框圖Fig.2 Block diagram of P-ω and Q-V droop control

此外，下垂控制還有P-V、Q-ω型控制方式，其特性曲線、控制方程及框圖與上述類似。為建立更貼合電力系統(tǒng)實際運行的模型，下垂控制策略也在不斷發(fā)展。文獻[7]改進了P-ω型下垂控制，使得微電網(wǎng)孤島運行中的瞬時有功功率分配更加合理；文獻[8—9]考慮了設(shè)備下垂系數(shù)取值不固定，在求解過程中不斷修正下垂控制系數(shù)；文獻[10—12]則是針對不同類型的下垂控制設(shè)備，提出了計算與確定相應(yīng)下垂系數(shù)的方法；文獻[13]改進了下垂控制，使其能適應(yīng)電力系統(tǒng)功率突變場景，保證系統(tǒng)平穩(wěn)運行；文獻[14]提出了在下垂控制曲線中設(shè)定合適的控制死區(qū)；文獻[15]提出了應(yīng)用于高壓直流系統(tǒng)的改變電壓基準(zhǔn)的自適應(yīng)下垂控制；文獻[16]則是對引入虛擬阻抗的下垂控制進行了研究。

1.2 下垂控制潮流與動態(tài)潮流計算

對于一個給定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與運行限值的電力系統(tǒng)，常規(guī)潮流計算選取該系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行的某一時刻。假定該時刻系統(tǒng)頻率為工頻、系統(tǒng)中功率已由平衡節(jié)點平衡、各節(jié)點狀態(tài)量遵循約束，則可通過常規(guī)潮流計算求解出這一時刻系統(tǒng)的詳細運行狀態(tài)[17]。

文中所述的計及下垂控制的潮流計算則是面向含有下垂控制設(shè)備的電力系統(tǒng)的詳細運行狀態(tài)求解。同樣選取系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行的某一時刻，該時刻系統(tǒng)功率平衡，狀態(tài)量遵循約束。不同于常規(guī)潮流，下垂控制潮流計算系統(tǒng)頻率非固定，系統(tǒng)功率由有調(diào)節(jié)能力的電源共同平衡,且電源調(diào)節(jié)時遵循各自的下垂控制曲線。

同樣涉及系統(tǒng)頻率變化的還有動態(tài)潮流計算。動態(tài)潮流計算是假定在系統(tǒng)運行的某一時刻源-荷間仍存在不平衡功率，且不平衡功率由全體有備用容量的發(fā)電機與負(fù)荷共同調(diào)節(jié)，同時狀態(tài)量滿足必要約束，經(jīng)過一個較小時間段后[18]，系統(tǒng)重新達到功率平衡這一過程的求解。

考慮下垂控制的潮流與動態(tài)潮流相同之處在于引起頻率變化的不平衡功率不再由平衡節(jié)點單獨承擔(dān)[19]；動態(tài)潮流中不平衡功率的一次調(diào)頻分配策略與文中所述的交流系統(tǒng)中的P-ω型下垂控制相似[20—21]。不同之處在于，動態(tài)潮流主要考慮電力系統(tǒng)中源-荷有功功率不平衡及頻率變化，且主要針對電網(wǎng)中的交流系統(tǒng)，而在計算過程中較少涉及電網(wǎng)電壓變化[22—23]；考慮下垂控制的潮流計算則是對加入下垂控制設(shè)備的系統(tǒng)在某一時刻詳細運行狀態(tài)的求取，包括系統(tǒng)電壓和無功功率。計及下垂控制的潮流計算面向電力系統(tǒng)源網(wǎng)荷儲的各個環(huán)節(jié)，如P-V型下垂控制的新能源發(fā)電系統(tǒng)[24—25]、主配一體化電網(wǎng)、交直流混合電網(wǎng)、儲能電站等。

1.3 下垂控制潮流計算的應(yīng)用場景

根據(jù)電力系統(tǒng)中不同的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模及運行方式，計及下垂控制的潮流計算主要應(yīng)用于以下3種場景：

(1) 含下垂控制設(shè)備的配電網(wǎng)。下垂控制設(shè)備的規(guī)模相對較小，因此直接通過公共連接點(point of common coupling，PCC)接入配電網(wǎng)。下垂控制設(shè)備的接入對配電網(wǎng)運行影響較大[26—27]。

