劉倩 田淼 范偉麗 賈萌萌 馬鳳娜 劉富成?

1)(河北大學物理科學與技術(shù)學院,保定 071002)

2)(河北大學環(huán)境工程研究所,保定 071002)

周期性驅(qū)動是控制斑圖最有效的方式之一,因此一直是斑圖動力學研究的一大熱點.自然界中的斑圖形成系統(tǒng)大多是多層耦合的非線性系統(tǒng),周期性驅(qū)動對這些多層耦合系統(tǒng)的作用機理人們還不甚了解.本文通過耦合Brusselator (Bru)系統(tǒng)和 Lengyel-Epstein (LE)系統(tǒng),并給LE 系統(tǒng)施加一個空間周期性驅(qū)動來研究外部驅(qū)動對多層耦合系統(tǒng)中圖靈斑圖的影響.研究發(fā)現(xiàn),只要外部驅(qū)動與Bru 系統(tǒng)的超臨界圖靈模(內(nèi)部驅(qū)動模)兩者中的一個為長波模時,就可以將LE 系統(tǒng)中的次臨界圖靈模激發(fā),3 個模式共同作用從而形成具有3 個空間尺度的復雜斑圖.若外部驅(qū)動和內(nèi)部驅(qū)動模均為短波模,則無法激發(fā)此系統(tǒng)的本征次臨界圖靈模,但滿足空間共振時也可以產(chǎn)生超點陣斑圖.若LE 系統(tǒng)的本征模為超臨界圖靈模,其自發(fā)形成的六邊形斑圖只有在外部驅(qū)動強度較大的情況下才能夠產(chǎn)生響應,且其空間對稱性受到外部驅(qū)動波數(shù)的影響.

1 引言

自組織斑圖現(xiàn)象普遍存在于自然界及其各種時空延展非線性系統(tǒng)中,例如生態(tài)環(huán)境系統(tǒng)[1]、對流系統(tǒng)[2]、振蕩法拉第系統(tǒng)[3,4]、氣體放電系統(tǒng)[5]、化學反應擴散系統(tǒng)[6]等.圖靈分岔被認為是斑圖形成的一種重要機制,圖靈不穩(wěn)定性在許多斑圖的形成中起到主要作用[7?9].眾所周知,自然界中斑圖的形成機理是復雜的,受到外界因素的調(diào)控作用,且該外界調(diào)控通常隨時空發(fā)生變化.為了探究外界因素的影響機制,給系統(tǒng)施加一個外部時空驅(qū)動是研究這一問題的常用方法[10?20].早期,Dolnik等[13?17]在光敏二氧化氯-碘-丙二酸(CDIMA)反應擴散系統(tǒng)基礎(chǔ)上分別施加一維、二維空間周期驅(qū)動,獲得了迷宮斑圖向六邊形、四邊形以及超晶格斑圖轉(zhuǎn)換.Haim 等[18]研究了空間周期光照下Lengyel-Epstein (LE)系統(tǒng)的共振空間周期解;Liu等[19]闡明了受弱信號和空間周期力作用下可激發(fā)反應擴散系統(tǒng)的共振集體行為.多項研究結(jié)果表明,空間周期性外部驅(qū)動對單層反應擴散系統(tǒng)的斑圖形成具有重要影響.

