吳國揚 陳紀(jì)韋華

方程是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，對方程的研究推動了整個代數(shù)學(xué)的發(fā)展，一元一次方程是最簡單的代數(shù)方程，也是所有代數(shù)方程的基礎(chǔ)，在小學(xué)階段，用算數(shù)方法解應(yīng)用題是數(shù)學(xué)課的重要內(nèi)容，也學(xué)習(xí)了簡單方程的內(nèi)容，對方程有了初步的認(rèn)識，會用方程表示簡單情境問題中的數(shù)量關(guān)系，會解簡單的方程，已經(jīng)歷了入門階段，七年級《一元一次方程》這一章內(nèi)容，承接課標(biāo)中第二學(xué)段的簡易方程，對后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)二元一次方程、不等式、分式方程、一元二次方程等更為復(fù)雜的方程不等式以及整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有至關(guān)重要的基礎(chǔ)性作用，其中涉及的方程思想、數(shù)學(xué)建模、閱讀能力、數(shù)學(xué)運算、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法素養(yǎng)對一個人的影響又要大于具體的數(shù)學(xué)知識，而且數(shù)學(xué)思想方法素養(yǎng)的培養(yǎng)與感悟有助于學(xué)生從整體上認(rèn)識問題的本質(zhì).因此方程及其預(yù)備知識（整式的加減）應(yīng)該作為七年級的核心內(nèi)容.

1問題的由來

“勢如破竹，數(shù)節(jié)之后，皆迎刃而解”，《一元一次方程》章節(jié)起始課該如何設(shè)計，如何高立意、新立意？學(xué)生將面對的問題和困難在哪里，如何突破？只有對學(xué)情進(jìn)行客觀的分析，才能明確地認(rèn)識到教什么，就本章而言，教學(xué)設(shè)計的著落點應(yīng)該在于有意識讓學(xué)生體會從算術(shù)方法到方程思想的承接與差異，有意識讓學(xué)生體會“從算術(shù)到方程是數(shù)學(xué)的進(jìn)步”，真正理解方程的數(shù)學(xué)本質(zhì)，做好從算術(shù)到代數(shù)的過渡.

2 學(xué)生從算術(shù)方法到方程思想過渡時的疑難分析

“方程的出現(xiàn)明顯地使代數(shù)方法超越了古老的算術(shù)方法”，從數(shù)學(xué)應(yīng)用價值上看，通過對貼近實際生活的問題探究，突出方程模型應(yīng)用的廣泛性、有效性和普適性，在更高層次上提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，創(chuàng)新精神和實踐意識;從數(shù)學(xué)教育價值上看，方程思想是代數(shù)素養(yǎng)中重要的一個核心內(nèi)容，其中包括符號意識、用字母代替數(shù)（文字語言、符號言語、圖形語言之間互譯）、數(shù)學(xué)運算（代數(shù)結(jié)構(gòu)恒等變形、化歸與轉(zhuǎn)化）、模型化思想等，然而在平時教學(xué)時，我們發(fā)現(xiàn)七年級新生對方程的接受是比較緩慢、不適應(yīng)的，以下題為例：

例1（雞兔同籠）雞兔同籠，共有35個頭，94只腳，問雞兔各有幾只？

解法1（算術(shù)解）假設(shè)所有的35只都是雞，那么共有35x2=70只腳，而實際上有94只腳，那么多出來的94-70= 24只腳，就是因為每只雞比兔子少了2只腳，因此兔子的數(shù)量為（94- 70）÷2 =12只，雞的數(shù)量為35-12= 23只，

解法2（抬腳法）假如雞和兔子都抬起兩只腳，還剩下94-35x2= 24只腳，那么剩下的腳是兔子的腳，而且這時每只兔子有兩只腳在地上，因此兔子的數(shù)量有24÷2 =12只，那么雞的數(shù)量為35-12= 23只.抬腳法的實質(zhì)是解二元一次方程組的過程，

解法3 （方程解）設(shè)雞有x只，那么兔子有（35 -x）只，則依據(jù)題意有：2x+4（35 -x）= 94，解得：x= 23，故雞有23只，兔子有12只，