(2) 微電網(wǎng)并網(wǎng)運行。DG所在地理位置比較集中時，可以考慮用一定的控制策略將其與部分網(wǎng)絡(luò)及負(fù)荷整合為一體，稱為微電網(wǎng)[28]。微電網(wǎng)主要有交流微電網(wǎng)與交直流混合微電網(wǎng)2種類型。對于大電網(wǎng)而言，以微電網(wǎng)的形式接入配電網(wǎng)運行可視為只增加了一個節(jié)點，較為容易處理。

(3) 微電網(wǎng)孤島運行。微電網(wǎng)自成獨立系統(tǒng)，脫離大電網(wǎng)運行，此時微電網(wǎng)頻率不再固定[29—30]。對于微電網(wǎng)孤島運行中的下垂控制設(shè)備處理方式較多，現(xiàn)有研究表明孤島運行時的計算方法已取得較多成果，但仍須改進。

2 下垂控制設(shè)備的模型與潮流方程

2.1 下垂控制設(shè)備及處理

電力系統(tǒng)中具有下垂控制特性的設(shè)備種類繁多，而在計及下垂控制潮流計算的現(xiàn)有研究中主要考慮風(fēng)力發(fā)電、光伏發(fā)電、微型燃氣輪機、燃料電池電站、分布式儲能裝置、電壓源型換流器(voltage source converter，VSC)等。按照運行方式的不同，上述設(shè)備主要分為P-Q型、P-V型、P-I型、P-Q(V)型、下垂控制型5種類型[31—32]。

下垂控制型設(shè)備注入電網(wǎng)的有功、無功功率按式(2)計算，將式(2)進行變形得到：

mPiPGi=ωi0-ωi

(3)

由于穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)中只有一個頻率，故對于各個節(jié)點，式(3)必須成立，即同一系統(tǒng)內(nèi)的下垂控制型設(shè)備需要滿足如下條件：

mP1PG1=mP2PG2=…=mPiPGi

(4)

在常規(guī)潮流計算中，電力系統(tǒng)的節(jié)點一般按照運行特性分為PQ節(jié)點、PV節(jié)點、平衡節(jié)點3種[2]。在計及下垂控制的潮流計算中，對外呈下垂控制特性的節(jié)點可稱為下垂節(jié)點，下垂節(jié)點的有功、無功功率可按式(2)加入網(wǎng)絡(luò)方程。

2.2 考慮下垂控制的網(wǎng)絡(luò)設(shè)備潮流模型

對考慮下垂控制的交流系統(tǒng)進行潮流計算時，所采取的數(shù)學(xué)模型與傳統(tǒng)模型的設(shè)定基本一致，線路與變壓器均采用π型等值電路。

交流系統(tǒng)中的負(fù)荷模型采用靜態(tài)負(fù)荷模型[1]，引入下垂控制時須考慮頻率與電壓的變化，此時電網(wǎng)負(fù)荷模型表示為：

(5)

式中：PLi，QLi分別為節(jié)點i的負(fù)荷有功與無功功率；PiN，QiN分別為節(jié)點i的額定有功與無功功率；f，fN分別為節(jié)點i的實際頻率與額定頻率；Kp f，Kq f分別為頻率對有功、無功的影響系數(shù)；α，β分別為電壓對有功、無功的影響系數(shù)。直流系統(tǒng)中的負(fù)荷考慮電壓變化，不考慮頻率變化影響，即直流負(fù)荷模型為式(5)除去頻率項的形式。

現(xiàn)有涉及下垂控制潮流計算的文獻中，交直流混合系統(tǒng)的VSC設(shè)備均使用脈寬調(diào)制(pulse width modulation，PWM)技術(shù)，如圖3所示，未見其他調(diào)制方式，其模型表示如下：

(6)

式中：UVSC,AC，δVSC,AC分別為交流側(cè)的電壓幅值與相角；UVSC,DC，δDC分別為直流側(cè)的電壓幅值與相角；M為PWM技術(shù)中的調(diào)制比。VSC的有功、無功功率可以參考發(fā)電機的功角特性方程進行求取。圖3中，C為電容值;UDC為直流側(cè)電壓；ZAC為交流側(cè)輸入阻抗；S1、S2為VSC。

圖3 VSC等效電路Fig.3 Equivalent circuit of VSC

2.3 計及下垂控制的潮流方程

電力系統(tǒng)中節(jié)點功率方程一般表示為：

(7)

式中：FPi，F(xiàn)Qi分別為節(jié)點i注入的有功功率之和、無功功率之和；Pi，Qi分別為其余節(jié)點注入節(jié)點i的有功、無功功率。

交流系統(tǒng)的節(jié)點功率方程具體表示為：

(8)

