李玉芬, 和穗榮, 韋聯(lián)福

(西南交通大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川 成都 610031)

1 引 言

普朗克常數(shù)是物理學(xué)中的基本物理常數(shù)之一。各種量子效應(yīng)觀測、普朗克長度和普朗克時(shí)間尺度的確定,均與普朗克常數(shù)的精確測定密不可分。2019年5月20日,國際度量衡委員會(huì)(CIPM)批準(zhǔn)推薦國際科技數(shù)據(jù)委員會(huì)(CODATA)將該常數(shù)的平差結(jié)果h=6.626 070 150(69)×10-34J·s[1](其相對(duì)不確定度為1.0×10-8)定義為普朗克常數(shù)的精確值,用來重新定義SI基本單位千克,代替千克實(shí)物基準(zhǔn)——國際千克原器(IPK)[2,3]。

早期普朗克常數(shù)的測量方法都是間接的,即通過測量普朗克常數(shù)與另一個(gè)常數(shù)的比值,如h/e、h/e2、h/c等來間接得到普朗克常數(shù)值。由于這類測量中包含其它具有一定相對(duì)不確定度的物理量,如基本電荷單位e和真空中的光速c等,所以這些間接測量是以比值形式的結(jié)果作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果,并不能直接得到普朗克常數(shù)的值和不確定度[4]。

近年來,力學(xué)平衡法,包含多種電流天平[5]和電壓天平[6,7]方法、基布爾秤[8,9](功率天平)以及我國提出的能量天平[10～13]被廣泛應(yīng)用于普朗克常數(shù)的精密測量。其中,利用超導(dǎo)磁懸浮[14]、功率天平和能量天平可以實(shí)現(xiàn)普朗克常數(shù)的直接測量[15],其中最好結(jié)果是加拿大國家研究委員會(huì)(NRC)使用功率天平測得的相對(duì)不確定度為9.1×10-9的值h=6.626 070 133(60)×10-34J·s[16]。顯然,直接測量方法在測量精度上比早年間接測量方法有明顯的優(yōu)勢。但是,基于功率天平和能量天平方法的直接測量法所得到的精度仍受限于諸多物理參量,如線圈磁場、線圈長度、切割磁感線的瞬時(shí)速度、感應(yīng)電壓和互感值等的測量精度,所以仍有很大的提升空間。尤其是,相比于現(xiàn)有的時(shí)間(頻率)測量精度,現(xiàn)有的普朗克常數(shù)測量精度仍然可繼續(xù)提高。

本文從分析傳統(tǒng)光電效應(yīng)實(shí)現(xiàn)普朗克常數(shù)間接測量的方法出發(fā),利用入射光功率與輸出電功率的等價(jià)關(guān)系,提出了一種可以在不引入其他基本物理參數(shù)測量的情況下,實(shí)現(xiàn)普朗克常數(shù)值精密測量的方法。

2 光電效應(yīng)法間接測量普朗克常數(shù)

跟據(jù)光子的能量公式:

E=nhf

(1)

式中:E為光子能量；n為光子數(shù)；h為普朗克常數(shù)；f為光的頻率。

利用入射光功率與輸出電功率的等價(jià)關(guān)系,提出一種可以在不引入其他基本物理參數(shù)測量的情況下,實(shí)現(xiàn)普朗克常數(shù)值精密測量的方法。式(1)中,E由光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中的飽和電流臺(tái)階給出,n由光子數(shù)可分辨的光子探測器進(jìn)行精確測量。由于目前測量頻率的精度很高,而且本方法所需測量的參量僅有2個(gè),尤其是利用液氦上的表面電子態(tài)電離技術(shù)避開光電效應(yīng)中逸出功的測量,從而可以在極低溫的環(huán)境下(熱噪聲可忽略不計(jì))實(shí)現(xiàn)精密測量。

光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示。用光照射陰極板K,使陰極金屬板的電子逸出,給兩極板外加電壓,在電場力的作用下光電子以更快的速度打到陽極板A上,此時(shí)電子的定向移動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)相對(duì)較容易測量的電流。