實際上,不論是自然界還是非線性實驗耗散系統(tǒng),斑圖形成大多是多層結(jié)構(gòu)相互耦合、共同作用的結(jié)果[21?26].人們通過構(gòu)建多層耦合系統(tǒng),獲得了與自然界斑圖高度吻合的斑圖類型.例如,Barrio等[21]建立雙層耦合反應擴散系統(tǒng),獲得了與自然界中魚的體表圖案十分接近的斑圖結(jié)構(gòu).Li 等[22]在雙層LE 反應擴散模型中獲得了四邊形圖靈斑圖.Paul 等[23]通過對雙層反應擴散系統(tǒng)的參數(shù)調(diào)控理論分析了反相同步和時空斑圖形成的機理.李偉恒等[24]在雙層介質(zhì)中分別采用抑制和興奮性耦合,研究了雙層可激發(fā)介質(zhì)中的螺旋波動力學.前期工作中,本課題組[26]通過線性耦合Brusselator(Bru)模型與LE 模型反應擴散系統(tǒng),研究了兩個圖靈模之間的相互作用,分析了斑圖選擇和形成的影響因素.上述工作表明,采用具有雙層及以上多層耦合系統(tǒng)來描述自然界中斑圖的形成機理更為準確和充分.特別是,如果在多層耦合系統(tǒng)基礎(chǔ)上,能夠考慮到外界時空驅(qū)動對斑圖形成的影響,無疑更加貼近實際、更加具有普適性和廣泛性.在雙層擴散耦合光敏CDIMA 化學反應中,Miguez 等[27]通過光照周期性透光性掩膜實現(xiàn)外部調(diào)控對自組織斑圖的擾動,研究了兩層圖靈模式之間的相互作用.白婧等[28]采用神經(jīng)元模型研究了具有多個長方形長程耦合區(qū)的神經(jīng)元網(wǎng)絡中波的傳播,獲得了局部同步引發(fā)的各種效應.李倩昀等[29]構(gòu)造了由心肌細胞和成纖維細胞組成的雙層復合介質(zhì),通過細胞之間的耦合強度實現(xiàn)了復合介質(zhì)中的螺旋波和時空混沌的控制.張秀芳等[30]基于光電管耦合兩個FitzHugh-Nagumo (FHN) 神經(jīng)元,實現(xiàn)了耦合系統(tǒng)在外界光照輻射注入能量后的動力學行為控制.作為一種特殊的多層耦合反應擴散系統(tǒng),介質(zhì)阻擋放電在周期性放電參數(shù)調(diào)控下,呈現(xiàn)出了豐富的多尺度時空斑圖[31?34].例如Sinclair 和Walhout[32]采用四邊形周期陣列電極獲得了具有不同集體行為的放電絲結(jié)構(gòu).本課題組通過金屬網(wǎng)柵陣列電極[33]以及周期性結(jié)構(gòu)的電介質(zhì)[34]實現(xiàn)了對等離子體斑圖的空間周期性調(diào)控,并獲得了不同對稱性、不同結(jié)構(gòu)的豐富的斑圖.然而,由于機制復雜,外界時空驅(qū)動對多層耦合系統(tǒng)中非線性斑圖形成的影響機制目前仍不十分明確.

針對介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng),本文采用雙層耦合Bru 系統(tǒng)與LE 系統(tǒng),研究了外加空間周期性驅(qū)動下,不同類型斑圖的形成機制.分析了空間周期性驅(qū)動強度、波長等參量對圖靈斑圖形成的調(diào)控作用和演化行為的影響.研究結(jié)果為我們更深入地理解斑圖形成過程、揭示自然奧秘提供一定支持和啟示.

2 計算模型

研究表明,氣體放電系統(tǒng)中的放電等離子體斑圖可以通過反應擴散模型唯象地描述[35,36].介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)由放電層和電介質(zhì)層組成,當放電產(chǎn)生的空間電荷移動到電介質(zhì)表面后會積累形成表面電荷,反過來表面電荷形成的電場會直接影響空間電荷的行為.為了研究周期性驅(qū)動下介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)中的斑圖形成機理,本文構(gòu)建了一個唯象的雙層線性耦合反應擴散模型.在無量綱的情況下,其一般形式為

式中,u和v分別為系統(tǒng)內(nèi)活化子和禁阻子濃度,分別對應放電系統(tǒng)中的電荷和電壓降;Du和Dv為對應的擴散系數(shù),下標 1,2 代表不同層子系統(tǒng).耦合項α(u2?u1)和α(u1?u2)代表了空間體電荷和表面電荷之間的相互轉(zhuǎn)變,其中α為兩個子系統(tǒng)活化子(電荷)之間的耦合強度,為了方便,在整個模擬過程中選取α=0.1.本模型也可以描述通過層間擴散耦合的雙層化學反應擴散系統(tǒng)[27].方程f(u,v)和g(u,v)是系統(tǒng)的局部動力學方程,不同的系統(tǒng)有著不同的動力學行為.由于放電系統(tǒng)中放電層和電介質(zhì)層具有顯著不同的動力學行為,本文分別選用Bru 系統(tǒng)和LE 系統(tǒng)來唯象地描述放電層和電介質(zhì)層.在無量綱的情況下,Bru 系統(tǒng)的局部動力學為