式中：Pis，Qis分別為節(jié)點i電源有功和無功功率；Gij，Bij分別為支路ij阻抗和導(dǎo)納；ei，fi為節(jié)點i電壓的極坐標(biāo)值；ej，fj為節(jié)點j電壓的極坐標(biāo)值。

下垂控制設(shè)備對所在節(jié)點注入如式(2)所示的功率，則該節(jié)點功率方程可以表示為：

(9)

式中：PDis，QDis分別為下垂控制設(shè)備輸出的有功、無功功率。

當(dāng)系統(tǒng)為交直流混合系統(tǒng)時，交直流系統(tǒng)聯(lián)結(jié)處功率方程則變?yōu)椋?/p>

(10)

式中：PGi,AC，QGi,AC分別為交流側(cè)節(jié)點i注入的電源有功、無功功率；PLi,AC，QLi,AC分別為交流側(cè)節(jié)點i注入的負(fù)荷有功、無功功率；Pi,AC，Qi,AC分別為交流側(cè)其余節(jié)點注入節(jié)點i的負(fù)荷有功、無功功率；PVSC，QVSC分別為交直流系統(tǒng)聯(lián)結(jié)處換流器的有功、無功功率(以VSC為例)。

3 下垂控制對潮流計算的影響

當(dāng)電力系統(tǒng)考慮下垂控制后，潮流計算須考慮出現(xiàn)新變化量所產(chǎn)生的影響。直流系統(tǒng)中狀態(tài)量較少，下垂控制對其潮流計算影響相對較小；而交流系統(tǒng)計及下垂控制后，常規(guī)潮流計算中平衡節(jié)點的電壓與系統(tǒng)頻率由恒定變?yōu)榭勺儭５?章歸納了現(xiàn)有研究對交流系統(tǒng)中這2個變化的處理。

3.1 平衡節(jié)點問題

下垂控制設(shè)備并網(wǎng)運行或微電網(wǎng)并網(wǎng)運行時，不必考慮系統(tǒng)中的平衡節(jié)點問題。在計及下垂控制的潮流計算方法研究中，當(dāng)含下垂控制設(shè)備的微電網(wǎng)孤島運行時，按照有無常規(guī)潮流計算中的平衡節(jié)點可分為2種方式。

(1) 取消平衡節(jié)點的設(shè)定。方程列寫方式與常規(guī)潮流計算方程有所不同，頻率作為變量需要在潮流計算中求解，因此雅克比矩陣中也相應(yīng)增加有功、無功關(guān)于頻率的一階偏導(dǎo)數(shù)[33]。此外，系統(tǒng)仍需一個電壓相角參考節(jié)點作為潮流計算結(jié)束后各節(jié)點相角更新的參考，一般取節(jié)點編號完成后的1號節(jié)點，參考相角設(shè)為0或自定義[34—35]。

(2) 保留平衡節(jié)點的設(shè)定。該種方式在微電網(wǎng)孤島運行時使用較少，并網(wǎng)運行時使用較多。文獻[36]選取容量較大的DG節(jié)點作為潮流計算中的平衡節(jié)點，電壓幅值與相角給定，與常規(guī)潮流計算的平衡節(jié)點一致；文獻[37]也保留了平衡節(jié)點，但僅在潮流計算環(huán)節(jié)中設(shè)定平衡節(jié)點的電壓幅值與相角不變，在下垂控制更新狀態(tài)量環(huán)節(jié)中，平衡節(jié)點仍須修正電壓幅值，即該文中的平衡節(jié)點對于整個計算過程而言僅作為其他節(jié)點的相位參考。

3.2 系統(tǒng)頻率的更新

在電力系統(tǒng)潮流計算中，隨著下垂節(jié)點的引入，常規(guī)潮流計算未提及的頻率問題勢必要納入考慮范圍。下垂控制的潮流計算主要分為下垂控制設(shè)備接入配電網(wǎng)運行、組成微電網(wǎng)后并網(wǎng)運行、組成微電網(wǎng)后孤島運行3種情況?，F(xiàn)有研究成果顯示，僅最后一種運行方式考慮了系統(tǒng)的頻率問題。

系統(tǒng)頻率成為變量時，計算或迭代須及時更新系統(tǒng)頻率。一個交流系統(tǒng)只有一個穩(wěn)態(tài)頻率[2]，在現(xiàn)有研究中，頻率更新的主要方式有以下2種。