圖1 光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)原理圖

光電效應(yīng)由愛因斯坦方程描述:

(2)

式中:hf表示頻率為f的光子具有的能量；m和v0分別是光電子的質(zhì)量和最大速度；W為電子擺脫金屬表面約束所需要的逸出功,由金屬材料決定。假設(shè)所有電子逸出速度均為沿垂直陽極板面方向的理想狀態(tài),電子逸出速度均是最大速度。因此,光子能量一部分用于克服束縛成功逸出,一部分轉(zhuǎn)化成逸出后的動(dòng)能。顯然,產(chǎn)生光電效應(yīng)現(xiàn)象的基本要求是,入射光能量hf至少要能夠讓電子克服逸出功W,所對(duì)應(yīng)的頻率f0稱為光電效應(yīng)的截止頻率:

(3)

不同金屬有不同的逸出功,所以截止頻率也是不同的,本文默認(rèn)實(shí)驗(yàn)所選取的入射光頻率f>f0。

當(dāng)陽極A的電勢為正,陰極K電勢為負(fù)時(shí),陰極板被打出的光電子受到陽極板正電荷的吸引,光電子被加速。但是,當(dāng)陽極A電勢為負(fù),陰極K電勢為正時(shí),光電子被減速；如果A、K之間電勢差足夠大,具有最大逸出動(dòng)能的光電子也被反向電場所阻擋,無法運(yùn)動(dòng)到陽極板,光電流將為0,此時(shí)

(4)

式中:e為電子電量；U0是截止電壓。當(dāng)反向電壓達(dá)到截止電壓U0時(shí),光電流為0。結(jié)合以上3個(gè)方程可以得到關(guān)系:

eU0=hf-W=hf-hf0

(5)

即

(6)

可見,截止電壓U0是入射光頻率f的線性函數(shù),其斜率等于h/e。實(shí)驗(yàn)中,用不同頻率的光照射,測得不同的截止電壓；照射到不同逸出功材料上,可測得一系列的截止電壓-頻率直線,但這些直線的斜率都是h/e,如圖2所示。

圖2 常用的光電效應(yīng)斜率法測普朗克常數(shù)

所以,由實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)所得到的直線斜率即可求得h/e的大小,再利用基本電荷單位e的值就可以間接地測得普朗克常數(shù)值,這就是通常由光電效應(yīng)測量普朗克常數(shù)的基本原理。當(dāng)然,這里所實(shí)現(xiàn)的普朗克常數(shù)測量還是受限于電子電荷e的精度,按CODATA 2017的國際推薦數(shù)值,其精度水平為5.2×10-9[1],所以通過測量h/e來計(jì)算普朗克常數(shù)的精度水平很難超過目前CODATA推薦的不確定度1.0×10-8,難以達(dá)到10-9甚至更高精度水平。此為傳統(tǒng)光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)間接測量普朗克常數(shù)難以進(jìn)一步提高測量精度的物理限制。

根據(jù)熱電子發(fā)射的理查森定律,通過室溫下的光電效應(yīng)來間接測量普朗克常數(shù),會(huì)受到極大熱噪聲導(dǎo)致暗電流,從而對(duì)截止電壓的測量精度造成很大的影響。因此,在極低溫環(huán)境下進(jìn)行光電效應(yīng)測量非常必要?？梢灶A(yù)計(jì),在接近絕對(duì)零度的極低溫情況下,熱激發(fā)所造成的誤差水平將大大下降,從而能極大程度地減小暗電流對(duì)截止電壓測定的影響,實(shí)驗(yàn)將得到更準(zhǔn)確的結(jié)果。但是,即使這樣,光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)間接測量普朗克常數(shù)的精度仍無法繞過電子電荷e的有限精度影響,難以進(jìn)一步提高普朗克常數(shù)的測量精度；此外,光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中陰極材料的逸出功本身就難以精確測定。所以,進(jìn)一步提高測量精度的最終解決方案,應(yīng)該是通過光子能量法來實(shí)現(xiàn)直接測定普朗克常數(shù)。