LE 系統(tǒng)局部動力學為

這里a,b和c,d為各個子系統(tǒng)的控制參數(shù).對于Bru 和LE 子系統(tǒng),其均勻定態(tài)解分別為(u10,v10)=.本文中選取c=5a,則雙層耦合系統(tǒng)的均勻定態(tài)解可以表示為

在介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)中,可以通過周期性陣列電極以及周期性變化的電介質(zhì)來控制放電斑圖的行為.在本模型中,借用LE 系統(tǒng)中的光敏特性來實現(xiàn)這一調(diào)控.即在LE 系統(tǒng)中施加一個空間上呈六邊形分布的周期性外界驅(qū)動w來表征外界條件的空間干擾.該驅(qū)動對系統(tǒng)的影響通過周期性地改變空間光照來實現(xiàn),其具體表達式為

光照強度與3 個余弦函數(shù)的和成正比,其中w0和kF分別為空間周期性光照的強度和空間波數(shù).

模擬中,采用歐拉向前差分方法進行積分.方程計算在一個含有N×N格點的二維平面上進行,邊界條件選用零流邊界條件.初始條件為在均勻定態(tài)解的基礎(chǔ)上施加一個很小的隨機擾動,數(shù)值算法的詳細描述可參見文獻[26].所有計算結(jié)果的積分時間均超過1000 個時間單位,以確保結(jié)果的穩(wěn)定性.

根據(jù)耦合系統(tǒng)中圖靈模不同的性質(zhì),將該耦合系統(tǒng)分為3 個類型,其相應的色散關(guān)系如圖1 所示.圖中用k1和kC分別表示Bru 子系統(tǒng)和LE 子系統(tǒng)中圖靈模的波數(shù).類型I 為超臨界圖靈長波模與次臨界圖靈短波模相互作用(圖1(a));類型II為超臨界圖靈短波模與次臨界圖靈長波模相互作用(圖1(b));類型III 為兩個超臨界圖靈模之間相互作用(圖1(c)).針對這3 種類型系統(tǒng),本文分別研究了空間周期性驅(qū)動的強度w0和波數(shù)kF對斑圖形成的影響.為了簡便起見,不作特殊說明時,設(shè)置長波模的波數(shù)為 0.2,短波模的波數(shù)為 0.4.

圖1 不同圖靈模類型的雙層耦合系統(tǒng)的色散關(guān)系圖 (a) 類型I (,α=0.1);(b) 類 型II (,α=0.1);(c) 類 型III (,α=0.1)Fig.1.Dispersion curves of two-layer coupled systems with different Turing mode types:(a) Type I (,α=0.1); (b) type II (,α=0.1); (c) type III(,α=0.1).

3 結(jié)果與討論

3.1 類型I 耦合模式下外界驅(qū)動的強度和波數(shù)對斑圖的影響

圖2 研究了類型I 圖靈模式下外界驅(qū)動強度對斑圖的影響.設(shè)置k1=0.2,kC=0.4,kF=0.1 不變,此時子系統(tǒng)LE 的本征模式為次臨界短波模,研究驅(qū)動強度對LE 子系統(tǒng)中斑圖的影響.當沒有外界驅(qū)動,即w0=0 時,LE 子系統(tǒng)自發(fā)形成白眼超六邊形斑圖(圖2(a)),其中心有一個較高濃度的斑點,該斑點被一個低濃度環(huán)包圍,外圍排列著6 個高濃度的亮點,整體也呈現(xiàn)六邊形陣列結(jié)構(gòu).由其傅里葉頻譜圖得出,該超六邊形斑圖具有兩個空間尺度,分別為k1和kC,表明在類型I 耦合形式下,次臨界圖靈模kC在k1的作用下已經(jīng)被激發(fā).該結(jié)果與其他雙層耦合模型中獲得的斑圖一致[37,38].此時給系統(tǒng)LE 施加一個波長較大的空間周期性驅(qū)動,當驅(qū)動強度很小,即w0=0.1 時,LE 子系統(tǒng)形成雪花斑圖I (圖2(b)).根據(jù)其傅里葉頻譜圖得出該斑圖由3 套不同波數(shù)的模式組成,分別是波長最小的kC、波長較大的k1及波長最大的外加驅(qū)動kF,但是強度最強的是模式k1,最弱的是本征模式kC,這3 種模式強度相當.除此以外,模式k1和kC相互作用產(chǎn)生了新模式q,其強度弱于其他模式,3 個模式之間滿足三波共振關(guān)系,即k1+kC=q.新模式q具有兩套不同方向的六邊形結(jié)構(gòu),通過幾何關(guān)系可知,此兩套六邊形之間的夾角為θ=21.8°.這些模式共同相互作用從而形成了一個具有3 種空間尺度的超六邊形點陣斑圖.驅(qū)動模式kF的強度隨著驅(qū)動強度的增加而增強,并成為最主要的模式.當w0=0.5 和 1.0 時,子系統(tǒng)LE 形成了菱形網(wǎng)格斑圖I (圖2(c))和II (圖2(d)),該斑圖的本征波長與外部驅(qū)動的波長相同.分析它們對應的傅里葉頻譜圖發(fā)現(xiàn),w0增加時,子系統(tǒng)LE 中模式k1的相對強度稍微有所減弱,但其本征模式kC仍在增強.這是因為外部驅(qū)動直接作用于LE 子系統(tǒng),作為驅(qū)動模式kF的高階諧波,本征模式kC也隨之增強.