對于解法1，我們需要先假設(shè)，當(dāng)假設(shè)與己知發(fā)生矛盾時再糾正;對于解法2，需要對情況有清晰的理解;對于解法3，我們引入一個未知數(shù)x參與運算，由等量關(guān)系列出方程，再解方程，求出方程中未知量x的值，雖然學(xué)生在小學(xué)高年級也學(xué)習(xí)了簡單的列方程解應(yīng)用題，但對于本題，大部分學(xué)生仍然偏向于解法1，究其原因是綜合性的算術(shù)方法形成強(qiáng)烈的思維定勢，經(jīng)過長期潛移默化的訓(xùn)練給學(xué)生帶來了負(fù)遷移，學(xué)生潛意識里著重利用應(yīng)用題中的己知量（包括過程中求出的量），通過一系列程序性、特殊性、假設(shè)性、連續(xù)性的運算得出答案，此過程學(xué)生從算術(shù)方法到方程思想過渡時產(chǎn)生的疑難表現(xiàn)在：

（1）思維上的轉(zhuǎn)變

算術(shù)解法的思維過程相對復(fù)雜，大致上是以逆向思維為主，方程解法在思維上是一種正向思維，體現(xiàn)在對等號的理解，用算術(shù)解時，算式的功用是一種思考的記錄，書寫的順序是從左往右，所列算式在等號左邊，計算結(jié)果在等號右邊，等號的作用更像是箭頭的作用，是計算結(jié)果的標(biāo)記，算術(shù)解對等號的理解是單向的，是計算性的工具，而方程解對等號的理解更深一層，等號是左右兩邊相等，左右兩邊結(jié)構(gòu)對等，整個式子上升為代數(shù)結(jié)構(gòu)（等式），兩邊可以根據(jù)性質(zhì)運算，而且正是對等號的認(rèn)識不同，算術(shù)解中等號左右兩邊的思維量也是不對等，左邊的思維更復(fù)雜，在情境復(fù)雜的應(yīng)用題中，更不好理解，方程解中等號兩邊的思維量是對等的，對情境更復(fù)雜的問題，把思維量分擔(dān)到等號的左右兩邊，降低了思維過程的復(fù)雜性，

因此從思維層次來說，學(xué)生應(yīng)用算術(shù)解慣于逆向思考，慣于綜合性過程性思考問題，難以迅速體會，過渡到方程思想這一過程中，不習(xí)慣用字母表示量，缺乏符號意識，缺乏應(yīng)用分步分類的代數(shù)思維來降低思維量，分析性的代數(shù)思維亂且繁瑣.

（2）已知數(shù)和未知數(shù)的地位割裂開來

由于思維定勢的強(qiáng)烈作用，學(xué)生在解決應(yīng)用題時，特別關(guān)注已知數(shù)，總是通過“套模式”來“利用己知數(shù)列出算式”求得未知數(shù)，將己知數(shù)與未知數(shù)割裂，未知數(shù)無法參與運算，然而，己知數(shù)與未知數(shù)是相對而言的，數(shù)學(xué)是符號抽象的學(xué)科，數(shù)或式都是表示事物的量，已知數(shù)無非就是己知數(shù)的量，而未知數(shù)是暫時未知數(shù)的量，用字母表示待求而己，也正是由于認(rèn)識上的偏差，解應(yīng)用題時，執(zhí)著于算術(shù)解，甚至在硬性規(guī)定用方程時也只是表面的模仿，列出含x的算式而非等式方程，并非經(jīng)歷找等量關(guān)系列方程這種分析性的代數(shù)思維的過程.

（3）對解方程的步驟感到繁瑣

由于小學(xué)階段根深蒂固的算術(shù)思維，很多學(xué)生運用算術(shù)解的能力可以說是到了熟能生巧的地步，“題型+套路+技巧”學(xué)生解題程序倒背如流，例如題中的解法2，對于算術(shù)解每步的演算簡而快，認(rèn)為方程解需要“設(shè)、列、解、答”等主要步驟稍顯麻煩，對解方程小學(xué)高年級雖然有簡易方程的解，但是建立在等式性質(zhì)為基礎(chǔ)的解法，沒有形成系統(tǒng)化、程序化（去分母、去括號、移項、系數(shù)化為1）解方程，因此在起始階段學(xué)生對計算也是感覺陌生繁瑣，

基于以上的分析，學(xué)生對列方程解應(yīng)用題產(chǎn)生強(qiáng)烈的畏難情緒，容易造成屢試屢敗的情況，嚴(yán)重影響學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的信心和興趣，也是該學(xué)段教學(xué)的一個瓶頸.