3 光子能量法直接測量普朗克常數(shù)

3.1 基本原理

通過h/e的測定來間接得到h值的方法,精度自然受電子電量e本身測量精度的影響。所以規(guī)避e從而進(jìn)一步提高普朗克常數(shù)測量精度是一個(gè)值得探索的方向。實(shí)際上,跟據(jù)光束能量式(1)可知,如果可以測量一束光單位時(shí)間內(nèi)入射光子數(shù)n(由光子計(jì)數(shù)技術(shù)進(jìn)行精密測量),那么再測量光功率E,就可以實(shí)現(xiàn)普朗克常數(shù)的直接測量。顯然,這一直接方法的精度,不再受限于另一個(gè)常數(shù)測量的精度；且光頻率f的測量精度目前已達(dá)到10-18的水平,因此直接測量普朗克常數(shù)其精度有望得到更大的提升。

物理上,利用光電效應(yīng)也可以實(shí)現(xiàn)規(guī)避e測量精度的影響,實(shí)現(xiàn)普朗克常數(shù)的直接測量。當(dāng)然,與傳統(tǒng)光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)通過測量截止電壓來間接實(shí)現(xiàn)普朗克常數(shù)測量方法有本質(zhì)上的不同,在這一實(shí)驗(yàn)中,需要精確測量的量不再是截止電壓而是飽和光電流。其基本原理是,因?yàn)閱挝粫r(shí)間一束入射光的能量(即光功率)E與光子數(shù)n有式(1)所示關(guān)系,因此光能量E可以通過測量飽和光電流來確定

E=UImaxImax

(7)

式中:Imax為飽和光電流；UImax為電流達(dá)到飽和值臨界處時(shí)的電壓。聯(lián)立式(1)和式(7)可以將普朗克常數(shù)直接計(jì)算出來,從而規(guī)避了e的精確度的影響。這里,測量精度取決于飽和電壓UImax的測量精度。由于基于量子霍爾效應(yīng)測量電阻的測量精度[17]已經(jīng)能達(dá)到10-10,而且基于約瑟夫森效應(yīng)已經(jīng)建立了電壓測量的量子物理基準(zhǔn)[18],所以飽和電流的測量精度至少可以達(dá)到電阻測量精度水平。

此外,光子能量法直接測量普朗克常數(shù)中,光束光子數(shù)的測量也同樣重要。幸運(yùn)的是,近年發(fā)展起來的可分辨光子數(shù)光子探測技術(shù),實(shí)現(xiàn)了弱光光子數(shù)的直接計(jì)數(shù)。如美國NIST在單個(gè)工作于100 mK的低溫超導(dǎo)轉(zhuǎn)移邊緣傳感器(TES)芯片上實(shí)現(xiàn)了 1 000個(gè)光子的準(zhǔn)確識(shí)別[19]；利用不同光子數(shù)下超導(dǎo)諧振器動(dòng)態(tài)電感的不同響應(yīng),本實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)了直到7個(gè)光子的可分辨探測[20]；由于光電效應(yīng)的發(fā)生只取決于入射光的頻率,而入射光的強(qiáng)度僅決定了出射光電子數(shù)的多少(可通過光電效應(yīng)的飽和電流大小來測定),所以利用極低溫條件下的光電效應(yīng)飽和光電流對(duì)應(yīng)電壓臺(tái)階的測量,來實(shí)現(xiàn)普朗克常數(shù)的直接測量是切實(shí)可行的。

3.2 飽和電流的測定

固定入射光線頻率和強(qiáng)度,逐漸加大正向偏置電壓到一個(gè)足夠大的值后,電流將不再隨著電壓的增加而增大,形成飽和光電流。這是通常光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)所觀測到的現(xiàn)象。這是因?yàn)?在電場力的作用下,所有逸出的電子都可以在單位時(shí)間內(nèi)由陰極金屬板打到陽極板上；繼續(xù)加大電壓只會(huì)縮短電子在兩極板之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間,相當(dāng)于減少了電子在極板間運(yùn)動(dòng)時(shí)的體密度,從而使得電流不再變化。