圖2 類型I 下不同驅(qū)動強度的圖靈斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 超六邊形斑圖,w0=0;(b) 雪花斑圖I,w0=0.1 ;(c) 菱形網(wǎng)格 斑圖I,w0=0.5;(d) 菱形網(wǎng)格斑圖II,w0=1.0(超臨界圖靈模 k1=0.2,次臨界本征模 kC=0.4,驅(qū)動的波數(shù) kF=0.1;N=256,Δx=Δy=1)Fig.2.Patterns and Fourier spectrum with different forcing intensity in type I:(a) Super-hexagon pattern,w0=0 ;(b) snowflake pattern I,w0=0.1;(c) rhombus mash pattern I,w0=0.5;(d) rhombus mash pattern II,w0=1.0 (Supercritical Turing mode k1=0.2,subcritical eigenmode kC=0.4 ,wavenumber of forcing kF=0.1 ; N=256 ,Δx=Δy=1).

圖3 分析了空間驅(qū)動波數(shù)對斑圖的影響,仍保持k1=0.2,kC=0.4 不變,且固定驅(qū)動強度,w0=0.1,逐步改變外加驅(qū)動的波數(shù)kF.當kF=0.2 時,子系統(tǒng)LE 形成的是超六邊形斑圖(圖3(a)),該斑圖由6 個高濃度的線狀亮點包圍一個暗點構(gòu)成.對比圖2(a)可以發(fā)現(xiàn),當kF=k1時,斑圖內(nèi)部長波模的強度得到疊加,遠高于kC的強度,導致子系統(tǒng)LE的斑圖選擇發(fā)生變化.當kF=0.4 時,子系統(tǒng)LE 形成的是簡單六邊形蜂窩斑圖(圖3(b)).對比圖2(a)可以發(fā)現(xiàn),kF=kC時,系統(tǒng)內(nèi)部本征模的強度得到疊加,遠高于k1的強度,因此,LE 子系統(tǒng)的斑圖選擇再次發(fā)生變化.當kF=0.6 時,系統(tǒng)LE 形成的是六邊形網(wǎng)格斑圖I (圖3(c)).當kF=0.8 時,系統(tǒng)LE 形成的是六邊形網(wǎng)格斑圖II (圖3(d)).對于后兩種斑圖,由于外部驅(qū)動的波數(shù)大于系統(tǒng)的本征模,使得它很難通過空間共振的方式激發(fā)本征模,因此六邊形網(wǎng)格斑圖主要是由模式k1和模式kF相互作用而成.

圖3 類型I 下不同驅(qū)動波數(shù)的斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 超六邊形斑圖,kF=0.2;(b) 簡單六邊形蜂窩斑圖,kF=0.4 ;(c) 六邊形網(wǎng)格斑圖I,kF=0.6;(d) 六邊形網(wǎng)格斑圖II,kF=0.8(超臨界圖靈模 k1=0.2,次臨界本征模 kC=0.4,驅(qū)動的強度恒為 w0=0.1,N=256,Δx=Δy=1)Fig.3.Patterns and Fourier spectrum with different forcing wavenumber in type I:(a) Super-hexagon pattern,kF=0.2;(b) simple hexagonal honeycomb pattern,kF=0.4;(c) hexagonal mash pattern I,kF=0.6;(d) hexagonal mash pattern II,kF=0.8 (Supercritical Turing mode k1=0.2,subcritical eigenmode kC=0.4,forcing intensity w0=0.1,N=256,Δx=Δy=1).