3“《一元一次方程》章節(jié)起始課”的教學(xué)策略：一題雙解多法

方程思想的培養(yǎng)，代數(shù)核心素養(yǎng)的內(nèi)化不是一時半會能解決的，是伴隨著學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不斷深化，不斷升華的，“小處且莫輕縱過”，《一元一次方程》章節(jié)起始階段，不應(yīng)急于掌握方程的定義，基于學(xué)生小學(xué)方程學(xué)習(xí)的實際情況，教學(xué)時應(yīng)采取合適的策略，讓學(xué)生體會“從算數(shù)到方程是數(shù)學(xué)的進(jìn)步”，才有利于實現(xiàn)從算術(shù)方法到方程思想的平穩(wěn)過渡，基于人教版數(shù)學(xué)課本的例題，我們可以重組設(shè)計起始課的教學(xué)片段：

問題1一輛客車和一輛卡車同時從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h經(jīng)過B地.A，B兩地間的路程是多少？

師生活動：（1）引導(dǎo)學(xué)生審視問題，根據(jù)自己的解題經(jīng)驗用算術(shù)解和方程解解決問題： 算術(shù)解：1÷（1/60一1/70）= 42 km;

方程解：設(shè)4，B兩地間的路程為x km，根據(jù)題意，得x/60一x/70=1，解得x=42.

（2）請學(xué)生分別說明算術(shù)解和方程解的式子代表的含義，說說兩種方法的優(yōu)缺點;并探究方程解是否有其他解法，例如：x/60=1+x/70或x/60一1=x/70.

設(shè)計意圖比較兩種方法的優(yōu)缺點，并讓學(xué)生對代數(shù)思維從不了解到發(fā)現(xiàn)了解，

問題2 一臺計算機(jī)己使用1700h，預(yù)計每月再使用150h，經(jīng)過多少月這臺計算機(jī)的使用時間達(dá)到規(guī)定的檢修時間2450h？

問題3某校女生占全體學(xué)生數(shù)的52%，比男生多80人，這個學(xué)校有多少學(xué)生？

師生活動：（1）再一次引導(dǎo)學(xué)生從“一題雙解多法”角度解決問題：

問題2的算術(shù)解：2450 -1700= 750，750÷150=5月;

方程解：設(shè)經(jīng)過x月，根據(jù)題意得l700+150x=2450，解得x=5;或150x= 2450-1700.

問題3的算術(shù)解：1 - 52%= 48%，則80÷（52% -48%）= 2000人;

方程解：設(shè)這個學(xué)校有x名學(xué)生，根據(jù)題意，得52%X -（1 - 52%）x= 80，解得x=2000;或[52% - （l-52%）]x= 80.

（2）再一次對問題2、問題3辨析上述方法的優(yōu)劣，并著重考查學(xué)生對兩種方法的選擇順序，考查學(xué)生是否對方程思想優(yōu)越的認(rèn)識并帶入解題方法的選擇順序中.

設(shè)計意圖比較問題1，問題2，問題3三個情境，感受代數(shù)思維的分析性、順向性，算術(shù)思維的綜合性、連續(xù)性，

問題4把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本;如果每人分4本，則還缺25本，這個班有多少學(xué)生？

師生活動：（1）在復(fù)雜情境中，引導(dǎo)學(xué)生審視問題，從“一題雙解多法”角度解決問題：

算術(shù)解：20+25= 45，4-3=1，45÷1= 45名;

方程解：（法1）設(shè)這個班有x名學(xué)生，依題意得3x+20= 4x -25（對圖書數(shù)“算兩次”），解得x=45;

（法2）設(shè)共有圖書y本，則y-20/3=y+25/4（對 學(xué)生數(shù)“箅兩次”），解得y=155，則有45名學(xué)生.

