黃晚霞

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法去解決問(wèn)題的能力是數(shù)學(xué)教學(xué)核心任務(wù)之一，數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，并形成解決問(wèn)題的一些基本策略，縱觀近幾年中考，數(shù)學(xué)壓軸題的得分率不盡人意，很多教師在復(fù)習(xí)中花了大量精力反復(fù)訓(xùn)練、不斷強(qiáng)化，學(xué)生也疲于應(yīng)付，但效果不明顯，甚至沒(méi)有效果，究其原因，教師以題論題，強(qiáng)調(diào)課堂容量，卻沒(méi)有“授人以漁”，使得學(xué)生面對(duì)中考?jí)狠S題中復(fù)雜多變的情景，無(wú)從下手、束手無(wú)策，下面以一道習(xí)題的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的教學(xué)感悟與反思.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

如圖1，將半徑為4的圓O沿弦AB折疊，圓上點(diǎn)O‘折疊后恰好與圓心O重合，連接AO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)C，連接BC.點(diǎn)P為弧OB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為線段OC，BC上一動(dòng)點(diǎn)，求APMN周長(zhǎng)的最小值.

2 試題分析

初看題目貌似平凡，細(xì)細(xì)品味才發(fā)覺(jué)它有著深藏不露的“精彩”，本題以圓為載體，結(jié)合折疊、含30。的直角三角形、動(dòng)點(diǎn)求最值等有關(guān)問(wèn)題，著重考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，其文字?jǐn)⑹龊?jiǎn)明扼要、內(nèi)容豐富，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，

本題中，點(diǎn)P為弧OB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為線段OC，BC上一動(dòng)點(diǎn)，總共三個(gè)動(dòng)點(diǎn).如何在三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的環(huán)境下，追尋周長(zhǎng)的最小值是本題的難點(diǎn)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)有：如何化曲為直求三角形周長(zhǎng);如何三角形周長(zhǎng)用CP表示;如何利用模型求最值，因此教學(xué)中做到引導(dǎo)學(xué)生追本溯源，建立模型，突破思維障礙，是教學(xué)的關(guān)鍵.

3 教學(xué)過(guò)程

3.1 找準(zhǔn)支點(diǎn)，合理鋪墊

本題主要是考查在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中幾何線段、圖形周長(zhǎng)求最值的問(wèn)題，問(wèn)題解決必然要建立在學(xué)生已有的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)和模型的基礎(chǔ)上，特別是學(xué)生具備的方法、模型應(yīng)是教師教和學(xué)生學(xué)習(xí)的重要支撐點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展的生長(zhǎng)點(diǎn)，合理鋪墊是打開(kāi)思維、解決問(wèn)題的鑰匙，本題是三個(gè)動(dòng)點(diǎn)求三角形周長(zhǎng)的問(wèn)題，學(xué)生已有一定的知識(shí)和方法，比如一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)的將軍飲馬問(wèn)題等等，在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱(chēng)變換化曲為直，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，為了更好幫助學(xué)生，做了以下鋪墊，

教學(xué)鋪墊1：如何解決兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上運(yùn)動(dòng)的最值問(wèn)題？

己知：如圖2，A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小，

分析分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A‘，A”;連接A'A”，分別交OM，ON于點(diǎn)B，點(diǎn)C，則點(diǎn)B，點(diǎn)C即為所求，

教學(xué)鋪墊2：圓外一定點(diǎn)與圓上一動(dòng)點(diǎn)的距離最值問(wèn)題，

如圖3，點(diǎn)P是圓O上一點(diǎn)，點(diǎn)A是圓O外一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，AP最短，當(dāng)點(diǎn)P動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，AP最長(zhǎng).

3.2科學(xué)轉(zhuǎn)化，解決問(wèn)題

3.2.1化動(dòng)為靜，用模型

本題中，點(diǎn)P為弧OB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為線段OC，BC上一動(dòng)點(diǎn)，共三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如何在三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的環(huán)境下，追尋周長(zhǎng)的最小值.化動(dòng)為靜，假設(shè)點(diǎn)P是弧OB上一定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為線段OC，BC上一動(dòng)點(diǎn)，化為兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，降低難度，利用教學(xué)鋪墊1，化陌生為熟悉，具體如下，

首先，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知OO'⊥AB，且OK=1/2OO'，

=1/2OA.因此sin ∠CAB1/2，可得∠CAB=30度，由于

AC是直徑，所以∠ABC= 90度，所以∠ACB= 60度，假設(shè)點(diǎn)P是弧OB上的一定點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P‘，作點(diǎn)關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P”，連接PP”，分別交線段AC，線段BC于點(diǎn)M，N，則L△PMN= PM+PN+ MN= P'M+ MN+P”N=P|'P”，所以當(dāng)PP”最小時(shí)，L△PMN取最小值.

3.2.2激活思維，化難點(diǎn)

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何求P'P”的值？但P”的長(zhǎng)度和位置會(huì)隨著點(diǎn)P的變化而變化，而且關(guān)系不明顯.變不明顯到明顯，這是解決本題的另一個(gè)關(guān)鍵，

現(xiàn)在把問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P是弧OB上的一動(dòng)點(diǎn)，如何求線段CP的值？

3.2.3 溯源模型，破障礙

如何解決這個(gè)思維障礙？再次追本溯源，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在以O(shè)‘為圓心，OO‘為半徑圓上的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C為圓O‘外一點(diǎn)，這就是圓中最值基本模型“圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的距離最值問(wèn)題”.

4 教學(xué)反思

4.1 追本溯源，突出模型

數(shù)學(xué)建模思想是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型并用模型去解決實(shí)際問(wèn)題是教學(xué)的重要目標(biāo)，初中幾何問(wèn)題中蘊(yùn)含豐富的模型，比如“將軍飲馬”、“一線三等角”等，幾何模型的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)，樹(shù)立學(xué)生建模意識(shí)的重要途徑，在總結(jié)、提煉、運(yùn)用模型同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生弄清模型所蘊(yùn)含的知識(shí)本源和數(shù)學(xué)思想方法.

4.2 挖掘思想，提升素養(yǎng)

教學(xué)中中考?jí)狠S題，情境復(fù)雜，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力要求較高，涉及到數(shù)學(xué)思想、方法多，在教學(xué)中，教師要有意識(shí)總結(jié)提煉數(shù)學(xué)思想和方法，在本題的教學(xué)中要以問(wèn)題為導(dǎo)向，突出模型、轉(zhuǎn)化、運(yùn)動(dòng)變化等思想，如在問(wèn)題的解決中將P點(diǎn)化動(dòng)為靜，動(dòng)靜結(jié)合，化曲為直求周長(zhǎng)以及將P'P”的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化CP，最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模型去解決，從而實(shí)現(xiàn)所求目標(biāo)，整個(gè)過(guò)程突出轉(zhuǎn)化思想、模型思想，通過(guò)不斷總結(jié)、提煉、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，展開(kāi)學(xué)生的思維，在課堂教學(xué)中落實(shí)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、幾何直觀和邏輯推理等核心素養(yǎng)，

參考文獻(xiàn)

[1]戴秀梅.對(duì)一道經(jīng)典數(shù)學(xué)題的再探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（3）（中旬）：58-60