于 航, 張 磊, 宋文霞, 王玉琢

(1.河北工業(yè)大學(xué) 人工智能與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,天津 300401； 2.中國計量科學(xué)研究院,北京 100029)

1 引 言

隨著信息技術(shù)的發(fā)展,航空航天、衛(wèi)星導(dǎo)航、地理信息、貿(mào)易金融等各個領(lǐng)域?qū)?biāo)準(zhǔn)時間的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度都提出了更高的要求。原子鐘加權(quán)組合是提高原子時標(biāo)性能的一種有效方法,廣泛應(yīng)用于各守時系統(tǒng)[1～5]。由于原子鐘由多個光電器件組成,容易受到溫度、濕度、磁場等環(huán)境因素的影響,因此輸出的頻率信號必然包含其他噪聲,這就導(dǎo)致了一個集合中原子鐘之間存在一定的相關(guān)性[6～9]。針對這些噪聲特性的研究,Torcaso F提出了一種N個獨立于參考時鐘的絕對頻率穩(wěn)定性的方法[10]。此外,優(yōu)化理論與機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域的相關(guān)研究證實了正則化技術(shù)在解決尋優(yōu)問題上的有效性[11]。Tikhonov等提出了對數(shù)學(xué)中病態(tài)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修正,以避免過度擬合[12]。

廣義正則化模型可以歸結(jié)為極值問題,可表示為:

∑iLoss(xi,yi)+λiΩ(xi)

(1)

式中:Loss(xi,yi)是樣本xi的損失函數(shù);λiΩ(xi)是懲罰項。當(dāng)損失函數(shù)分別用范數(shù)L1和范數(shù)L2正則化時,數(shù)學(xué)模型對應(yīng)于Tikhonov的正則和著名的lasso回歸[13]。參數(shù)λi可以平衡誤差函數(shù)和懲罰項。

自從lasso提出了有效的最小角度回歸算法以來,正則稀疏模型得到了廣泛研究[14]。例如,Zou H提出了自適應(yīng)lasso回歸方法[15]；用于小樣本的lasso回歸[16]。Meier等人和Simon等提出的稀疏群lasso回歸[17]。這些都對后來的特征選擇和稀疏表示分類算法產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響[18]。

本文將鐘組最優(yōu)權(quán)重抽象為一個帶有約束項的優(yōu)化問題,利用原子鐘噪聲的協(xié)方差矩陣構(gòu)建鐘組權(quán)重策略。鑒于實際應(yīng)用中鐘組協(xié)方差矩陣的病態(tài)特征,提出了一種添加正則項的方法來進(jìn)一步優(yōu)化鐘組權(quán)重,用于改善鐘組時標(biāo)準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度。

2 理論模型

通常頻率穩(wěn)定度評價原子鐘的噪聲特性[19],即5種能譜噪聲的線性疊加來。在相同的工作條件下,可能會對原子鐘的輸出信號產(chǎn)生類似的影響,從而導(dǎo)致原子鐘輸出信號之間的相關(guān)性[20],導(dǎo)致實際輸出值與實測值可能存在一定差異。此時,利用測量值很難準(zhǔn)確評價原子鐘的頻率穩(wěn)定度。因此,利用測量值計算出的頻率穩(wěn)定度確定鐘組權(quán)重是不合理的。

本文采用組合優(yōu)化模型約束鐘組輸出的時間偏差和頻率穩(wěn)定度。兩者分別定義為相對于參考的相對時間偏差和Allan標(biāo)準(zhǔn)偏差,其目的是兼顧兩者同時達(dá)到或接近最小化。這將進(jìn)一步保證鐘組輸出鎖定到參考信號,同時最大限度地減小鐘組輸出的頻率不穩(wěn)定度[21～23]。利用拉格朗日乘數(shù)法計算鐘組中各原子鐘的權(quán)重。在優(yōu)化模型中,若只有Allan標(biāo)準(zhǔn)偏差作為約束條件,優(yōu)化結(jié)果可能是一個無波動的常數(shù)函數(shù)。若只有時間偏差作為約束條件,輸出可能會有較大的波動。因此,兩者兼具作為約束條件,有利于逼近目標(biāo)。