利用能量守恒關(guān)系,可得到電子在光電管中某處x=xt的體密度[21]為:

(8)

(9)

可見,飽和光電流Imax只與單位時(shí)間內(nèi)陰極發(fā)出的電子數(shù)有關(guān),與所加偏置電壓無關(guān)。物理上,決定單位時(shí)間內(nèi)陰極板逸出光電子數(shù)量的是入射光單位時(shí)間內(nèi)入射光子數(shù):1個(gè)電子最多只能吸收1個(gè)光子的能量,即1個(gè)光子最多使1個(gè)電子逸出,所以單位時(shí)間內(nèi)逸出光電子數(shù)小于或等于入射光子數(shù)。當(dāng)然,相同強(qiáng)度的光的能量是相同的,能量E與光子數(shù)n和光頻率f由式(1)相聯(lián)系。所以,固定入射光頻率后,光照強(qiáng)度越強(qiáng)光子數(shù)目越多,從而單位時(shí)間能打出的電子數(shù)越多、飽和電流越大。

固定入射光光強(qiáng)和頻率進(jìn)行光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn),通過改變電壓可得到I-U曲線,如圖3所示。這是通常光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)都能觀測到的現(xiàn)象。

圖3 光電流的伏安特性曲線

首先,陰極中的自由電子遵循費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì):

(10)

式中:f(E)是電子具有能量E的概率；EF是費(fèi)米能級(jí)；T是絕對(duì)溫度；kB是玻爾茲曼常數(shù)。

因此,光電流I與陰、陽極之間電壓U變化的關(guān)系可表示為[22]:

(11)

式中:δ是陰、陽極表面差異引起的電勢差；ε是光電子的動(dòng)能；εm=hf-W是光電子在0 K時(shí)從金屬表面發(fā)射出來的最大動(dòng)能。利用式(7)即可得到入射光光功率。

最后,再由式(1)即可得到普朗克常數(shù)的值:

(12)

這樣,通過測定入射光脈沖的光子數(shù)n,就建立了普朗克常數(shù)與光頻率的直接聯(lián)系,由此可實(shí)現(xiàn)普朗克常數(shù)的直接測量。

當(dāng)然,這一方法實(shí)現(xiàn)普朗克常數(shù)的直接測量,需要使用嚴(yán)格的單光子源[23],即保障1個(gè)脈沖只有1個(gè)光子,那么n=1。但現(xiàn)實(shí)的問題是,目前嚴(yán)格的單光子源技術(shù)尚未完全成熟,所以實(shí)驗(yàn)上大多采用弱光脈沖來代替。這種弱光脈沖實(shí)際上是通過相干光的線性衰減而得到的,所以光脈沖中的光子數(shù)存在由泊松分布描述的漲落,由此導(dǎo)致影響飽和電流測定精度的光電子數(shù)目的漲落。改進(jìn)的辦法是測定飽和光電流臺(tái)階的平整度。

圖4給出了弱光脈沖的光子數(shù)分布服從泊松分布情況下,不同平均光子數(shù)與對(duì)應(yīng)飽和光電流臺(tái)階的初步模擬結(jié)果。

圖4 不同平均光子數(shù)脈沖下飽和光電流的模擬

(13)

可見,當(dāng)入射光頻率一定時(shí),不同光照強(qiáng)度(平均光子數(shù)不同)對(duì)應(yīng)于不同臺(tái)階的飽和光電流,平均光子數(shù)越大則飽和電流越大。

另一個(gè)影響飽和光電流臺(tái)階平整度的主要因素是暗電流漲落幅度。減少暗電流的一個(gè)有效途徑是降低光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中的環(huán)境溫度。由陰極自由電子的費(fèi)米-狄拉克分布式(10)可以看到,在稀釋制冷機(jī)所提供的mK級(jí)環(huán)境溫度中,暗電流漲落的影響將顯著降低,從而可以大幅降低暗電流對(duì)飽和電流臺(tái)階平整度的影響。