為了對比研究外部驅(qū)動模式與Bru 系統(tǒng)圖靈模式對LE 系統(tǒng)本征模的影響,將兩者的波數(shù)置換,即令k1=0.1 ,kF=0.2,同時保持kC=0.4,此時系統(tǒng)的色散關(guān)系如圖4(a)所示.圖4(b)—(e)給出了不同驅(qū)動強度下獲得的各種斑圖.未加外加驅(qū)動,即w0=0 時,系統(tǒng)LE 形成的簡單六邊形蜂窩斑圖(圖4(b))是由系統(tǒng)Bru 的失穩(wěn)模調(diào)制形成,從其傅里葉變換頻譜可以看出斑圖只有k1一套結(jié)構(gòu).這是因為k1:kC=1:4,兩個模式之間不滿足空間共振關(guān)系,因此kC并沒有被激發(fā).當驅(qū)動強度w0=0.1時,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)LE 呈現(xiàn)雪花斑圖II (圖4(c)).根據(jù)其傅里葉頻譜圖得出該斑圖僅由兩套不同波長的模組成,即k1和kF,由于外部驅(qū)動太弱,本征模kC依然沒有被激發(fā).繼續(xù)增加驅(qū)動強度,當w0=0.6時,kC被激發(fā),盡管系統(tǒng)LE 呈現(xiàn)簡單六邊形蜂窩斑圖(圖4(d)),但是其對應的傅里葉頻譜圖顯示該斑圖具有3 個空間尺度.當w0=1.0 時,此時kF的貢獻最大,其次是本征模kC,它們滿足空間共振關(guān)系,系統(tǒng)LE 表現(xiàn)為六邊形白眼斑圖(圖4(e)).這就意味著無論是不同層之間的內(nèi)部作用還是外部直接驅(qū)動,當滿足空間共振關(guān)系時,都可以激發(fā)次臨界圖靈模kC,從而形成超點陣斑圖.不同的是,達到相同效果所需要的外部驅(qū)動強度要比層間相互耦合強度要強.

圖4 波數(shù)反轉(zhuǎn)后不同驅(qū)動強度下的斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 色散關(guān)系圖(k1 :kC=1:4,=195,=510,=6.6,=81,α=0.1);(b) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0;(c) 雪花斑圖II,w0=0.1;(d) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0.6;(e) 六邊形白眼斑圖,w0=1.0(驅(qū)動的波數(shù) kF=0.2;N=256,Δx=Δy=1)Fig.4.Patterns and Fourier spectrum of different forcing intensity after wavenumber inversion:(a) Dispersion curve (k1:kC=1:4,=195,=510,=6.6,=81,α=0.1);(b) simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0;(c) snowflake pattern II,w0=0.1;(d) simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0.6;(e) hexagonal white-eye pattern,w0=1.0(Wavenumber of forcing kF=0.2,N=256,Δx=Δy=1).

3.2 類型II 耦合模式下外加驅(qū)動對斑圖的影響

研究表明,波數(shù)大小在模式相互作用過程中起著非常關(guān)鍵的作用.一般來說,只有長波模式才能激發(fā)短波模式.3.1 節(jié)討論了超臨界長波模與次臨界短波模的耦合系統(tǒng)情況,本小節(jié)研究超臨界短波模與次臨界長波模耦合系統(tǒng)中外部驅(qū)動對斑圖的影響.為了對比研究驅(qū)動波數(shù)的影響,分為短波驅(qū)動和長波驅(qū)動兩種情況來討論.