（2）讓學(xué)生發(fā)表對方程法的優(yōu)越性的認(rèn)識，教師適時歸納總結(jié)，算術(shù)解也不是一無是處，但方程解對復(fù)雜情境中更有利于解決問題，

設(shè)計意圖認(rèn)識代數(shù)分析性思維，方程中分步分類思考問題的方法——“算兩次”思想：將一個量用兩種方式表示，形成對代數(shù)思維優(yōu)勢的深入認(rèn)識，

從以上的分析，《一元一次方程》章節(jié)起始課的教學(xué)策略上采取的是一題雙解多法，即既用算術(shù)解又用方程解，同時探討一解多法，聯(lián)系地、統(tǒng)一地看待算術(shù)解與方程解，幫助學(xué)生從不同的情境中，經(jīng)歷對代數(shù)素養(yǎng)的認(rèn)知發(fā)展，從不了解到了解，從認(rèn)識方程思想到初步應(yīng)用方程思想，從應(yīng)用方程思想到深入認(rèn)識代數(shù)思維，并內(nèi)化為代數(shù)素養(yǎng)，尤其是復(fù)雜情境中認(rèn)識到從算術(shù)到方程的進(jìn)步，轉(zhuǎn)變思維的方式，靈活選擇合適的方法，

“連雨不知春去，一晴方覺夏深”，代數(shù)素養(yǎng)不像代數(shù)知識，是隱形的，是內(nèi)化的，“方程起始課”的低起點是立足于學(xué)生的小學(xué)學(xué)情，高立意是從知識發(fā)展到能力升華到學(xué)科核心素養(yǎng)，這個過程中不去刻意追求，是一種“潤物細(xì)無聲”的感知，感知不同情境問題中蘊含的數(shù)量關(guān)系，能夠積極地運用方程思想、分析性的代數(shù)思維對不同情境問題做出分析，并能有效地解決問題.

4 結(jié)束語

總之，對于《一元一次方程》章節(jié)起始課不必急著讓學(xué)生探究方程的概念和方程的解，不必急著讓學(xué)生探究等式的性質(zhì)以及解方程，應(yīng)該站在“大方程視野下”從人教版教材“閱讀材料”中“方程的史話”，從數(shù)學(xué)文化、人類認(rèn)知規(guī)律的角度上介紹方程的產(chǎn)生和發(fā)展，提高學(xué)生學(xué)習(xí)方程的興趣，繼而可以采用“一題雙解多法”，從簡單到復(fù)雜情境應(yīng)用入手，通過類比、比較、辨別、甄選等思維方式，讓學(xué)生體會算術(shù)思維和代數(shù)思維的異同點，讓學(xué)生體會方程模型是解決問題的一種普適性模型，讓學(xué)生體會代數(shù)思維是如何產(chǎn)生、如何思考，“勞而無功，弊在推舟于陸，若有所得，要在求之于本”，數(shù)學(xué)教育之本不是檢驗學(xué)生是否掌握學(xué)校數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，而是培養(yǎng)學(xué)生是否掌握面對未來世界所需要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，一元一次方程的學(xué)習(xí)之本不僅僅是解方程能力的培養(yǎng)，應(yīng)該還包括從算術(shù)方法到方程思想的過渡，并升華為代數(shù)素養(yǎng)，能力是素養(yǎng)的載體，一元一次方程乃至后續(xù)其他類型方程的學(xué)習(xí)之本，不僅僅是讓學(xué)生掌握知識和能力，而且應(yīng)該讓學(xué)生體會到從算術(shù)到方程是數(shù)學(xué)的進(jìn)步，讓學(xué)生體會代數(shù)核心素養(yǎng)，例如：符號意識、代數(shù)結(jié)構(gòu)及其運算、數(shù)學(xué)建模、應(yīng)用意識等，素養(yǎng)的獲得是一個終身的過程，因此在方程的章節(jié)起始階段，花一些時間為學(xué)生打開一扇認(rèn)識代數(shù)思維之門還是相當(dāng)必要的.（本文系莆田市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度立項課題“基于情境問題視角下初中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)研究”（課題編號：PTGFKT20059）的研究成果）