(1) 系統(tǒng)有平衡節(jié)點時，需要計算平衡節(jié)點的等效有功功率，根據(jù)平衡節(jié)點的下垂控制曲線更新系統(tǒng)頻率。由上文可知，同一系統(tǒng)內(nèi)以下垂控制特性運行的設(shè)備須滿足式(4)，令下垂節(jié)點總數(shù)n>2，取其中一個下垂節(jié)點k作為平衡節(jié)點，則有：

(11)

每個等式兩邊各自同乘等式左邊節(jié)點外剩余節(jié)點的有功下垂控制系數(shù)，并將所有等式的左右兩邊累加，整理得到PGk為：

(12)

式中：l為下垂節(jié)點數(shù)。算得PGk之后代入式(1)，更新系統(tǒng)的頻率。

(2) 系統(tǒng)中無平衡節(jié)點，在列寫潮流方程時，各元件模型均考慮頻率特性，將頻率作為一個變量加入方程進行求解，現(xiàn)有研究中這種更新方式使用較多。以一個總計n個節(jié)點的含下垂節(jié)點型DG的電網(wǎng)系統(tǒng)為例：系統(tǒng)中前m個節(jié)點是PQ節(jié)點，節(jié)點m+1到m+k是k個PV節(jié)點，節(jié)點m+k+1到n是d個下垂節(jié)點，取節(jié)點1作為系統(tǒng)電壓相角參考點(可設(shè)δ1=0)，系統(tǒng)頻率參與計算。

根據(jù)式(7)、式(8)可以得出上述系統(tǒng)的節(jié)點功率方程組為：

(13)

式中：FP(·)，F(xiàn)Q(·)分別為節(jié)點有功、無功功率的函數(shù)；ω，Um，δn分別為對應(yīng)節(jié)點的角頻率、電壓和相角。式(13)的功率方程總數(shù)為n+m+d，系統(tǒng)待求量總數(shù)為n+m+d，兩者數(shù)量相等，通過牛頓-拉夫遜法(簡稱牛拉法)或其他求解方法可以求得待求量，系統(tǒng)頻率作為其中一個待求量能得到更新。

3.3 元件參數(shù)的頻率變化特性

電力系統(tǒng)潮流計算中，交流網(wǎng)絡(luò)的線路參數(shù)、變壓器參數(shù)、電力負(fù)荷均與系統(tǒng)頻率密切相關(guān)。含下垂控制設(shè)備的配電網(wǎng)或微電網(wǎng)并網(wǎng)運行時，不需要考慮頻率變化的影響；而微電網(wǎng)孤島運行時頻率不再恒定，此時必須考慮參數(shù)隨頻率的動態(tài)變化。

當(dāng)線路頻率變化時，其參數(shù)變化為：

(14)

式中：ωN為電網(wǎng)額定頻率；ωt-1為迭代t-1次后的頻率；xl,t，bl,t分別為第t次迭代開始時的電抗與電納值；xl,0，bl,0分別為額定頻率下的電抗與電納值。

變壓器考慮頻率變化時，其等值參數(shù)計算涉及到的短路電抗則同式(14)中的線路電抗一樣處理。

現(xiàn)有研究在進行潮流計算時，對計及下垂控制時的元件參數(shù)隨頻率變化這一方面關(guān)注較少，大部分研究均默認(rèn)線路參數(shù)(導(dǎo)納矩陣)不變。文獻[33]中電力負(fù)荷模型考慮了頻率效應(yīng)，但并未提及線路參數(shù)與頻率的關(guān)系；文獻[38]提及了線路參數(shù)隨頻率變化的關(guān)系，但后續(xù)給出的計算流程中并未體現(xiàn)出導(dǎo)納矩陣隨頻率更新的環(huán)節(jié)。雖然計及下垂控制的潮流計算得到的是最終處于穩(wěn)態(tài)時的各節(jié)點狀態(tài)，可以一定程度上忽略頻率對元件參數(shù)的影響，但應(yīng)當(dāng)考慮潮流計算過程中因頻率變化所致的參數(shù)變化對單次迭代計算結(jié)果、計算速度及收斂性能造成的影響。

4 下垂控制的潮流方程求解方法

計及下垂控制的潮流計算方法是在常規(guī)潮流計算方法中考慮了下垂控制關(guān)系。含下垂控制設(shè)備的交流系統(tǒng)節(jié)點功率表達式中含有系統(tǒng)頻率與節(jié)點電壓，考慮到潮流計算是對某一時刻潮流分布的求解，一般默認(rèn)這類節(jié)點的功率與電壓在單次迭代中不發(fā)生變化，因此可在單次迭代過程中令有功功率與無功功率(或有功功率與電壓幅值、電壓幅值與相角)恒定。在求解過程中這類節(jié)點可被視為常規(guī)潮流計算中的PQ節(jié)點(或PV節(jié)點、平衡節(jié)點)，從而列寫潮流方程進行求解。