首先,對于短波驅(qū)動的情況,保持k1=0.4,kC=0.2 不變,令kF=0.8,在不同外界驅(qū)動強度下,子系統(tǒng)LE 中產(chǎn)生的斑圖如圖5 所示.當w0=0 時,系統(tǒng)LE 自發(fā)形成了簡單六邊形蜂窩斑圖(圖5(a)),該斑圖完全是由子系統(tǒng) Bru 的失穩(wěn)模調(diào)制形成.正如其傅里葉頻譜圖所示,該斑圖只有一種空間模式k1.當驅(qū)動強度很弱,即w0=0.1 時,系統(tǒng)LE 仍表現(xiàn)為簡單的蜂窩六邊形(圖5(b)),但是根據(jù)其傅里葉頻譜圖可以看出,該簡單蜂窩六邊形由k1和kF兩套結(jié)構(gòu)組成,由于驅(qū)動強度較小,所以k1占主導位置,因此斑圖形狀變化不明顯.繼續(xù)增加驅(qū)動強度,當w0=0.5 時,模式k1的強度只是稍大于模式kF,系統(tǒng)LE 形成六邊形花瓣斑圖I (圖5(c)),即模式kF對原斑圖具有很明顯的調(diào)制作用.當w0=1.0 時,模式kF的強度與k1相同,六邊形花瓣斑圖I 轉(zhuǎn)變?yōu)榱肆呅位ò臧邎DII (圖5(d)).值得說明的是,在整個過程中,kC始終未被激發(fā).這意味著無論短波模是內(nèi)部產(chǎn)生還是外部施加,都無法激發(fā)出次臨界長波模kC.上述結(jié)果表明僅僅是外部模式之間的相互作用,也可以在系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生多尺度時空斑圖.

圖5 類型II 下不同短波驅(qū)動強度的斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0;(b) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0.1;(c) 六邊形花瓣斑圖I,w0=0.5;(d) 六邊形花瓣斑圖II,w0=1.0(超臨界圖靈模 k1=0.4,次臨界本征模 kC=0.2,驅(qū)動的波數(shù) kF=0.8,N=128,Δx=Δy=0.5)Fig.5.Patterns and Fourier spectrum of different short-wave forcing intensity in type II:(a) Simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0;(b) simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0.1;(c) hexagonal petal pattern pattern I,w0=0.5 ;(d) hexagonal petal pattern pattern II; w0=1.0(Supercritical Turing mode k1=0.4,subcritical eigenmode kC=0.2,wavenumber of forcing kF=0.8,N=128,Δx=Δy=0.5).

接下來討論長波外部驅(qū)動對類型II 系統(tǒng)斑圖的影響.依然保持k1=0.4,kC=0.2 不變,取kF=0.1.由于長波的空間尺度較大,這里取系統(tǒng)的尺度為 256×256.無驅(qū)動時,系統(tǒng)LE 依然形成的是簡單六邊形蜂窩斑圖(圖6(a)).當驅(qū)動強度w0=0.1 時,蜂窩六邊形的空間分布受到驅(qū)動kF的調(diào)制使得其強度分布呈現(xiàn)周期性分布(圖6(b)),調(diào)制波長與外加驅(qū)動波長相等.通過其傅里葉頻譜圖可知,kF的強度幾乎是k1模式的兩倍,即模式kF起主導作用.繼續(xù)增加外加驅(qū)動的強度至w0=0.6,此時子系統(tǒng)LE 的本征模kC被激發(fā),且其強度稍高于模式k1,3 個模式之間相互作用,形成了六邊形蜂窩斑圖,如圖6(c)所示.當w0=1.0時,受到kF的激發(fā)作用,kC和k1的強度均有所增加,子系統(tǒng)LE 中形成了明顯具有3 個空間尺度的黑眼六邊形蜂窩斑圖(圖6(d)),該斑圖與類型I 中的六邊形網(wǎng)格斑圖II 類似(圖3(d)).

圖6 類型II 下不同長波驅(qū)動強度的斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0;(b) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0.1;(c) 六邊形蜂窩斑圖,w0=0.6;(d) 黑眼六邊形蜂窩斑圖,w0=1.0(超臨界圖靈模 k1=0.4,次臨界本征模 kC=0.2,驅(qū)動的波數(shù) kF=0.1,N=256,Δx=Δy=1)Fig.6.Patterns and Fourier spectrum of different long-wave forcing intensity in type II:(a) Simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0;(b) simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0.1;(c) hexagonal honeycomb pattern,w0=0.6;(d) black-eye hexagonal honeycomb pattern,w0=1.0(Supercritical Turing mode k1=0.4,subcritical eigenmode kC=0.2,wavenumber of forcing kF=0.1,N=256,Δx=Δy=1).