3.3 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

基于上述原理分析,設(shè)計(jì)了圖5所示的極低溫光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),其核心思想是盡可能地測得平整度好的飽和光電流臺(tái)階。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的主要構(gòu)成有:

圖5 液氦上電子的光電效應(yīng)系統(tǒng)原理圖

(1)將充滿氦氣的密閉容器,置于稀釋制冷機(jī)所提供的極低溫環(huán)境中。在這一極低溫(遠(yuǎn)低于氦氣的液化溫度)環(huán)境下容器中的氦氣液化成液氦(藍(lán)色部分)。

(2)由光纖1中引入的光脈沖入射到光陰極,克服陰極極板逸出功的電子逸出陰極,形成漂浮于液氦表面的光電子,它在垂直液面方向上形成類氫原子(受液氦表面的靜電鏡像勢束縛)；電流表A1測量電流以確定液氦表面上光電子的存在。

(3)由光纖2引入弱光脈沖(單光子脈沖)照射液氦表面上的電子使其電離發(fā)生光電效應(yīng)。電流表A2測量類氫原子電離所形成的光電流。

系統(tǒng)的基本工作原理為:

(1)懸浮與液氦表面的光電子,在液氦鏡像勢的作用下,在垂直液氦表面方向上受到束縛,形成類氫原子。

由于泡利不相容原理,光電子與液氦表面有一個(gè)約1 eV的勢壘[24],確保電子不會(huì)進(jìn)入液氦中。液氦表面環(huán)境特別潔凈,漂浮于上的電子態(tài)的退相干來源幾乎只有液氦表面的不平整性,因此液氦上電子的退相干時(shí)間可以達(dá)到秒量級(jí)[25],為電子態(tài)調(diào)控提供了更多便利。在沒有外電場且忽略電子間相互作用(Vee(x,y,z))的情況下,液氦表面上電子在平行于液氦表面的方向z上自由運(yùn)動(dòng),勢能V∥(x,y)為0,在垂直液氦表面方向上具有類氫原子勢V⊥[26]:

(14)

式中:Λ=(ε-1)/(4(ε+1))是有效介電常數(shù)；ε=1.057 23是液氦相對(duì)介電常數(shù)；ε0=8.854 187 812 8×10-12F/m是真空介電常數(shù)。

描述這一懸浮于液氦表面上的電子系統(tǒng)的哈密頓量是:

V⊥+V∥(x,y)+Vee(x,y,z)

(15)

其能級(jí)和相應(yīng)能量本征函數(shù)可解析出,分別為:

(16)

和

(17)

≈-0.658 1meV≈-159.12GHz

≈-0.164 5meV≈-39.78GHz

≈-0.073 1meV≈-17.68GHz

液氦上電子基態(tài)、第一激發(fā)態(tài)和第二激發(fā)態(tài)能量3個(gè)最低能級(jí)分布見圖6。

圖6 液氦上3個(gè)最低能級(jí)分布圖

(2)類氫原子光致電離光電效應(yīng)

(18)

對(duì)于此系統(tǒng),使用可見光f2照射液氦表面電子,使其發(fā)生光致電離時(shí),電子由基態(tài)躍遷到平面波態(tài)所需能量遠(yuǎn)小于光子能量,則電子逸出時(shí)會(huì)有較大的初動(dòng)能,光電流更易達(dá)到飽和,截止電壓更大。此外,當(dāng)外加電場為10 000 V/m時(shí),用450～1 550 nm波長光使液氦上電子發(fā)生光致電離,光電離率Γ1→0與入射光角頻率ω的關(guān)系如圖7所示,選用頻率較小的入射光將有更大的電離率。