如文中1.3節(jié)所述，計及下垂控制的潮流計算場景中微電網(wǎng)主要有并網(wǎng)運行、孤島運行2種模式，因此現(xiàn)有研究多以某一種運行模式與某一系統(tǒng)類型為出發(fā)點，研究的計算方法有：以直接法、前推回代法、序分量求解法等為代表的計及配電網(wǎng)特性的計算方法；面向單一網(wǎng)絡(luò)類型的經(jīng)典牛拉法；以信賴域算法為代表的新型求解方法。上述求解方法所面向的對象存在一定程度的交叉與重合，故文中從數(shù)學(xué)方法角度將計及下垂控制的潮流計算方法分為統(tǒng)一迭代求解法、分步式求解法及數(shù)學(xué)規(guī)劃求解法3類，如圖4所示。

圖4 下垂控制潮流計算方法Fig.4 Calculation methods for droop control power flow

4.1 統(tǒng)一迭代求解法

統(tǒng)一迭代求解法是將整個系統(tǒng)的狀態(tài)量(包含系統(tǒng)頻率)作為變量，建立統(tǒng)一的潮流方程，進行迭代求解。統(tǒng)一迭代求解法主要用于系統(tǒng)類型較少的大電網(wǎng)場景，最常見方法為牛拉法，其主要原理是將非線性方程逐次線性化逼近求解[39]，求解式(15)的線性方程。

F(X(t))=-J(t)ΔX(t)

(15)

式中：F(X(t))為潮流函數(shù)；J(t)為求解系數(shù)；ΔX(t)為狀態(tài)變化量。若式(15)滿足式(16)中任一條件即可判定為潮流收斂，完成潮流的求解。

(16)

計及下垂控制的潮流求解時，系統(tǒng)頻率作為待求量在方程組中求解，計算時下垂節(jié)點可按先前所述，視為PQ節(jié)點、PV節(jié)點或平衡節(jié)點中的一種或幾種，則牛拉法的潮流方程矩陣形式為：

(17)

式中：ΔP，ΔQ分別為每次迭代過程中有功、無功變化量；ΔU，Δδ，Δf分別為迭代過程中電壓、相角和頻率變化量。矩陣方程中的雅克比矩陣元素L，M，N，H含義與常規(guī)潮流計算相同，新增元素E與F分別為：

(18)

式中：ΔPi，ΔQi分別為每次迭代過程中節(jié)點i的有功、無功變化量。系統(tǒng)有下垂節(jié)點時須相應(yīng)增加功率修正方程，頻率須在方程組中求解，所以狀態(tài)變化量中多出Δf這一待求量。

在現(xiàn)有含下垂控制的潮流計算方法的研究中，文獻[40]將牛拉法用于計算孤島運行時的交直流混合微電網(wǎng)；但也有部分研究對牛拉法進行改進，使之更適合含下垂節(jié)點的潮流計算，如文獻[33]在常規(guī)潮流計算節(jié)點的設(shè)定上去除了平衡節(jié)點，由具備調(diào)節(jié)能力的下垂控制電源共同承擔(dān)不平衡功率，但在微電網(wǎng)孤島運行中該方法可能存在雅克比矩陣奇異導(dǎo)致潮流不收斂的情況。文獻[41]在牛拉法的基礎(chǔ)上考慮潮流中的遞階控制，并對雅克比矩陣進行重新推導(dǎo)，提高了牛拉法的收斂性，但該方法單次計算量大、單次計算時間長。為應(yīng)對牛拉法易出現(xiàn)的雅克比矩陣奇異問題，文獻[42]提出了引入加權(quán)系數(shù)的牛拉法，單次計算時間略長于經(jīng)典牛拉法，但迭代次數(shù)減少，整體收斂時間優(yōu)于經(jīng)典牛拉法；文獻[43]則引入最小二乘求解的輔助因子，提升了計算效率與初值魯棒性，減少了迭代次數(shù)。文獻[44]提出了一種三相解耦的序分量求解方法，減少了雅克比矩陣的計算量，提高了求解速度。進行三相解耦的求解方法可以適應(yīng)三相不平衡的配電網(wǎng)，但其求解對象為穩(wěn)態(tài)潮流且未考慮微電網(wǎng)孤島運行時節(jié)點狀態(tài)量與元件參數(shù)變化，有進一步研究的空間。文獻[45]以帶新型線性搜索三步LM算法(three-steps Levenberg Marquardt algorithm with a new line search，NTLM)為基礎(chǔ)建立統(tǒng)一潮流模型以解決雅克比矩陣可能發(fā)生奇異的問題。