3.3 類型III 耦合形式下外加驅(qū)動對斑圖形成的影響

接下來研究兩個超臨界圖靈模作用的情況.首先固定驅(qū)動波數(shù)kF=0.1 不變,驅(qū)動強度對子系統(tǒng)LE 斑圖的影響如圖7 所示.這里依然選擇k1=0.2,kC=0.4.此時子系統(tǒng)LE 的本征模式為超臨界短波模.w0=0,即不加周期性空間驅(qū)動時,系統(tǒng)自發(fā)產(chǎn)生的是簡單六邊形蜂窩斑圖(圖7(a)).盡管子系統(tǒng)Bru 中的圖靈模是一個失穩(wěn)模,但是它對LE層斑圖的影響非常小,在其傅里葉變換頻譜僅僅能夠看到強度非常弱的k1.

當驅(qū)動強度較小,即w0=0.1 時,系統(tǒng)LE 仍表現(xiàn)為簡單的蜂窩六邊形(圖7(b)),盡管從其傅里葉頻譜圖可以看出該斑圖包含k1,kC和kF三種成分,但由于外加驅(qū)動的影響相對較弱,對斑圖的形狀影響并不明顯.繼續(xù)增加外加驅(qū)動的強度至w0=0.5,蜂窩六邊形開始受到外部驅(qū)動的調(diào)制,如圖7(c)所示,在調(diào)制部分開始出現(xiàn)條紋斑圖.當驅(qū)動強度足夠強(w0=1.0)時,子系統(tǒng)LE 形成了條紋和蜂窩六邊形共存的斑圖(圖7(d)).在驅(qū)動強度增大的過程中,k1的強度始終較弱,kF的強度在逐漸增強,并逐漸影響斑圖的周期性,最終改變其對稱性.

圖7 類型III 下不同驅(qū)動強度的斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0;(b) 簡單六邊形蜂窩斑圖,w0=0.1;(c) 調(diào)制蜂窩斑 圖,w0=0.5;(d) 條紋與蜂窩六邊形共存斑圖,w0=1.0(超臨界圖靈模 k1=0.2,超臨界圖 靈模kC=0.4,驅(qū)動的波數(shù) kF=0.1;N=128,Δx=Δy=1)Fig.7.Patterns and Fourier spectrum with different forcing intensity in type III:(a) Simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0;(b) simple hexagonal honeycomb pattern,w0=0.1;(c) modulated honeycomb pattern,w0=0.5;(d) coexistence of stripe and honeycomb hexagon,w0=1.0(Supercritical Turing mode k1=0.2,supercritical Turing mode kC=0.4,wavenumber of forcing kF=0.1,N=128,Δx=Δy=1).

由于空間驅(qū)動只有在強驅(qū)動強度下才對斑圖有作用,因此下面研究強驅(qū)動強度下不同驅(qū)動波數(shù)對斑圖的影響.固定驅(qū)動強度w0=1.0,并依然保持k1和kC不變,獲得的結(jié)果如圖8 所示.當kF=0.2時,子系統(tǒng)LE 形成的是點和線共存的不規(guī)則復雜斑圖(圖8(a)).此斑圖對應的傅里葉頻譜圖中包含一個尺度為kF=k1的六邊形點陣以及一個尺度為kC的圓環(huán),且兩者的強度幾乎相同.由于外部驅(qū)動kF和內(nèi)部驅(qū)動模式k1波數(shù)相同,因此兩者共振疊加,形成了六邊形結(jié)構(gòu).而對于本征模kC,強驅(qū)動改變了其對稱性,從原來的六邊形轉(zhuǎn)變?yōu)榱藯l紋斑圖,同時其空間取向具有隨機性,因而形成了方向各異的條紋結(jié)構(gòu).當kF=0.4 時,子系統(tǒng)LE形成的是簡單六邊形蜂窩斑圖(圖8(b)),這是由于此時kF=kC,本征模kC的強度共振疊加,遠高于k1的強度,斑圖只表現(xiàn)為kF=kC的空間尺度.當kF=0.6時,系統(tǒng)LE 形成的也是簡單六邊形蜂窩斑圖(圖8(c)),斑圖的空間尺度與外加驅(qū)動一致,此時外加驅(qū)動對斑圖的調(diào)控占主導作用.當kF=0.8 時,系統(tǒng)LE 中呈現(xiàn)具有本征波數(shù)kC的條紋斑圖(圖8(d)),也就是說在外部驅(qū)動作用下斑圖打破了原本六邊形的空間對稱性,轉(zhuǎn)變?yōu)榱藯l紋斑圖.

