趙少卿，崔 巖，王春娥，王申鵬，盧晨輝

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

隨著對混沌電路系統(tǒng)研究的不斷深入，新型混沌電路系統(tǒng)的建立和發(fā)展變得尤為重要[1-4]。電氣設(shè)備中含有記憶功能的元器件因其豐富的非線性特性，被廣泛地用于混沌電路結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，含有憶阻元件的混沌電路模型的建立與分析也是近幾年混沌電路領(lǐng)域的一個(gè)新興發(fā)展方向。文獻(xiàn)[5]首次在Chua電路中用分段線性憶阻器代替Chua電路中的二極管，實(shí)現(xiàn)了含憶阻器的混沌電路設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[6]基于文氏橋電路，通過元器件替換，設(shè)計(jì)了一種含憶阻器的超混沌電路系統(tǒng)，并展現(xiàn)出豐富的混沌特性。但是早期學(xué)者對含有憶阻器電路系統(tǒng)的研究僅是基于原有的經(jīng)典電路系統(tǒng)[7-8]。直到2019年，文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一種新型的基于記憶電阻-記憶電容的混沌電路系統(tǒng)。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于記憶電阻的、具有多重穩(wěn)定性的混沌電路系統(tǒng)。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了一種含荷控記憶電容的混沌電路系統(tǒng)。然而，上述簡單電路系統(tǒng)只包含一個(gè)存儲記憶元件，目前關(guān)于含多個(gè)記憶元件的混沌電路的研究較少，特別是包含不同種類記憶元件的混沌電路系統(tǒng)。本文提出了一種兼容串、并聯(lián)電路的含混沌電路系統(tǒng)，即憶阻和憶感的串聯(lián)電路與憶阻和憶電容組成的并聯(lián)電路。該電路模型結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)，且具有7種不同的吸引子形態(tài)，能夠較好地展現(xiàn)混沌系統(tǒng)所具有的非線性特性，不論是對含記憶元件的混沌電路特性分析還是對系統(tǒng)所具有的混沌特性加以運(yùn)用，都具有廣闊的應(yīng)用場景。本文以所建立的簡單混沌電路模型為基礎(chǔ)，通過對不同種吸引子形態(tài)的選用，生成對應(yīng)混沌條件下的混沌序列，完成對圖像的加密工作。

量子隨機(jī)行走在加密通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[12-16]，特別是圖像加密、圖像處理方向更是受到研究者的重視[17-18]。量子加密技術(shù)相比于傳統(tǒng)的加密技術(shù)具有加密速度快[19]、加密效果好[20]等優(yōu)勢。量子隨機(jī)行走方法源于經(jīng)典的隨機(jī)行走，于1993年由Aharonov等學(xué)者提出，后又將其細(xì)分為離散量子行走和連續(xù)量子行走。本文主要研究的是離散量子隨機(jī)行走算法，并在混沌置亂加密的基礎(chǔ)上，根據(jù)其生成的隨機(jī)概率分布矩陣進(jìn)一步完成對圖像的置亂。

1 含記憶元件的混沌電路系統(tǒng)建立

Chua所定義的憶阻器模型能夠描述為[21]：

(1)

其中：x為憶阻器的輸出；y為憶阻器的輸入，為憶阻器的狀態(tài)； G(.)、H(.)則對應(yīng)不同種類的記憶元件?；谑?1)所述的模型，本文設(shè)計(jì)了一類含有兩個(gè)憶阻元件的簡單電路，一種是基于記憶電阻和記憶電感的串聯(lián)電流控制電路(見圖1a)，另一種是基于記憶電阻和記憶電容的并聯(lián)壓控電路(見圖1b)，如圖1所示。

(a) 含記憶電阻和記憶電感的串聯(lián)電流控制電路 (b) 含記憶電阻和記憶電容的并聯(lián)壓控電路

圖1中：LM和CM分別為記憶電感和記憶電容；M為記憶電阻。LM(CM)和M在同一個(gè)電路系統(tǒng)方程中以G(.)和H(.)表示。通過分析圖1中含記憶元件的串并聯(lián)電路，能夠得出式(2)所示的混沌方程：

(2)

在式(2)中，G(.)和H(.)由式(1)定義，C(u)由式(3)所定義[22]：

(3)