統(tǒng)一迭代求解法作為系統(tǒng)整體迭代求解的方法，考慮了不同系統(tǒng)或狀態(tài)量間的耦合關(guān)系，使得建立的統(tǒng)一模型更加精確，故單次迭代求得的解相比其他方法更靠近真實解。隨著電力系統(tǒng)的發(fā)展，不同類型系統(tǒng)之間的耦合關(guān)系也更加復(fù)雜，建立統(tǒng)一模型的難度將不斷增加，且單次迭代計算量較大。當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模擴大時，其計算量的迅速擴大將成為難題。對于復(fù)雜的下垂控制潮流，統(tǒng)一迭代求解法更適合為新的求解方法提供收斂速度與計算效率的參照。

4.2 分步式求解法

統(tǒng)一求解法對于含不同類型子系統(tǒng)的混合電力系統(tǒng)的建模難度較大，現(xiàn)有研究中提出一種將電力系統(tǒng)中的子系統(tǒng)解耦，以交替迭代方式進行求解的分步式求解法。該方法優(yōu)勢在于子系統(tǒng)解耦后單獨建模難度顯著降低，主要用于處理交直流電網(wǎng)耦合環(huán)節(jié)VSC以及交直流混合電網(wǎng)中含下垂控制設(shè)備的直流電網(wǎng)的場景。

文獻[46]將直流系統(tǒng)的下垂控制以節(jié)點電流關(guān)系求解，從VSC處進行交直流系統(tǒng)解耦，與交流系統(tǒng)的牛拉法進行分步迭代；文獻[47]則更充分地考慮了VSC模型與控制方式，解耦后分步交替迭代進行求解；文獻[48]處理直流系統(tǒng)的下垂控制并進行交直流系統(tǒng)解耦后，交流系統(tǒng)使用改進XB型快速求解法，提升了整體的求解速度；文獻[49]不僅對交直流系統(tǒng)解耦進行了分步求解，還對交流系統(tǒng)中的電壓穩(wěn)定與無功平衡進行了分步處理求解，更好地控制了混合電網(wǎng)的電壓。

此外，還存在一種借鑒奔德斯分解思想的[50]、將處于下垂控制關(guān)系的變量進行解耦后交替迭代的分步式求解法。該方法主要面向考慮下垂控制的單一類型系統(tǒng)，根據(jù)計算過程中系統(tǒng)是否設(shè)置實際平衡節(jié)點，將其分為2類。

(1) 含實際平衡節(jié)點的分步式求解法。將單次迭代過程分解為2個步驟，即：步驟一，常規(guī)迭代計算；步驟二，系統(tǒng)頻率更新與基于下垂控制方程的設(shè)備功率計算。為減少雅克比矩陣階數(shù)以提升計算速度，在步驟一中可以選擇一個下垂節(jié)點作為平衡節(jié)點，其余下垂節(jié)點均視為PV節(jié)點[37]。PV節(jié)點的有功功率與電壓幅值、平衡節(jié)點的電壓幅值與相角為上次迭代中步驟二的更新值；步驟二根據(jù)下垂控制曲線用步驟一求得的功率更新系統(tǒng)頻率與節(jié)點電壓。此外，第一次迭代時狀態(tài)量為給定的系統(tǒng)初值。步驟二系統(tǒng)頻率更新時使用的平衡節(jié)點有功功率按式(12)求得，求得系統(tǒng)頻率后按式(2)更新PV節(jié)點的有功功率；步驟一中求得的無功功率根據(jù)式(2)更新PV節(jié)點的電壓幅值，2個子問題交替迭代進行求解。

文獻[37]使用了含平衡節(jié)點的解耦分步方法求解算例，如圖5所示。潮流收斂所需迭代次數(shù)較少，在其第二步下垂控制更新中存在一個問題未交待清楚：含平衡節(jié)點的潮流計算可以直接求得平衡節(jié)點的功率，而文中卻以推導(dǎo)得出的式(12)作為平衡節(jié)點的有功功率，并未說明2種方式所求有功功率的差異或直接求得的平衡節(jié)點有功功率不能用來更新頻率的原因。