設(shè)原子鐘輸出相對于參考源的序列長度為L,如式(2)所示,任意兩臺原子鐘之間的相關(guān)性用協(xié)方差矩陣表示。不僅取決于原子鐘本身的噪聲特性,同時受原子鐘輸出序列的長度影響。

c=(x1,x2,…,xL)

(2)

向量X表示N個原子鐘的序列,表示為:

(3)

N個原子鐘的協(xié)方差矩陣可以用式(4)、式(5)計算:

covi,j=cov(ci,cj)

(4)

(5)

結(jié)合上述模型,將最優(yōu)組合轉(zhuǎn)化為帶約束的優(yōu)化問題。y代表原子鐘相對于參考的頻率輸出,最小時間偏差基于無偏頻率輸出。σ2表示原子鐘組輸出相對于其參考的Allan方差；X為N×L的矩陣,表示N臺原子鐘相對于參考的測量結(jié)果；ω為權(quán)重矩陣。優(yōu)化問題表示為:

minσ2=ωTCω

(6)

s.t.ωTX=y

ωTp=1

(7)

根據(jù)優(yōu)化理論,可得目標(biāo)函數(shù)為:

(8)

式中:p,f分別為長度為N和L的向量,p=(1,…,1)N,f=(1,…,1)L,ωTp是權(quán)重向量。

由于優(yōu)化目標(biāo)的方差是非負(fù)的,優(yōu)化結(jié)果在很大程度上取決于權(quán)重向量的大小?？紤]在Lagrange函數(shù)中加入一個正則化項,并懲罰權(quán)向量中偏離零的值。

(9)

即可等價表示為:

λ2(y-ωTX)fT

(10)

式(9)和式(10)中η是正則化系數(shù),表示權(quán)重值的懲罰程度。在上述模型中,病態(tài)矩陣的逆及其系數(shù)矩陣方程的界對小擾動非常敏感,因此需要使用條件數(shù)評估矩陣的病態(tài)程度,‖A‖是矩陣的2-范數(shù):

cond(A)=‖A‖*‖A-1‖

(11)

(12)

原子鐘組相關(guān)性導(dǎo)致的矩陣病態(tài)干擾了優(yōu)化問題的求解,本文采用懲罰正則項來加以修正。

3 數(shù)據(jù)仿真與各參數(shù)影響

3.1 仿真數(shù)據(jù)

參考原子鐘輸出的頻率信號序列在短時間尺度上可以近似為隨時間變化的線性函數(shù):

y=[a+ε1GN1(μ1,σ1)]+

[b+ε2GN2(μ2,σ2)]t

(13)

式中:a和b分別代表頻率和頻率漂移；GN1(μ1,σ1)和GN2(μ2,σ2)是均值為μ和方差為σ的高斯噪聲；ε1和ε2是高斯噪聲的調(diào)節(jié)系數(shù)。

本文仿真所采用得參數(shù)a0=μ0=μ1=0,b=10-15,σ1=2×10-30,σ2=10-34,模擬了典型銫鐘的頻率特性[24]。為了研究原子鐘之間相關(guān)性的影響,用高斯噪聲G=NS(μS,σS)來模擬原子鐘之間的相關(guān)性,因此將原子鐘的輸出改寫為:

yi(t)=yi(t)+βG,

-1<β<1

(14)

3.2 鐘組性能

根據(jù)式(13)、式(14),仿真了5臺模擬的原子鐘頻率數(shù)據(jù),仿真參數(shù)如表1所示,所有序列的長度L=1 000。

表1 仿真鐘的相關(guān)性參數(shù)

為了驗證原子鐘噪聲相關(guān)性矩陣的病態(tài)特性,表2給出了5個仿真原子鐘的相關(guān)系數(shù)矩陣,利用式(11)和式(12)計算矩陣的狀態(tài)數(shù)為11 702.19。由此可見,矩陣的病態(tài)性非常嚴(yán)重,需要在模型中加入正則項適度緩解。

表2 仿真鐘組協(xié)方差矩陣

如果假設(shè)原子鐘彼此獨立,鐘組權(quán)重可定義為

(15)

本文提出的方法和傳統(tǒng)方法應(yīng)用到仿真鐘組中進(jìn)行對比,如圖1所示,在平均時間τ=105～108s(1～110 d)的情況下,有效地提高了仿真鐘組的輸出頻率穩(wěn)定度。

圖1 仿真鐘的測試效果.