(4)

(5)

令式(5)中的參數(shù)a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4,β=1，改變參數(shù)d,r,α的值能夠得到7種不同類型的吸引子形態(tài)，每種混沌吸引子在一定的初始條件下都能得到4組不同的混沌序列，為后續(xù)的圖像加密算法的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。表1計(jì)算并給出了7種不同吸引子所對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)、李雅普諾夫指數(shù)及分形維數(shù)。

表1 7種不同吸引子所對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)、李雅普諾夫指數(shù)及分形維數(shù)

2 加密算法的提出

2.1 量子隨機(jī)行走

本文所研究的量子隨機(jī)行走方式為離散隨機(jī)行走，可以表示為：

H=Hw?Hc；

(6)

(7)

Si|x〉=|x+(-1)c〉，

(8)

其中：c=0,1。式(8)可以理解為：當(dāng)投擲狀態(tài)為|0〉(|1〉)時(shí)，量子行走者向右(左)一個(gè)單位。本文研究量子行走者在x,y兩個(gè)方向上的隨機(jī)行走狀態(tài)，可以表示為：

(9)

|ψ0〉=|φ0〉w?(cosα|0〉+sinα|1〉)c。

(10)

行走N步后，系統(tǒng)狀態(tài)可以表示為：

(11)

量子行走者出現(xiàn)在某一坐標(biāo)點(diǎn)(xxyy)的概率[21]為：

(12)

2.2 加密過程

以三色(red green blue，RGB)圖為例，簡要說明所提出算法的加密步驟。

步驟1：讀入圖片矩陣P，將圖片的R、G、B這3個(gè)顏色分量分離成3個(gè)M×N矩陣(M，N為圖片大小)，記為P-R，P-G，P-B。

步驟2：在所建立混沌電路系統(tǒng)的7種混沌吸引子模型中(共28個(gè)混沌序列)，通過一維量子隨機(jī)行走方法，隨機(jī)選擇3個(gè)，用于圖像加密的混沌序列，通過龍格-庫塔方法對序列進(jìn)行迭代，使序列長度達(dá)到2×M×N,并將獲得的混沌序列結(jié)果處理使其取值范圍為[0,255]，最后將其分為等長的兩部分，分別記為S1，S2，S3和S11，S22,S33。

步驟3：用Arnold方法對原圖像P-R，P-G，P-B進(jìn)行置亂操作，同時(shí)將置亂后的3個(gè)置亂矩陣同S1，S2，S3進(jìn)行正向擴(kuò)散，正向擴(kuò)散結(jié)果保存為B1，B2，B3，然后將B1，B2，B3同S11，S22，S33進(jìn)行逆向擴(kuò)散，將結(jié)果保存為B11，B22，B33。

步驟4：確定了量子行走系統(tǒng)參數(shù)N，α，β后，通過在x,y方向上的量子隨機(jī)行走，生成隨機(jī)概率分布矩陣P，同時(shí)將其大小調(diào)整為P1：

P1=resize(P,[mn])。

(13)

通過式(14)將P1內(nèi)部元素的大小固定在[0,255]內(nèi)，并得到P2：

k=fix(ReP1×1012)mod256。

(14)

步驟4：將P2中元素降序排列得到檢索向量V，通過向量完成對B11，B22，B33的置亂重排、生成，最后將C11,C22,C33合并輸出，得到圖像加密后的密文矩陣C。

3 仿真與計(jì)算結(jié)果分析

(a) Lena(原圖) (b) Baboon(原圖)

(c) Lena(密文) (d) Baboon(密文)

3.1 直方圖分析

圖像的直方圖可直觀地說明圖像像素矩陣中各個(gè)顏色分量(R、G、B通道)的灰度值分布狀態(tài)。為了抵御破譯者的明文攻擊，密文圖像的直方圖必須是均勻的，且和加密前圖像(明文圖像)的直方圖有較大的區(qū)別。圖3為圖像R通道的直方圖分析結(jié)果，其中，圖3a和圖3b分別為明文圖像R通道的直方圖分析結(jié)果；圖3c和圖3d分別為密文圖像R通道的直方圖分析結(jié)果。由圖3可知：相比明文圖像，密文直方圖更均勻，無法從密文圖像本身的灰度信息與已知明文的統(tǒng)計(jì)規(guī)律相比較，因此很難對密文進(jìn)行破譯，從而認(rèn)為本文所提出的加密算法具有抵御統(tǒng)計(jì)分析攻擊的能力。