圖7 光電離率Γ1→0與入射光角頻率ω的關(guān)系

與傳統(tǒng)光電效應(yīng)間接測量普朗克常數(shù)的方法相比,本設(shè)計(jì)系統(tǒng)的潛在優(yōu)勢是:1)極低溫環(huán)境大大降低熱漲落導(dǎo)致的暗電流漲落；2)光電子逸出功,即類氫原子的電離能可以精確計(jì)算和測定；3)普朗克常數(shù)是通過與光子數(shù)有關(guān)的飽和光電流臺(tái)階的平整度來測量的。顯然,除入射光的頻率外,不再涉及其他參數(shù)的精確定義和測量,所以基于此極低溫光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)所實(shí)現(xiàn)的普朗克常數(shù)直接測量,精度有望得到較大的提升。

3.4 實(shí)現(xiàn)過程

第一步是確定液氦上電子的產(chǎn)生。通過光纖1使頻率為f1的光子進(jìn)入樣品盒,并射擊到陰極金屬板上,調(diào)整不同光強(qiáng)或外加電壓,通過電流表A1觀察陰陽極金屬板間光電流大小的變化。光電流應(yīng)隨著電壓的增大而逐漸增大,并在一定程度上趨于飽和；保持外加電壓穩(wěn)定不變,成倍增大光強(qiáng),光電流也有同樣倍數(shù)的增大。滿足以上情形,可以排除只有暗速率和場發(fā)射沒有光電流的情況,還可根據(jù)需求調(diào)整電子數(shù)。

第二步是確定液氦上電子發(fā)生光致電離。通過光纖2入射能量為hf2的單光子脈沖,液氦上電子的電離能較小,所以可選用較小頻率的光,當(dāng)光子能量低于金屬陰極的逸出功時(shí),還可以避免金屬陰極發(fā)生光電效應(yīng)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。改變光強(qiáng)或上下極板間的電壓,通過電流表A2觀察光電流的變化,判斷方法與第一步相同。

第三步是進(jìn)行對(duì)照實(shí)驗(yàn)排除噪聲影響。極低溫環(huán)境下實(shí)驗(yàn)熱噪聲較小,但仍不為零；隨著電壓的增強(qiáng),場發(fā)射強(qiáng)度變大。這些都會(huì)使直接測出的飽和光電流平臺(tái)不夠平坦,所以需要減去無光情況下不同電壓對(duì)應(yīng)的電流大小。

第四步是重復(fù)同頻率不同強(qiáng)度入射光的光致電離實(shí)驗(yàn)對(duì)UImax求平均值。改變光強(qiáng)即單位時(shí)間內(nèi)光纖2的發(fā)射光子數(shù),保持f2不變,實(shí)際飽和光電流將與光強(qiáng)發(fā)生同樣倍數(shù)的變化,但臨界飽和處的電壓不變。所以,測量多組不同光強(qiáng)的光致電離,對(duì)UImax求平均值,將會(huì)得到更加準(zhǔn)確的結(jié)果。

對(duì)于建立的輸入光功率與輸出電功率之間的等式關(guān)系:nhf=ImaxUImax,入射光頻率f可以精確標(biāo)定,而光子數(shù)n則由光子數(shù)可分辨技術(shù)精確分辨。對(duì)直接測量結(jié)果減去噪聲測量結(jié)果得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合等處理,得到平穩(wěn)的飽和電流Imax臺(tái)階,首先達(dá)到飽和點(diǎn)的電壓為UImax,這樣就實(shí)現(xiàn)了普朗克常數(shù)的測量。

4 結(jié) 論

作為進(jìn)一步提高普朗克常數(shù)測量精度的一種嘗試,本文提出基于光子數(shù)分辨探測技術(shù)的光子能量法實(shí)現(xiàn)普朗克常數(shù)的直接測量。與間接測量不同,這里利用極低溫光電效應(yīng)和光子計(jì)數(shù)技術(shù),建立nhf=ImaxUImax等式關(guān)系,因而可以實(shí)現(xiàn)普朗克常數(shù)直接測量。當(dāng)然,本方法的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)也存在難點(diǎn),如有效地實(shí)現(xiàn)液氦表面電子態(tài)、電子基態(tài)能譜測量及弱光照射下的微弱電離電流精確測量等等。