圖8 類型III 下不同驅(qū)動波數(shù)的斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 復雜斑圖,kF=0.2;(b) 簡單六邊形蜂窩斑圖,kF=0.4;(c) 簡單六邊形蜂窩斑圖,kF=0.6;(d) 條紋斑圖,kF=0.8(超臨界圖靈模 k1=0.2,超臨界圖靈模 kC=0.4,驅(qū)動的強度固定為w0=1.0,N=128,Δx=Δy=1)Fig.8.Patterns and Fourier spectrum with different forcing wavenumber in type III:(a) Complex pattern,kF=0.2;(b) simple hexagonal honeycomb pattern,kF=0.4;(c) simple hexagonal honeycomb pattern,kF=0.6;(d) stripe pattern,kF=0.8 (Supercritical Turing mode k1=0.2,supercritical Turing mode kC=0.4 ,forcing intensity w0=1.0,N=128,Δx=Δy=1).

與前兩種類型不同,類型III 中LE 系統(tǒng)的本征模是一個失穩(wěn)模,能夠自發(fā)形成六邊形斑圖,該斑圖只有在外部驅(qū)動強度較大的情況下才能夠?qū)︱?qū)動產(chǎn)生響應,且隨著外加驅(qū)動波數(shù)的改變,空間對稱性也發(fā)生了改變.

4 結(jié)論

本文通過耦合兩個不同的反應擴散系統(tǒng),即Bru 系統(tǒng)和 LE 系統(tǒng),并給其中的LE 系統(tǒng)施加一個空間周期性外部驅(qū)動,研究了周期性空間驅(qū)動對雙層耦合系統(tǒng)斑圖形成的影響.保持Bru 系統(tǒng)中的圖靈模為超臨界模,根據(jù)LE 子系統(tǒng)圖靈模的性質(zhì)不同,將耦合系統(tǒng)分成了3 種類型,它們在外部空間驅(qū)動作用下的行為有很大不同.

1)當LE 子系統(tǒng)中的圖靈模為次臨界短波模時,系統(tǒng)自發(fā)形成雙尺度的白眼超六邊形斑圖.在周期性外部驅(qū)動作用下,超臨界圖靈模和次臨界圖靈模以及驅(qū)動模三者共同作用,可以形成具有3 個空間尺度的復雜斑圖.驅(qū)動強度和驅(qū)動波數(shù)對斑圖類型的選擇影響很大.研究發(fā)現(xiàn)不論是內(nèi)部作用還是外部直接驅(qū)動,當滿足空間共振關(guān)系時,都可以激發(fā)次臨界圖靈模kC,從而形成超點陣斑圖,但是達到相同效果所需要的外部驅(qū)動強度要比層間相互耦合強度要強.

2)當LE 子系統(tǒng)中的圖靈模為次臨界長波模時,系統(tǒng)僅僅受到Bru 層圖靈短波模的調(diào)制而形成微弱的簡單的六邊形斑圖.當外部驅(qū)動也為短波模時,只有兩個短波模之間相互作用,無法激發(fā)次臨界長波本征模.而當外部驅(qū)動為長波模時,LE系統(tǒng)中的次臨界本征模被激發(fā),3 個模式之間可以共同作用而形成3 個尺度的超點陣斑圖.

3)當LE 子系統(tǒng)中的圖靈模為超臨界圖靈模時,系統(tǒng)自發(fā)形成由本征模構(gòu)成的簡單六邊形斑圖,此時Bru 層中的圖靈模以及弱外部驅(qū)動模僅僅起到一個非常微弱的調(diào)制作用.只有在外部驅(qū)動強度較大的情況下才能夠?qū)ο到y(tǒng)的斑圖產(chǎn)生影響,且隨著外加驅(qū)動波數(shù)的改變,原來的空間對稱性被打破,斑圖類型從六邊形斑圖轉(zhuǎn)變成了條紋斑圖.