(a) Lena明文圖像R通道的直方圖分析結(jié)果 (b) Baboon明文圖像R通道的直方圖分析結(jié)果

(c) Lena密文圖像R通道的直方圖分析結(jié)果 (d) Baboon密文圖像R通道的直方圖分析結(jié)果

3.2 信息熵與加密質(zhì)量分析

信息熵用來描述圖片的復(fù)雜性，是度量信息隨機(jī)性的一類重要指標(biāo)，對于強(qiáng)度在0～255的RGB彩色圖像，信息熵的理想值為8。圖像的加密質(zhì)量(encryption quality，EQ)定義如式(16)所示，對于大小為512 pixels×512 pixels的圖片，EQ的最大值為1 024。

(15)

(16)

表2 密文信息熵分析

其中：xi為某一顏色通道中的某一灰度值；P(xi)為xi在該顏色通道中的比例；HL(E)和HL(I)分別為灰度級L在密文圖像和明文圖像中出現(xiàn)的次數(shù)。表2和表3分別計(jì)算得到了圖片經(jīng)過本文所述加密算法前后信息熵的對比和圖像的加密質(zhì)量(EQ值)，分析數(shù)據(jù)不難認(rèn)為：本文所述加密算法能夠?qū)崿F(xiàn)對圖像的加密且加密效果較好。

表3 密文加密質(zhì)量分析(EQ值)

3.3 相鄰像素相關(guān)性分析

圖片的相關(guān)性分析指的是分析圖片像素之間的相關(guān)聯(lián)程度。為了避免因少量像素點(diǎn)信息的泄露而導(dǎo)致的對密文圖像進(jìn)行破譯，相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性需降至最小，一般明文圖像的像素相關(guān)性在1附近，且應(yīng)使得加密后的密文圖像像素相關(guān)性趨近于0。相鄰像素相關(guān)性的計(jì)算公式為：

(17)

表4 Lena明文圖像的相鄰像素相關(guān)性分析

表5 Lena密文圖像的相鄰像素相關(guān)性分析

(a) Lena明文圖像R通道的相鄰像素相關(guān)性分析 (b) Lena密文圖像R通道的相鄰像素相關(guān)性分析

通過對表4、表5及圖4的分析不難得出：相比于明文圖像，密文圖像的像素分布毫無規(guī)律，且分布均勻，使得密文的破譯很難從密文像素的排列規(guī)律入手。因此，可以認(rèn)為該加密算法有效地加強(qiáng)了密文圖像的復(fù)雜性。

4 結(jié)論

本文根據(jù)記憶元件的混沌特性建立了一種含多個(gè)記憶元件的簡單電路系統(tǒng)，并以此系統(tǒng)為基礎(chǔ)提出了一種高安全性的圖像加密算法。首先，基于一維量子隨機(jī)行走，選擇混沌電路吸引子模型中的任意混沌序列作為加密基礎(chǔ)；然后，通過二維量子隨機(jī)行走方法生成隨機(jī)概率矩陣，進(jìn)一步完成對圖像的加密。通過Lena、Baboon圖驗(yàn)證了加密方法的有效性，并通過圖像直方圖、圖像信息熵、加密質(zhì)量、圖像相鄰像素相關(guān)性分析等方法驗(yàn)證了本文所述加密算法的安全性。本文所做的研究完善了電路混沌系統(tǒng)在通信加密領(lǐng)域中的應(yīng)用，并將其與量子隨機(jī)行走方法相結(jié)合，增加了混沌系統(tǒng)在通信加密領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用優(yōu)勢。然而，經(jīng)過本文所述算法得到密文結(jié)果的加密質(zhì)量(EQ值)并不是3個(gè)通道均達(dá)到峰值，且密文的相鄰像素相關(guān)性均不為0(僅接近于0)，因此構(gòu)造一種基于混沌和量子隨機(jī)行走方法的、新型的、密文安全性更佳的圖像加密算法是后續(xù)研究的重點(diǎn)內(nèi)容。