圖5 含平衡節(jié)點的兩步式求解Fig.5 Two-step solution with balance node

(2) 虛擬平衡節(jié)點的分步式求解法。該方法在系統(tǒng)中設(shè)置虛擬平衡節(jié)點，設(shè)置點一般為微電網(wǎng)并網(wǎng)點或微電網(wǎng)某一節(jié)點附近。求解時首先將虛擬平衡節(jié)點視為微電網(wǎng)的平衡節(jié)點，進行常規(guī)潮流計算，求得虛擬平衡節(jié)點功率；然后，由全體有調(diào)節(jié)能力的DG平衡該功率，按各自的下垂控制曲線進行功率分配；最后，完成系統(tǒng)頻率與各節(jié)點電壓幅值的更新，進行交替迭代，完成潮流的求解。該方法被用于計及下垂控制的配電網(wǎng)潮流計算中，如文獻[51]在進行變量解耦后，以前推回代法進行計及下垂控制的配電網(wǎng)潮流計算；文獻[35]則是分步后以直接法計算含下垂控制的配電網(wǎng)三相不平衡潮流。

如上所述，現(xiàn)有研究中的分步式求解法基本可分為子系統(tǒng)解耦與節(jié)點狀態(tài)變量解耦2個維度。研究表明交直流系統(tǒng)解耦后的交替迭代求解法相比統(tǒng)一迭代求解法能更好建立模型與方程，更適合求解多類型子系統(tǒng)混合電網(wǎng)。將下垂控制變量進行解耦，降低了求解過程的復(fù)雜程度，在進行常規(guī)迭代計算時可借鑒現(xiàn)有的計算方法，僅須增加下垂控制功率分配與頻率電壓更新環(huán)節(jié)，減小了編程實現(xiàn)的難度。常規(guī)迭代計算部分可使用常規(guī)潮流計算方法，若用快速求解法可縮短潮流整體收斂時間。

4.3 數(shù)學(xué)規(guī)劃求解法

數(shù)學(xué)規(guī)劃求解法為在給定限制區(qū)域中尋求給定目標(biāo)函數(shù)的最小或最大值的一種數(shù)學(xué)方法，一般可分為線性規(guī)劃法和非線性規(guī)劃法2種。

數(shù)學(xué)規(guī)劃求解法穩(wěn)定性高，主要用于無平衡節(jié)點或初值較差等原因?qū)е碌仁椒匠糖蠼忸惙椒ú灰浊蠼獾某绷饔嬎銏鼍?。計及下垂控制的潮流方程一般為非線性方程，可將潮流方程轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，即將非線性方程求解問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃極值的求解問題，此時可將非線性規(guī)劃法的求解方式應(yīng)用到下垂控制潮流計算中?，F(xiàn)有研究中相關(guān)問題所使用的非線性規(guī)劃求解法有內(nèi)點法[52—53]、信賴域法[34,54]等。

潮流計算由非線性方程組求解問題轉(zhuǎn)變成非線性規(guī)劃問題，可表示為minF(X)。常規(guī)潮流求解時的潮流函數(shù)F(X)可由式(6)與式(9)的功率方程進行構(gòu)造，而計及下垂控制的潮流計算新增了下垂節(jié)點，可將下垂節(jié)點按式(2)加入方程，參考式(12)進行構(gòu)造，最終方程可表示為：

(19)

式中：X為狀態(tài)變量矩陣，X=[x1x2…xn]；i為PQ節(jié)點、PV節(jié)點的編號；d為下垂節(jié)點的編號。

非線性規(guī)劃法的特點為潮流求解過程不易發(fā)散，對初值敏感程度較低，在潮流方程為病態(tài)的情況下也易求得解，潮流無解時也會收斂至某個值或在可行域內(nèi)不斷尋解。該方法所呈現(xiàn)的求解結(jié)果可以為潮流有無解提供判斷依據(jù)[39]。

文獻[34]中的BFGS信賴域法就是一種無約束非線性規(guī)劃求解方法，其收斂性能優(yōu)異且對初值不敏感，避免了牛拉法初值不當(dāng)無法求解的問題。但該方法須重新計算每次的海森矩陣，即使文中構(gòu)造了海森矩陣的近似矩陣，計算量仍大于牛拉法的雅克比矩陣，且收斂判據(jù)精度高時迭代次數(shù)較多，因此求解效率低于牛拉法。文獻[54]對信賴域算法進行了以雅克比矩陣代替海森矩陣構(gòu)造信賴域子問題的改進，較文獻[34]提高了收斂速度且保持了方法本身的其他優(yōu)點。

數(shù)學(xué)規(guī)劃求解法是在給定約束條件內(nèi)找到極值或最優(yōu)解，相對非線性潮流等式方程更易求得解，但該類方法計算效率較低，在尋解方式選擇不當(dāng)時更為突出，有進一步研究的空間。