使用拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行優(yōu)化問題求解時,正則項的作用是對原有約束增加一個正定的懲罰,如果求解陷入了某個權(quán)重分配過于不均勻,正則項會變大而避免這種結(jié)果出現(xiàn)。圖2顯示了隨著正則項系數(shù)變化,鐘組輸出Allan標(biāo)準(zhǔn)偏差(τ=1 d)隨之減小,可見正則項效果顯著。

圖2 正則項系數(shù)對結(jié)果的影響

考察原子鐘數(shù)量對于鐘組時標(biāo)性能的影響具有一定的現(xiàn)實意義,數(shù)量較少的情況下新的優(yōu)化方案應(yīng)該和原有傳統(tǒng)方法結(jié)果相近,另一方面鐘組的頻率穩(wěn)定度并不能無限地得到改善。

為了驗證所提出的方法對不同原子鐘數(shù)量的影響,本文開展了如下實驗,如圖3所示,橫坐標(biāo)是仿真原子鐘數(shù)量的變化(n=3至n=20)。類比于之前的仿真過程,使用兩種算法進(jìn)行測試,檢驗其輸出的頻率穩(wěn)定度。其中,每個點是重復(fù)20次的平均值。如表3所示,列出了17組實驗對應(yīng)的新的優(yōu)化方法和原有方法的頻率穩(wěn)定度對比結(jié)果。從中可以看出,對于不同的時鐘數(shù)目該方法加權(quán)效果總是具有一定的優(yōu)勢,可見該方法能有效地提高鐘組性能。

圖3 原子鐘數(shù)量對結(jié)果的影響

表3 鐘組頻率穩(wěn)定度隨n變化趨勢(τ=1 d)

4 實驗驗證

利用NIM實驗室4個銫鐘(CS1、CS2、CS3、CS4)進(jìn)行實驗驗證,頻率偏差如圖4所示。其中CS4的頻率穩(wěn)定度最優(yōu),τ=86 400 s時,其Allan偏差為8.27×10-13；平均時間τ=86 400 s時,CS2的頻率穩(wěn)定度最低,為9.59×10-13。

圖4 NIM銫鐘頻率偏差變化趨勢

為了測試基于優(yōu)化論方法的加權(quán)算法的效果,驗證算法的有效性,設(shè)計了以下幾組實驗:

1)CS1、CS2、CS3組合。

2)CS2、CS3、CS4組合。

3)CS1、CS2、CS3、CS4組合。

表4列出了3組實驗在新舊方法上的鐘組頻率穩(wěn)定度(τ=1 d)。

表4 3組實驗在新舊方法上的鐘組頻率穩(wěn)定度(τ=1 d)

圖5展示了3組實驗在兩種方法下的效果(對數(shù)坐標(biāo)),可見,本文提出的權(quán)重優(yōu)化方法考慮了銫鐘之間的相關(guān)性,可以有效降低頻率偏差。

圖5 3組實驗結(jié)果.

5 結(jié) 論

原子鐘組是守時系統(tǒng)的核心組成部分,其性能直接決定了原子時標(biāo)輸出的性能指標(biāo)。原子鐘易受溫度、磁場等因素影響,導(dǎo)致其輸出頻率發(fā)生變化。

本文聚焦于同一實驗條件下原子鐘之間相關(guān)性對于鐘組時標(biāo)的影響,提出了一種基于正則優(yōu)化的鐘組權(quán)重新策略。利用數(shù)值仿真技術(shù),考察了新方法中正則項系數(shù)和原子鐘數(shù)量對于鐘組頻率穩(wěn)定度的影響以及。將新方法應(yīng)用于中國計量科學(xué)研究院保持的銫鐘組,3組獨立實驗表明新方法有效降低了原子鐘組的輸出頻率不穩(wěn)定性。