5 未來研究展望

現(xiàn)有研究所提出的計及下垂控制的潮流計算方法各有優(yōu)缺點，其精確建模與準(zhǔn)確計算的方法正在日趨完善，可以進一步研究與考慮以下內(nèi)容：

(1) 對于統(tǒng)一迭代求解法，可進一步研究迭代算法的優(yōu)化處理，降低其對初值敏感度并縮短單次迭代計算時間。此外可研究PQ分解法、改進牛拉法等快速求解方法對于計及下垂控制的潮流計算的適應(yīng)性；研究相應(yīng)計算方法的具體改進措施，使之能在計及下垂控制的潮流計算中應(yīng)用。

(2) 當(dāng)下垂控制設(shè)備接入交流系統(tǒng)，認(rèn)為系統(tǒng)頻率可變時，對于某一種潮流計算方法，若計算時考慮元件參數(shù)頻率變化特性，則每次迭代過程中導(dǎo)納矩陣均隨頻率變化，其性能會受到一定影響。因此，須進一步研究這一情形對求解方法性能及導(dǎo)納矩陣變化所得的計算結(jié)果的影響程度。

(3) 電動汽車、儲能與新能源發(fā)電等設(shè)備大量并網(wǎng)。由于這些設(shè)備數(shù)量眾多且分散地域廣，不易統(tǒng)一控制，下垂控制成為這類新型設(shè)備參與電網(wǎng)互動的首選控制方式，因此未來計及下垂控制的潮流計算也需要將這些新型設(shè)備納入計算當(dāng)中。

(4) 虛擬同步發(fā)電機、虛擬電廠等技術(shù)的發(fā)展進一步拓展了下垂控制的應(yīng)用場景，后續(xù)也需要針對性地開展相關(guān)研究。

6 結(jié)論

隨著下垂控制設(shè)備的大規(guī)模并網(wǎng)、電網(wǎng)中的變化因素逐漸增多，一定程度上為電力系統(tǒng)運行與分析帶來新考驗，而計及下垂控制的潮流計算將是電網(wǎng)運行與狀態(tài)分析的有效手段。文中從下垂控制模型、網(wǎng)絡(luò)方程構(gòu)建、元件參數(shù)的頻率變化、計算方法4個方面對現(xiàn)有研究進行綜述，可得出以下結(jié)論：

(1) 目前計及下垂控制的潮流計算的應(yīng)用場景主要為孤島運行模式的微電網(wǎng)。微電網(wǎng)中不同運行特性的下垂控制設(shè)備參與潮流計算需要不同的處理，但目前尚未有統(tǒng)一的下垂控制設(shè)備潮流模型構(gòu)建方法。

(2) 對于單類型電網(wǎng)系統(tǒng)，可以使用變量解耦的方式將頻率從控制關(guān)系中取出，單獨進行求解更新，或?qū)㈩l率等下垂控制變量放進潮流目標(biāo)方程以數(shù)學(xué)規(guī)劃求解法進行求解。對于主配一體化、交直流等多類型混合電網(wǎng)可以使用統(tǒng)一迭代法、分步式求解法與數(shù)學(xué)規(guī)劃求解法。

(3) 統(tǒng)一迭代求解法建模精度高，其中牛拉法應(yīng)用較多、收斂速度快，但對初值要求較高且存在雅克比矩陣奇異問題。因此，需要進一步研究牛拉法的優(yōu)化方法及其他適合統(tǒng)一迭代求解的計算方法。

(4) 分步式求解法對于混合系統(tǒng)而言建模難度低，解耦處理合適時潮流收斂效率高于統(tǒng)一迭代求解法，但存在交替迭代誤差、迭代次數(shù)較多的問題，有進一步研究空間。

(5) 數(shù)學(xué)規(guī)劃求解法目前在下垂控制潮流的應(yīng)用較少，相對于非線性潮流等式方程求解類方法，對初值相對不敏感，更易求得有效解，但存在迭代次數(shù)多與計算量較大的問題，可進一步研究尋解與優(yōu)化方式。

隨著國家碳達峰與碳中和工作的穩(wěn)步推進，新能源發(fā)電與電動汽車等新型設(shè)備在電網(wǎng)中的滲透率不斷提高，下垂控制及其潮流計算方法將得到進一步完善與發(fā)展，未來有望在實際工程中得到廣泛應(yīng)用，為電力系統(tǒng)安全可靠運行提供有力支撐。